Aufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte)

Transkript

1 Aufgabe K: Potential einer Hohlkugel ( = Punkte) (a) Leiten Sie die integrale Form der Maxwell Gleichungen der Elektrostatik aus den entsprechenden differentiellen Gleichungen her. Differentielle Maxwell-Gleichungen für E: div E = 4πρ, rot E =. Satz von Gauß: d x div E( x) = d f E( x) = 4π d x ρ( x) [ = 4π Q V ] V V Satz von Stokes: d f rot E( x) = d s E( x) = F (b) Betrachten Sie eine homogen geladene Hohlkugel mit Innenradius R und Außenradius R > R. Drücken Sie die Ladungsdichte durch die Gesamtladung Q der Hohlkugel aus. Berechnen Sie das elektrische Feld und das elektrostatische Potential der Hohlkugel (für alle Raumgebiete) mit Hilfe des Gaußschen Satzes. Ladungsdichte in Kugelkoordinaten ρ = ρ(r) = ρ θ(r r) θ(r R ), Q = dω r dr ρ = 4π ( R R) Q ρ = 4π (R R ) Kugelsymmetrie E = E(r) e r, deshalb Gauß mit Kugel K r Fallunterscheidung: Kugelschale K r mit r > R > R d f E = 4π r E(r) = 4π d x ρ = 4π Q E(r) = Q K r K r r φ(r) = r dr E(r) = Q r Fallunterscheidung: Kugelschale K r mit R > r > R r 4π r E(r) = 4π d x ρ = 4π ρ dr r = 4π Q r R K r R R R E(r) = Q r R r R R φ(r) = = Q R r r R R R dr E(r) + φ(r ) ( ) Q r Q R F V R R R + Q R Fallunterscheidung: Kugelschale K R mir R > R > r 4π r Q(R + R ) E(r) = φ = φ(r ) = (R + R R + R

2 (c) Skizzieren Sie den Verlauf von ρ, E und φ als Funktion des Abstands r vom Mittelpunkt. Verlauf: ρ(r) springt; E(r) wächst, stetig, knickt, fällt; φ nimmt ab, stetig, stetige Ableitung.

3 Aufgabe K: Elektrische Multipolmomente ( = Punkte) (a) Leiten Sie ausgehend von der allgemeinen Form für das elektrostatische Potential die Formeln für das (kartesische) elektrische Monopol und Dipolmoment einer Ladungsverteilung ρ( x) her. Potential einer Ladungsverteilung φ( x) = d x ρ( x ) x x Taylor-Entwicklung für x x x x r + x x x x x = = r + x x r Damit Q = d x ρ( x ), p = d x ρ( x ) x (b) Wieviele unabhängige Komponenten besitzt der Quadrupoltensor Q ij = d x ρ( x )(x ix j r δ ij )? Begründen Sie Ihre Antwort. Q ij ist symmetrisch, Q ij = Q ji / Die Spur von Q ij verschwindet, i Q ii =... ((r ) (r ) Sp[]) = / Für eine -Matrix sind das (+) Bedingungen für 9 Elemente 5 unabhängige Komponenten (c) Bestimmen Sie das Element Q des Quadrupoltensors für einen homogen geladenen rotationssymmetrischen Ellipsoid, ρ = ρ = const. für x a + x a + x c. Wie lautet das Resultat für Q? Bestimmen Sie daraus mit Hilfe von (b) das Element Q. Was ergibt sich im Fall a = c? Begründen Sie, warum das Dipolmoment, p, und die nicht-diagonalen Elemente des Quadrupoltensors, Q i j, für den Rotationsellipsoid verschwinden. [Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten und führen Sie die z-integration als Letztes aus. Sie können benutzen, dass π dϕ cos ϕ = π und π dϕ sin φ cos φ =.]

