Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

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1 Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Fachschaft Physik Stand: Mai 27 Liebe Physik-Studis, hier haltet ihr die Klausursammlung für das Modul Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik in den Händen. Wir übernehmen keine Haftung für die Richtigkeit der Aufgaben und Lösungen, nur mal so nebenbei. Wir hoen, dass euch diese Zusammenstellung weiterhilft. Damit wir diese Sammlung auch in Zukunft aktualisieren können, bringt uns bitte, nachdem ihr eine Klausur in diesem Fach geschrieben habt, eine Kopie eurer Klausur vorbei. Viel Erfolg beim weiteren Studium! Eure Fachschaft Physik Inhaltsverzeichnis Klausuren 2. SoSe 26, PD H. Fichtner Lösungen 5 2. SoSe 26, PD H. Fichtner

2 Klausuren. SoSe 26, PD H. Fichtner. Teilklausur: Mechanik Aufgabe (8 Punkte) a) Gegeben sei ein Kraftfeld mit den Konstanten a und b Zeigen Sie, dass dieses konservativ ist. F ( r) (ay, ax, b) b) Berechnen Sie nun die Arbeit, die jeweils entlang der in der Abbildung gezeigten Wege (Gerade, bzw Viertelkreis von P (,, ) nach P (,, )) benötigt wird, um den Körper von P nach P zu verschieben, und interpretieren Sie jeweils das Ergebnis. c) Berechnen Sie nun das zu F ( r) gehörige Potential. Aufgabe 2 (24 Punkte) Es werde eine Masse m an einer Feder untersucht, die in nur einer Koordinatenrichtung um die Ruhelage x schwingen kann. Die durch die Feder bewirkte Kraft sei dabei als F F (x) k(x x ) mit k const. gegeben. Auf die Masse wirke dabei keine weitere Kraft. Dieses Problem soll mit Hilfe des Lagrange- Formalismus untersucht werden. a) Leiten Sie zunächst das zur Kraft F F gehörige Potential V 2 k(x x ) 2 her. b) Berechnen Sie nun die zugehörige Lagrangefunktion und zeigen Sie, dass sich aus dieser mit Hilfe der Lagrangegleichung die Bewegungsgleichung ẍ (k/m)(x x ) ergibt und lösen Sie diese vermöge eines geeigneten Ansatzes. c) Nun soll der allgemeine Fall betrachtet werden, bei dem drei Raumrichtungen zu berücksichtigen sind. Hier wirkt die Kraft in radiale Richtung und liefert das Potential V 2 k(r r ) 2. Deshalb arbeitet man hier in Kugelkoordinaten (r, θ, φ). Leite Sie dafür zuerst folgenden Ausdruck für die kinetische Energie her. T 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 φ2 sin 2 θ) d) Bestimmen Sie daraus die radiale Bewegungsgleichung ohne diese zu lösen. Aufgabe 3 (8 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen mit 'Ja' oder 'Nein'. Punkte ab 4 korrekten Antworten.. Kommt es bei Oszillationen mit treibender Kraft zur Resonanzkatastrophe, wenn die Frequenz der äuÿeren Kraft ein Vielfaches der Eigenfrequenz ist? 2. Sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit stets parallel? 3. Ist die reduzierte Masse beim 2-Körper-Problem durch µ m+m2 m m 2 gegeben? 4. Benden sich Teilchen mit negativer Energie im Gravitationspotential immer auf einer gebundenen Bahn? 2

