Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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1 Physikdepartment E3 WS 0/ Übungen zu Physik für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung 0.0., Übungswoche Blatt 4. Galileisches Fernrohr Ein galileisches Fernrohr besteht aus einer Sammellinse mit f = 0cm als Objektiv und einer Zerstreuungslinse mit f = 50mm als Okular. Die Brennweite des Okulars liegt dabei in der Brennebene des Objektivs, so dass der Abstand zwischen den beiden Linsen f + f beträgt. a) Zeigen Sie anhand einer maßstabsgetreuen Skizze den Strahlengang eines Gegenstandes, der 50cm vom Objektiv entfernt ist. b) Was ist der Brechwert des Systems? D System = f System

2 d = 5cm, F = 0cm, F = 5,0cm Damit folgt für D System : f System = f + f d f f D System = 0cm 5,0cm + 5cm 0cm 5,0cm = 0 Ist der Brechwert des Systems gleich null, so werden eingehende parallele Strahlen das System auch wieder parallel verlassen. Eine positive Brechkraft bedeutet ein paralleler Strahl wird in einen konvergierenden Strahl umgewandelt, während eine negative Brechkraft zu einem divergierenden Strahl führt. Die Richtung der Strahlen kann aber auch bei einer Brechkraft von null geändert werden, da es sich bei der Brechkraft um die relative Änderung in einem Strahlenbündel handelt und nicht um die Änderung zur optischen Achse. Deshalb ist es auch möglich eine Vergrösserung in einem Linsensystem zu erhalten, das eine Brechkraft von null hat, wie hier im Galileischen Fernrohr. c) Berechnen Sie die Bildgröße B und B. Haben die Bilder B und B die selbe Orientierung wie der Gegenstand? B (Sammellinse): V = b = B g G B = b G g g = 50cm b =? f = g + b b = ( f g ) = 33 3 cm B = b g G = /3G negativ, d.h. auf dem Kopf stehendes Bild im Vergleich zum Gegenstand. B (Zerstreuungslinse): V = b g = B B g = (b ( f + f ) = (33 3 cm (0 cm 5,0 cm)) = 8 3 cm b =? f = g + b b = ( f g ) = 6,9 cm

3 B = b g B = b g b g G = 0,5G Das Bild steht aufrecht, wie der Gegenstand. 3

4 . Punktladungen In nebenstehender Abbildung sind vier Punktladungen in einer quadratischen Anordnung gezeichnet. Ihre Ladungen betragen +q, q, q und +q. Der Punkt P liege auf dem Schnittpunkt der Diagonalen. Es gelte a = 5 cm und q = 0 8 C. a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der sie die Richtung der resultierenden Feldstärke im Punkt P ablesen können und zeichnen Sie diese in die Skizze ein. b) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Feldstärke im Punkt P. Feldstärke einer Punktladung: E(Q, r) = Q r e r 4

5 r: Vektor von der Punktladung zum fraglichen Ort e r = r r, mit r = r, r = r r = r P hat von jedem Eckpunkt denselben Abstand r: ( ) mit e r =, etc. a + a = (r) = r = a E00 = q ( ) a 4πϵ 0 E0a = Eaa = Ea0 = q a q a q a ( ) ( ) ( ) = Eges = E00 + E0a + Eaa + q Ea0 = πϵ 0 a q = πϵ 0 a Eges = ( ) 0 = q πϵ0 a }{{} = Eges 0 8 C π 8,85 0 C Nm (0,05 m) [ ( ) ( + ) ( ) 0 }{{} Richtungsvektor von Eges, hat Betrag. ( 0 ) =,0 0 5 N C e y ( ) + ( )] = c) Es befinde sich nun eine Punktladung im Punkt P, deren Ladung q beträgt. Berechnen Sie die Kraft F, die auf diese Ladung wirkt. F = E Q = F q = q q ( ) 0 =,0 0 3 N e πϵ0 a y 5

6 3. Elektrisches Feld Es sei folgendes statisches Feld gegeben. x y E (x,y,z) = E0 z cos(y) x + y + z a) Berechnen Sie die Divergenz des Feldes. x x y div E = E (x,y,z) = y E 0 z cos(y) = z x + y + z = ( x (x y) + y (z cos(y)) + z (x + y + z ))E 0 = (xy z sin(y) + z)e 0 b) Berechnen Sie die Rotation des Feldes. x E 0 (x y) rot E = E (x,y,z) = y E 0 (z cos(y)) = z E 0 (x + y + z ) y (x + y + z ) z (z cos(y)) y cos(y) z (x y) x (x + y + z ) = E 0 x x (z cos(y)) y (x y) x E 0 c) Berechnen Sie E (x,y,z). Laplace-Operator wird auf jede Komponente des Feldes angewendet (E 0 (x y)) ( x + y + z)(e 0 (x y)) E (x,y,z) = (E 0 (z cos(y))) = ( (E 0 (x + y + z x + y + z)(e 0 (z cos(y))) = )) ( x + y + z)(e 0 (x + y + z )) y = E 0 z cos(y) 6 6

