Klausur. Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jede Seite und legen Sie Ihren Lichtbildausweis bereit.

Transkript

1 PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2 Prof. J. Lipfert SS 206 Klausur Name: Matrikelnummer: Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jede Seite und legen Sie Ihren Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner, zwei beidseitig beschriebene DIN A4 Blätter, Wörterbuch Bearbeitungszeit: 20 min Ergebnisse bitte nur auf die Aufgabenblätter (ggf. auch die Rückseiten beschreiben). Viel Erfolg! Aufgabe Erreichte Punkte Mögliche Punkte Σ 00 Einige nützliche Konstanten Erdmasse M E kg Erdradius R E 6370 kg Gravitationskonstante G m3 kg s 2 Elementarladung: e C Dielektrizitätskonstante: ɛ C2 N m 2 Magnetische Feldkonstante: µ T m A Plancksches Wirkungsquantum (Planck-Konstante): h J s Masse eines Elektrons: m e = kg

2 Aufgabe Verständnisfragen (30 Punkte). Geben Sie kurze Antworten (-2 Sätze, bzw. kurze Rechnung, bzw. einfache Skizze) auf die folgenden Fragen. a) Ordnen Sie folgende Arten elektromagnetischer Strahlung nach Größe der Wellenlänge (von langen zu kurzen Wellenlängen): i) Röntgenstrahlen zur Untersuchung von Gitterstrukturen, ii) Radiowellen für den Rundfunk, iii) grünes Laserlicht, iv) Licht eines Infrarot-Lasers. b) Sie möchten Interferenz an dünnen Schichten beobachten. Dazu strahlen Sie Licht einer bestimmten Wellenlänge λ aus Luft auf ein dünnes Glasplättchen mit Brechnungsindex n G =.5. Was muss für den Gangunterschied in der dünnen Schicht s gelten, damit konstruktive Interferenz auftritt, für den Fall: i) unter dem Glasplättchen befindet sich wieder Luft? ii) unter dem Glasplättchen befindet sich Diamant mit Brechungsindex n D = 2.4? c) Nennen Sie die Kirchhoffschen Regeln und erklären Sie, was diese besagen! d) Die simpelsten Polfilter bestehen aus dünnen, parallelen Drähten mit Abständen d kleiner als die Wellenlänge λ des zu polarisierenden Lichts. Was muss für die Richtung des Vektors der elektrischen Feldstärke gelten, damit Licht einen solchen Polfilter passieren kann? e) Ein Draht mit einem Durchmesser von 0.02 m besteht aus einem Material mit 0 28 freien Elektronen pro Kubikmeter. Wenn ein Strom von 00 A durch diesen Draht fließt, wie groß ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen? f) Ein Material habe eine (relative) Dielektrizitätskonstante von 2. und eine (relative) magnetische Permeabilität von.0. Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit in diesem Material, relativ zur Vakuumslichtgeschwindigkeit c? g) Eine Radiostation sendet elektromagnetische Wellen mit einer Wellenlänge von 3.0 m. Auf welche Frequenz müssen Sie ihr Autoradio stellen, um die Station zu empfangen? h) Was ist die Photonenenergie der Wellen aus der letzten Teilaufgabe? i) In der Radioastronomie benutzt man Teleskope für Radiowellen, um Sterne in diesem Bereich des elektromagnetischen Spektrums zu beobachten. Warum benötigt man dafür Teleskope mit einem viel größeren Durchmesser als für Messungen sichtbaren Bereich, um eine ähnliche Auslösung zu erreichen? j) Das Bild zeigt eine Parallelschaltung von sogenannten Leidener Flaschen, d.h. von einfachen Kondensatoren. Wenn eine der unten gezeigten Flaschen eine Kapazität von nf hat, wie groß ist die Gesamtkapazität des unten gezeigten Aufbaus? 2

3 Lösung a) Radiowellen, Infrarotlaser, grüner Laser, Röntgenstrahlen b) Im Fall i) tritt bei der ersten Reflexion an der Luft-Glas Grenzfläche ein Phasensprung von λ 2 auf, bei der zweiten Reflexion an der Glas-Luft Grenzfläche jedoch nicht. Also gilt hier als Kriterium für konstruktive Interferenz: ( s = m ) λ 2 Im Fall ii) tritt bei beiden Reflexionen ein Phasensprung von λ 2 Interferenz: s = mλ auf, also gilt für konstruktive c) Kirchhoff sche Regeln: Knotenregel: In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. Maschenregel: Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. d) Richtige Antwort: Das elektrische Feld schwingt senkrecht zu den Drähten des Filters. e) Es gilt: Und damit: f) Es ist: v D = I ena = c M = I = enav D 4I enπd 2 = 98.7 µm s c ɛr µ r 0.7c g) Allgemein c = f λ, somit f = c/λ = 0 8 Hz = 00 MHz. h) Allgemein E Photon = h f = h c/λ = 240 ev nm nm = ev. i) Die Winkelauflösung eines Teleskops ist beugungslimitiert, und in etwa durch das Rayleigh- Kriterium gegeben: θ min λ/d, wobei d der Durchmesser des Teleskops und λ die Wellenlänge der Strahlung ist. Da für Radiowellen gilt λ Radio λ vis, muss der Durchmesser von Teleskopen für Radiowellen wesentlich grösser als für sichtbares Licht sein, um eine ähnliche Winkelauflösung zu erreichen. j) Für eine Parallelschaltung von Kondensatoren gilt C ges = i C i. Im Bild sieht man 5 x 5 = 25 Leidener Flaschen, die parallel geschaltet sind, somit C ges = 25 nf. 3