3 5. Sind Arbeit und Potential identisch? 6. Ist der Trägheitstensor für eine sich um ihren Mittelpunkt drehende homogene Kugel diagonal? 7. Gilt in Systemen ohne äuÿeres Drehmoment stets die Impulserhaltung? 2. Teilklausur Elektrodynamik Aufgabe (22 Punkte) Anmerkung: Bei dieser Aufgabe gabs das eine oder andere Problem in der Klausur. Die Lösungen/Lösungswege sind dementsprechend mit Vorsicht zu genieÿen, bzw. genauer zu überprüfen! Sie sind soweit wie möglich korrigiert, aber man weiÿ ja nie... a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum? b) Bestimmen Sie das elektrische Feld einer leitenden Kugel mit Radius a und Gesamtladung in ihrem Innen- und Auÿenraum und skizzieren Sie den Verlauf des Feldbetrages. c) Die Gesamtladung einer nichtleitenden Kugel mit Radius a sei gemäÿ der kugelsymmetrischen Ladungsdichte ρ( r) (3 n) ( a ) n a 3 r mit n 2 verteilt. Zeigen Sie zuerst, dass die Gesamtladung der Kugel sich daraus zu ergibt und dann, dass das zugehörige elektrostatische Feld E( r) an 3 ɛ r n e r ; r a E( r) ɛ r 2 e r ; r > a lautet. Skizzieren Sie die Feldbeträge, die sich für die Wahl n-2 und n2 ergeben. d) Leiten Sie die zu den elektrischen Feldern aus c) für n ±2 gehörigen Potentiale so her, dass diese im Unendlichen verschwinden. Aufgabe 2 (2 Punkte) Bild: Ein quadratischer Leiter mit Mittelpunkt im Ursprung P wird von einem Strom entgegen des Uhrzeigersinns durchossen. Der Abstand einer Kante (achsenparallel) zur Achse sei R. Bild2: Als Beispiel eines n-ecks ist ein regelmäÿiges 6-Eck dargestellt, das von einem Strom entgegen des Uhrzeigersinns durchossen wird. Die Kantenlänge sei L. Der Mittelpunkt einer Kante hat den Abstand R vom Ursprung P. Die Gerade vom Ursprung zum Mittelpunkt der Kante schlieÿt mit der Gerade vom Mittelpunkt zu einem Endpunkt der Kante den Winkel π/n ein. a) Berechnen Sie das Magnetfeld im Zentrum P des abgebildeten quadratischen Leiters, der von einem Strom I durchossen ist. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem für das Zentrum einer Kreisschleife mit Radius R (siehe b) und begründen Sie den Unterschied. b) Wie lautet das Magnetfeld im entsprechenden Punkt eines symmetrischen n-ecks mit n gleich langen Seiten? (Hinweis: eine einzelne Kante L eines n-ecks erfüllt die Gleichung L 2R tan (π/n), siehe Skizze für n6.) ( ) Zeigen Sie, dass sich im Grenzfall n das Feld im Zentrum einer Kreisschleife B µ I 2R e z ergibt. (Der Einheitsvektor e z zeigt aus der Zeichenebene.) 3

4 Aufgabe 3 (8 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen mit 'Ja' oder 'Nein'. Punkte ab 4 korrekten Antworten.. Ist die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Ladungserhaltung? 2. Entkoppeln die Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld in der Elektround Magnetostatik? 3. Kann die Normalkomponente des elektrischen Feldes an geladenen Grenzächen unstetig sein? 4. Ist ein statisches Magnetfeld prinzipiell mit dem Faraday-Gesetz berechenbar? 5. Stehen der elektrische und der magnetische Feldvektor einer elektromagnetischen Welle immer senkrecht zueinander? 6. Verschwindet für ein Magnetfeld immer der Monopolbeitrag? 7. Ist das elektrische Feld im allgemeinen Fall auch eine Funktion des magnetischen Vektorpotentials? 4

5 2 Lösungen 2. SoSe 26, PD H. Fichtner. Teilklausur: Mechanik Aufgabe (8 Punkte) a) Zu zeigen: F. (ay,ax,b) ( b y ax z, ay z b x, ax x ay y ) b).weg: Viertelkreis Polarkoordinaten: r r e r, r, r e r cos ϕ e x + sin ϕ e y Setze Parameter: ϕ r cos ϕ e x + sin ϕ e y Bilde: d r dϕ sin ϕ e x + cos ϕ e y Drücke F ( r(ϕ)) aus, als: F ( r(ϕ)) ay e x + ax e y + b e z a sin ϕ e x + a cos ϕ e y + b e z F ( r(ϕ)) d r dϕ (a sin ϕ e x + a cos ϕ e y + b e z ) ( sin ϕ e x + cos ϕ e y ) a sin 2 ϕ + a cos 2 ϕ a sin 2 ϕ + a( cos 2 ϕ) a( 2 sin 2 ϕ) π/2 a( 2 sin 2 ϕ)dϕ a π/2 dϕ 2 π/2 [ sin 2 π ] ϕdϕ a 2 2π 4 2.Weg: Gerade Kartesische Koordinaten. Wähle Parameter: x : t d x dt e x y t + d y dt e y d r dt e x e y + e z Drücke F ( r(t)) aus, als: F ( r(ϕ)) a( t + ) e x + at e y + b e z ( at + a) e x + at e y + b e z F ( r(t)) d r dt at + a 2at + 2at + a ( 2at + a)dt [ at 2 + at] [ a + a] Schlussfolgerung Wie zu erwarten ist die Arbeit wegunabhängig, da es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt. Die Punkte P und P liegen auf Äquipotentialächen, was an der Symmetrie des Kraftfeldes liegt. 5