7 4. Van-de-Graaf-Generator Beim elektrostatischen van-de-graaf-generator wird zur Erzeugung sehr hoher Spannungen mit einem isolierenden Band Ladung auf eine isoliert aufgehängte Metallhohlkugel (Radius R =,5 m) gebracht. Die Kugel trage die Ladung Q =,0 0 4 C. a) Leiten Sie über den Satz von Gauß die Feldstärke E(r) als Funktion des Abstandes r vom Kugelmittelpunkt her. Unterscheiden Sie dabei die Bereiche innerhalb und außerhalb der Kugel. Gaußscher Satz: D d A = V V ρdv }{{} Ladung im Integrationsgebiet, mit ρ = Ladungsdichte. Wähle für beide Fälle eine Kugel mit Radius r als Integrationsgebiet V (Koordinatenursprung in der Mitte der Metallhohlkugel). Es gilt: D = ϵ E. Hier ist ϵ = ϵ0.. V = V E d A = ϵ 0 E d A E A, da E-Feld radialsymm. = V ρdv, mit V = Randfläche von V V E da = E V da = E 4πr für r < R gilt: ρdv = 0 (keine Ladungen innerhalb der Metallhohlkugel) V mit Gauß folgt: E 4πr = 0 = E(r) = 0 7

8 für r R gilt: V ρ dv = Q mit Gauß folgt: E 4πr = ϵ 0 Q = E(r) = Q r b) Welche Feldstärke herrscht (außen) direkt an der Kugeloberfläche?,0 0 E(R) = 4 C 4π 8,85 0 C (,5 m) = 4,0 Nm 05 V/m c) Wie groß ist das Potential φ(r) innerhalb und außerhalb der Kugel? Das Potential an einem Ort r ist dabei definiert als die Arbeit, die nötig ist, um eine positive Probeladung von einem Referenzpunkt R ref an den Ort r zu bringen. φ(r) = Setzen Sie den Referenzpunkt ins Unendliche. Bezugspunkt R re f =. Für r R gilt: r φ(r) = E d r = Q r r d r = r R ref Ed r Q [ ] r = Q r r = 9,0 05 Vm r Für r < R ist φ(r) konstant, da wegen E(r) = 0 das Verschieben einer Probeladung innerhalb der Metallhohlkugel keine Arbeit kostet. φ(r < R) Stetigkeit = φ(r = R) = 9,0 0 5 Vm,5 m = 6,0 05 V d) Skizzieren Sie die Verläufe von E(r) und φ(r) 8

9 e) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation des elektrischen Feldes außerhalb der Kugel. aus b): E(r) = Q r, mit r > R und E( r) radialsymmetrisch x = Q r E( r) = r r = Q (x +y +z ) 3/ x y mit r = y z (x +y +z ) 3/ z (x +y +z ) 3/ Divergenz: div E( r) = E( r) = / x Ex ( r) + / y Ey ( r) + / z Ez ( r) [ x ] x (x + y + z ) 3/ / y und / z analog. = (x + y + z ) 3/ x 3 (x + y + z ) / x (x + y + z ) 3 = r3 3x r r 6 ( = div Q r 3 3x r E( r) = r 6 + r3 3y r r 6 = Q 3r 3 3r(x + y + z ) r 6 = 0 + r3 3z ) r r 6 = Bemerkung: einfacher wäre es mit Gaußschem Gesetz in differentieller Form gewesen: div D( r) = ρ( r) = 0 = div E( r) = 0 9

10 Rotation: rot E( r) = Q E( r) = r r 3 Es genügt hier sich die x-komponente von r zu betrachten: r3 ( ) ( z y (x + y + z ) 3/ z y (x + y + z ) 3/ ) = = 0 3zy(x + y + z ) / 0 + 3yz(x + y + z ) / (x + y + z ) 3 = 0 Die y- und z-komponenten folgen analog = rot E( r) = 0. Bemerkung: dies kann man direkt aus dem Induktionsgesetz sehen mit B t = 0. 0