4 Für Q ergibt sich mit der Definition π ) Q = ρ dz ρ dρ dϕ θ ( ρ a z ( ρ c cos ϕ (ρ + z ) ) Auswerten der Winkelintegration mit dem Hinweis ergibt ) Q = ρ dz ρ dρ θ ( ρ a z (π ρ c π z ) Schreibe ρ dρ = dρ und ˆρ = ρ /a, ẑ = z/c. Der erste Term in runden Klammern ergibt dann πρ a 4 c dẑ ẑ dˆρ ˆρ = πρ a 4 c dẑ ( ẑ ) = πρ 4a 4 c 5 Der zweite Term in runden Klammern ergibt dann πρ a c dẑ und somit insgesamt ẑ dˆρ ẑ = πρ a c dẑ ẑ ( ẑ 4a c ) = πρ Q = πρ 4a c(a c ) 5 Für Q ergibt sich aus Symmetriegründen das gleiche Ergebnis (x = ρ sin ϕ = ρ cos(ϕ + π/)) / Damit erhält man aus (b) / Q = Q Q = Q = πρ 8a c(a c ) 5 Für a = c hat man eine Kugel, und alle höheren Multipole verschwinden p verschwindet aus Symmetriegründen (die einzige ausgezeichnete Achse ist die z-achse, und es gibt genau so viele Ladungen bei z < wie bei z > ). / Die Nebendiagonalelemente von Q ij enthalten Integrale mit sin ϕ cos ϕ oder sin ϕ oder cos ϕ und verschwinden ebenfalls für homogenes ρ (bzw. in kartesischen Koordinaten ungerade bzgl. x i -Integration) / 5 4

5 K: Geerdete Metallhohlkugel ( = Punkte) Eine geerdete dünne Metallhohlkugel mit Radius R wird in ein zunächst homogenes, elektrisches Feld E = E e gebracht. (a) Wie lautet die allgemeine Lösung der Poisson Gleichung in Kugelkoordinaten? Wie vereinfacht sich dies für Randwertprobleme mit azimutaler Symmetrie? Was ergibt sich im Spezialfall einer Punktladung bei x =? Das Potential φ lässt sich in Kugelflächenfunktionen entwickeln φ(r, θ, ϕ) l l= m= l (r l A l,m + r (l+) B l,m ) Y lm (θ, ϕ) Für rotationssymmetrische Probleme vereinfacht sich dies zu Legendre-Polynomen (m = ) φ(r, θ) = l= (r l A l + r (l+) B l ) P l (cos θ) Eine Punktladung entspricht dem Fall A l =, B = Q, B l> = (b) Skizzieren Sie qualitativ den erwarteten Verlauf der elektrischen Feldlinien. Berechnen Sie das Potential φ( x) im Innen- und Außenraum der Hohlkugel durch Anpassen der Koeffizienten in (a) an die Randbedingungen. Die Feldlinien laufen im Unendlichen parallel in z-richtung. In Richtung der Kugeloberfläche verengt sich der Abstand, so dass die Feldlinien senkrecht auf der Kugeloberfläche stehen. Im Innenraum ist φ i (Faraday!) Im Außenraum ist E = E e für große Werte von r. Das entspricht einem Potential E z = E = d dz φ φ r = E z = E r cos θ = E r P (cos θ) Daraus folgt A = E, A l> = Die verbleibenden Koeffizienten ergeben sich aus φ(r = R, θ) = und der Orthogonalität der Legendre-Polynome, d.h. = A l R l + B l R (l+) B = R A = R E Für l = folgt A = B =. Für l > sind alle B l> = A l> = Somit lautet das Gesamtergebnis ( ) φ(r, θ) = E r R r cos θ 5

6 (c) Verifizieren Sie, dass die elektrischen Feldlinien senkrecht auf der Kugeloberfläche stehen. Bestimmen Sie die induzierte Flächenladungsdichte auf der Kugel. Mit dem Gradienten in Kugelkoordinaten ergibt sich gradφ r=r = φ r e r r φ θ e θ r=r = E ( + ) cos θ e r + E ( ) ( sin θ) e θ e r Die Flächenladungsdichte ergibt sich aus der Unstetigkeit von E = E r (R) = E cos θ, d.h. σ = E 4π = E cos θ 4π [Hinweis: P (cos θ) = cos θ, und gradf = f r e r + r f θ e θ + r sin θ f ϕ e ϕ.] 6