6 c) V x ay dx axy + c(y, z) V x y V x z c(y, x) ax y c(z) z c(y, x) y c c(y) c(z) b dc(z) b dz z c(z) bz c(z) bz V axy bz + c, mit c const Aufgabe 2 (24 Punkte) a) V (x) k F F (x ) dx k(x x ) dx k [ ] x d x k 2 ( x)2 + c 2 k(x x ) 2 + c (x x ) dx }{{} : x Wegen V (x ) folgt c und damit: V (x) 2 k(x x ) 2 b) generalisierte Koordinate ist x. T 2 mv2 2 mẋ2 L T V 2 mẋ2 2 k(x x ) 2 d ( ) L L dt ẋ x ẍ + k m (x x ) 2 ẍ + k m x k m x Diese DGL wird gelöst durch den Ansatz: x(t) A sin (ωt) + B cos (ωt) + x mit ω 2 k m. c) r ṙ e r + r e r ṙ e r + r( θ e θ + sin θ φ e φ ) r 2 ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 T 2 m v2 2 m r 2 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 φ2 sin 2 θ) 6

7 d) L T V T 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 φ2 sin 2 θ) 2 k(r r ) 2 d ( ) L L q l r q l ṙ dt q l q l d dt (mṙ) 2 m(2r θ 2 + 2r sin 2 θ φ 2 ) + k(r r ) m r [m( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) k]r kr r ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 k m )r k m r Aufgabe 3 (8 Punkte) r ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 k m )r + k m r. Kommt es bei Oszillationen mit treibender Kraft zur Resonanzkatastrophe, wenn die Frequenz der äuÿeren Kraft ein Vielfaches der Eigenfrequenz ist? Nein 2. Sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit stets parallel? Nein 3. Ist die reduzierte Masse beim 2-Körper-Problem durch µ m+m2 m m 2 gegeben? Nein 4. Benden sich Teilchen mit negativer Energie im Gravitationspotential immer auf einer gebundenen Bahn? Ja 5. Sind Arbeit und Potential identisch? Nein 6. Ist der Trägheitstensor für eine sich um ihren Mittelpunkt drehende homogene Kugel diagonal? Ja 7. Gilt in Systemen ohne äuÿeres Drehmoment stets die Impulserhaltung? Nein 2. Teilklausur Elektrodynamik Aufgabe (22 Punkte) a) div E ρ ɛ rot E B t div B rot B µ j + ɛ µ E t b) O V E dov V ρ( r) ɛ d 3 r Da das Feld radialsymmetrisch ist, ist das Skalarprodukt aus E d E E const.. O V E do V, mit 7

8 Innenfeld: E do V O V V E ρ ɛ ρ( r) ɛ r ρ 3ɛ r π 2π d 3 r 2π π r 2 sin θ dφ dθ dr r 2 sin θ dφ dθ, r < a ρ ɛ 3 r3 2 2π r 2 2 2π (Das Ergebnis stammt vom Betreuer. Allerding: Ist das Innen-Feld einer metallischen, geladenen Kugel nicht einfach? (Vermutlich ja: weil ρ müsste ja sein! Dann stimmt beides irgendwie.)) Auÿenfeld: E ɛ do V ɛ r 2 O V,r > a c) V ρ( r) d 3 r (3 n) a n 3 a π 2π a r 2 n dr [ (3 n) ( a a 3 r π [ (3 n) a n 3 ] 3 n a3 n sin θ dθ ) n ] r 2 sin θ dφ dθ dr 2π dφ (qed) für r a folgt: E ɛ a π 2π [ (3 n) a 3 π (3 n) ɛ r 2 an 3 E e r E( r) an 3 r n e r ɛ 2π ( a r ) n ] r 2 sin θ dφ dθ dr r 2 sin θ dφ dθ 3 n r3 n an 3 r n ɛ für r>a folgt: Da hier wieder vollständig eingeschlossen ist, folgt eine Rechnung wie in b). Daher kann man einfach schreiben: E( r) ɛ r 2 e r 8

