C4.6: Oberflächenintegrale
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- Klara Huber
- vor 9 Jahren
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1 C4.6: Oberflächenintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b. Elektrostatik: freie Ladung eines metallischen Leiters findet sich nur auf der Oberfläche; Gesamtladung = Flächenintegral Gesamtladung: Fläche: parametrisieren die Fläche Oberflächendadungsdichte (Ladung pro Flächenelement) - Erhaltungssäzte: z.b. Stromerhaltung: Gesamtladungszunahme in einem Volumenbereich V = Gesamtladungsfluss durch Oberfläche, (rein - raus) = Flächenintegral des Stroms, (rein - raus) Volumen Oberfläche Volumenelement (Ladungsdichte) gerichtetes Flächenelement Stromdichte = Ladung pro Zeitinterval pro Flächenelement Parametrisierung von Flächen Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten, mit Beispiel 2: "Gebirge" "Höhe" = eindeutige Funktion von ("keine Überhänge") Beispiel 3: Rotationsflächen sei eine beliebige Funktion:
2 Parametrisierung von Flächen in - allgemeine Formulierung 2D-Fläche in z.b. Oberfäche einer Kugel mit Radius R: Anmerkung: Jede Koordinatentransformationen in definiert eine Flächenschar, denn jede feste Wahl einer Koordinate liefert eine neue Fläche. Z.B: [siehe Beispiel 1 auf Seite b], Zurück zu (c.1), mit Notationsänderung: (um Anzahl der Indizes zu verringern) =konstant Koordinatenlinie (variere eine d. Variablen, halte andere fest) = Raumkurve - Koordinatenlinie:, - Koordinatenlinie:, Lokalen Kurvengeschwindigkeiten (siehe ZV5a) entlang Koordinaten: in -Richtung: in -Richtung:
3 Betrachte das Flächenelement aufgespannt durch und Es wird charakterisiert durch seine Fläche, und die Richtung eines stehenden Einheitsvektors zur Fläche (ortsabhängiger "Normalvektor") [vergleiche den rein 2-dim Fall, siehe (C4j.5); dort war, aber hier ist ortsabhängig!) Definition: gerichtetes Flächenelement [Verallgemeinerung von (C4j.3)] Betrag: Richtung: (legt auch "oben", "unten" fest) Größe der Fläche für : "Fläche über C": Lagrange-Identität (L4k.7): mit: Für krummlinig-orthogonale Koordinaten: somit: Betrag des Flächenelements: Richtung des Flächenelements: Fläche über C:
4 Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten (siehe ZV5b): (V5m.8-10): Einheitsvektoren sind orthonormal: Zur Erinnerung: (obwohl wir sie hier nicht explizit brauchen) Kugeloberfläche: Radius = Kugel Beispiel 2: Gebirge (hier sind Koordinaten nicht krummlinig!) "Höhe" (f.2) (, also ein nicht-orthog. Koordinatensystem) Über Bereich wie groß ist Gebirgsoberfläche?
5 Beispiel 3: Rotationskörper Orthogonal: Oberfläche des Rotationskörpers für den Bereich -Integral ist trivial, wegen Nutzung von Symmetrie! Verallgemeinerung: Flächenintegral einer Funktion über C: Sei eine Fläche (wie bisher), und eine Funktion (auf demselben Gebiet C definiert wie die Fläche) Definition: Integral von entlang der Fläche über dem Gebiet : Interpretation: Gewichtung jedes Punktes auf der Fläche (parametrisiert durch durch die Gewichtsfunktion [z.b. = Flächenladungsdichte, wie in (a.1) ] ) Beispiel Kugelfläche: Vergleiche (g.8) Anmerkung: ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung der Fläche! [Beweis: siehe z.b. Grossmann, Mathematischer Einführungskurs in für die Physik, 2004]
6 C4.7 Flussintegrale durch Flächen (siehe AD-Text, V4.2) Sei ein Vektorfeld. Wieviel "fliesst" durch die Oberfläche? sei gerichtetes Oberflächenelement am Ort : Zerlege in Anteile zum Flächenelement "Normalkomponente" fliesst durch Flächenelement hindurch "Tangentialkomponente fliesst am Flächenelement entlang Definition: "Fluss" durch Definition: "Fluss" durch die Fläche : Beispiel 1: Elektrisches Feld einer Punktladung Berechne Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius : Seite g: Fluss hängt nicht vom Radius ab (!). Das ist ein Beispiel vom Gauss-Gesetz der Elektrostatik: Der durch die Oberfläche eines Volumens hindurchtretende Fluss des elektrischen Feldes ist proportional zur gesamten in enthaltenen elektrischen Ladung:
7 Beispiel 2: Fluss eines Magnetfelds durch Zylinder Magnetfeld sei Fluss nach aussen durch den Boden: Deckel Mantel Boden Fluss nach aussen durch den Deckel: Fluss nach aussen durch den Mantel: Fluss nach aussen durch ganzen Zylinder: Beispiel für allgemeines Gesetz: Magnetfeldfluss durch geschlossene Fläche = 0! Zusammenfassung: V4.2 Flächen- und Flussintegrale Gerichtetes "Fluss" durch "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung: Fläche über C:
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