7 K4: Spiegelladung und Dielektrika ( + + = 7 Punkte) Betrachten Sie eine geerdete leitende Platte in der (x, x ) Ebene. Im unteren rechten Quadranten mit (x >, x < ) befindet sich ein (nicht leitendes) Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten ɛ. Im oberen rechten Quadranten, bei x = (a, a, ) mit a >, befinde sich eine Punktladung q. a x q a x ɛ (a) Wie lauten allgemein die Sprungbedingungen für das elektrostatische Feld E und die dielektrische Verschiebung D an einer Grenzfläche, wie sie sich aus den entsprechenden Maxwell Gleichungen in Materie ergeben? (Begründung!) Wie lautet der Zusammenhang zwischen E, D, dem elektrostatischen Potential und der Polarisation in der linearen Approximation? Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik in Materie: div D = 4π ρ, rot E =. Mit dem Satz von Gauß an der Grenzfläche ergibt sich, dass die Normalkomponente von D gemäß der Flächenladungsdichte springt, während die Tangentialkomponente von E stetig ist. Zusammenhang D = ɛ E = ɛ gradφ = E + 4π P. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Spiegelladungen das Potential im Bereich x > für die beiden Quadranten mit x > und x <. [Hinweis: Sie benötigen jeweils Spiegelladungen an maximal drei weiteren Positionen! Werten Sie zuerst die Randbedingungen an der Metallplatte aus, und nutzen Sie die Symmetrie bezüglich x x.] Ansatz für die Potentiale in den beiden rechten Quadranten: q x > : φ = + (x a) + (x a) + x x < : ɛ φ = q + + (x a) + (x + a) + x q (x + a) + (x a) + x q 4 (x + a) + (x + a) + x q q + (x a) + (x a) + x (x + a) + (x a) + x q 4 + (x + a) + (x + a) + x (der Term mit q entspräche einer physikalischen Ladung bei (a, a, )). 7

8 Potential verschwindet bei x = = φ(x =, x, x ) = q a + (x a) + x + q + + a + (x + a) + x q a + (x a) + x q 4 a + (x + a) + x = ɛ φ(x =, x, x ) = q q + a + (x a) + x a + (x a) + x q 4 + a + (x + a) + x Daraus folgt q = q, q 4 = q, q = q, q 4 =. Es verbleiben zwei Unbekannte q und q. Die Normalkomponente von D ist stetig bei x = (keine beweglichen Ladungen) = e D(x, x =, x ) = φ x x = aq (x a) + a + x + a( q ) (x + a) + a + x aq + + a( q ) (x + a) + a + x, (x a) + a + x = D(x, x =, x ) = ɛ φ x x = a q (x a) + a + x + a( q ) (x + a) + a + x Daraus folgt q q = q. Die Tangentialkomponente von E ist stetig (s.o.) = e E(x, x =, x ) = φ x x = x q (x a) + a + x + x q (x a) + a + x + Spiegel, e E(x, x =, x ) = φ x x = = x q /ɛ (x a) + a + x + Spiegel Daraus folgt q + q = q /ɛ Lösen nach q und q ergibt ( q = q + ) q = ɛ ɛ + ɛ q, q = q q = ɛ + ɛ q (c) Welche physikalische Situation entspricht den Grenzfällen ɛ = bzw. ɛ? 8

9 Für ɛ = erhält man q = q = q = q und q =... =, d.h. die Lösungen in den beiden Quadranten sind identisch und entsprechen dem Beispiel aus der Vorlesung Für ɛ erhält man q = q 4 = q = q, was einer Anordnung von senkrechten Spiegeln entspricht (das Potential im unteren Quadranten geht gegen Null). 9