9 d) n2 Das Innenpotential ergibt sich zu: Φ i ɛ ar dr ɛ a ln r + c Im Auÿenraum: Φ A ɛ r 2 dr ɛ r + c 2 Da φ und damit auch φ a im verschwindet, ist c 2. Damit bleibt noch die Anschlussbedingung bei ra: Φ i (a) Φ A (a) ɛ a ln a + c ɛ a c ( + ln a) ɛ a n-2 Innenraum: Φ i ɛ a 5 r3 dr 6πɛ a r4 + c Auÿenraum: Φ A ɛ r 2 dr ɛ r + c 2 Wieder ist c 2 wie oben. Damit folgt mit der Anschlussbedingung: Φ i (a) Φ A (a) 6πɛ a a4 + c ɛ a ( c + a 4 ) ɛ a Aufgabe 2 (2 Punkte) a) Für alle 4 Wege gilt: r. Weg (untere Seite) r e y + t e x 9

10 d r dt e x B µ I d r ( r r ) r r 3 µ I dt e x (R e y t e x ) R e y + t e x 3 µ +R I R dt e R2 + t 23 z µ [ IR e t z R 2 R 2 + t 2 2µ I 2R e z ] R Weg2 (rechte Seite) r R e x + t e y d r dt e y B 2 µ I d r ( r r ) r r 3 µ I dt e y ( e x t e y ) R e x + t e y 3 µ +R I R dt e R2 + t 23 z µ [ IR e t z R 2 R 2 + t 2 2µ I 2R e z ] R Weg3 (obere Seite) r R e y + t e x d r dt e x B 3 µ I µ I R R 2µ I 2R e z d r ( r r ) r r 3 µ I dt e x ( e y t e x ) R e y + t e x 3 dt e R2 + t 23 z µ [ IR e t z R 2 R 2 + t 2 ] R Weg4 (linke Seite) r e x + t e y d r dt e y B 4 µ I d r ( r r ) R r r 3 µ I dt e y (R e x t e y ) R e x + t e y 3 µ I R dt e R2 + t 23 z µ [ IR e t z R 2 R 2 + t 2 ] R

11 2µ I 2R e z Das gesamte Magnetfeld im Punkt P ist also: B B + B 2 + B 3 + B 4 2µI 2πR e z Im Vergleich zur Kreisschleife ergibt sich ein Faktor /( 2π). Das hat hauptsächlich was mit der Symmetrie zu tun, also das nicht alle Punkte des Leiters den gleichen Abstand zum Punkt P haben. b) Da die Seiten alle den gleichen Beitrag zum Gesamtfeld liefern (vgl a) ist es nur notwendig eine Seite zu berechnen und das Ergebnis mit n zu multiplizieren. Berechne daher nur die rechte Seite (Ursprung bei P, kartesisches Koordinatensystem). Die Grenzen sind -L/2 und +L/2. Durch Einsetzen der gegeben Formel ändern sich die Grenzen zu: tan (π/n), bzw R tan (π/n). r r R e x + t e y d r dt e y B µ I µ I e z µ I e z dt e y ( e x t e y ) R2 + t 23 µ I R R tan (π/n) tan (π/n) e z dt R2 + t 23 [ ] R 2 tan (π/n) R 2 R 2 + R 2 tan 2 (π/n) + R 2 tan (π/n) R 2 R 2 + R 2 tan 2 (π/n) [ ] [ 2 tan (π/n) µ I }{{} e 2(π/n) z R + (π/n) 2 n>> tan φ φ R + tan 2 (π/n) µ I 2R e z n + ( ) π 2 n Das Gesamtfeld ergibt sich damit zu: B G nb n µi +( πn) µ I +( 2 πn) e 2 z 2R e z n 2R Im Grenzübergang n geht (π/n) 2. Damit ergibt sich die Formel für den Kreis. ] Aufgabe 3 (8 Punkte). Ist die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Ladungserhaltung? Ja 2. Entkoppeln die Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld in der Elektround Magnetostatik? Ja 3. Kann die Normalkomponente des elektrischen Feldes an geladenen Grenzächen unstetig sein? Ja 4. Ist ein statisches Magnetfeld prinzipiell mit dem Faraday-Gesetz berechenbar? Nein 5. Stehen der elektrische und der magnetische Feldvektor einer elektromagnetischen Welle immer senkrecht zueinander? Ja

12 6. Verschwindet für ein Magnetfeld immer der Monopolbeitrag? Ja 7. Ist das elektrische Feld im allgemeinen Fall auch eine Funktion des magnetischen Vektorpotentials? Ja 2