4 Aufgabe 2 E-Feld einer homogen geladenen Kugel. (20 Punkte) a) Wie lautet der Gauß sche Satz der Elektrostatik? b) Betrachten Sie nun eine homogen geladene Vollkugel mit Radius R und Gesamtladung Q. Berechnen Sie das elektrische Feld außerhalb der Kugel! c) Berechnen Sie nun das Feld innerhalb der Kugel! d) Skizzieren Sie das elektrische Feld der Kugel als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt der Kugel r, im Bereich r = 0...3R. 4

5 Lösung a) Differentielle Form: Integrale Form: V E = ρ ɛ 0 dv E = da E = Q ɛ 0 Ladungen sind also Quellen bzw. Senken des Elektrostatischen Felds b) Für die homogen geladene Kugel gilt Q = 4 3 πr3 ρ. Aus Symmetriegründen muss E radial nach außen zeigen, also E da ˆr. Außerhalb der Kugel gilt also: da E = 4πr 2 E = Q ɛ 0 V V Und damit E = Q 4πɛ 0 r 2 ˆr c) Innerhalb der Kugel ist Q i = 4 3 πr 3 ρ = Q ( r R ) 3. Daraus folgt für das Innenfeld: E = Q 4πɛ 0 r R 3 ˆr d) Feld steigt im Bereich 0 R linear an und sinkt dann r 2 Electric field [E0] E r Inner field Outer field E /r Distance from sphere center [R] 5

6 Aufgabe 3 Lorentzkraft (20 Punkte) Ein Elektron, das zunächst in Ruhe ist, durchläuft eine positive Beschleunigungsspannung V in x-richtung und tritt dann in ein homogenes Magnetfeld in z-richtung B ( r) = B 0 ê z. a) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des Elektrons nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung an! b) Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft auf das Elektron. Geben Sie einen Ausdruck für den Betrag der Lorentzkraft an. In welche Richtung zeigt sie? c) Durch die Lorentzkraft wird das Elektron auf eine Kreisbahn gezwungen. Berechnen Sie ihren Radius durch Betrachten eines geeigneten Kräftegleichgewichts für V = 0 kv und B 0 = T! d) Leistet das Magnetfeld Arbeit am Elektron? Begründen Sie Ihre Antwort! 6

7 Lösung a) Gleichsetzen von kinetischer und elektrischer Energie liefert v: 2 mv 2 = ev 2eV v = m b) Lorentzkraft: Betrag also: F = q v B = evê x B 0 ê z = evbê y F = evb 0 c) Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentrifugalkraft liefert Radius: evb 0 = mv 2 r r = mv = 2mV eb 0 B 0 e µm d) Die geleistete Arbeit berechnet sich aus W = F d s. Wegen dem Kreuzprodukt in der Lorentzkraft wirkt diese immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Elektrons. Deswegen verschwindet das Skalarprodukt. Es wird keine Arbeit geleistet. 7

8 Aufgabe 4 Schwingkreis (5 Punkte) In folgender Schaltung sei der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 geladen und es fließe kein Strom. Gehen Sie davon aus, dass sich alle Bauteile ideal verhalten, es also keinen ohmschen Widerstand R gibt! L C a) Stellen Sie mit Hilfe der Kirchoffschen Regeln die Differentialgleichung für Q(t) auf, welche den Schwingkreis beschreibt. b) Zeigen Sie, dass der Ansatz Q(t) = Q 0 cos (ω 0 t) die Differentialgleichung löst und geben Sie ω 0 an. c) Fügt man im obigen Schwingkreis noch einen ohmschen Widerstand R hinzu, tritt Dämpfung auf. In diesem Fall lautet die Lösung der Schwingungsgleichung: Q (t) = Q 0 e R 2L t cos ( ω t + φ ) mit ω = ω0 2 ( R 2 2L) und ω0 der ungedämpften Kreisfrequenz. Wie lange dauert es in einem Schwingkreis mit C = 0. µf, L = 50.0 µh und R = 5.0 Ω bis die Amplitude der Schwingung auf e der Ausgangsamplitude abgefallen ist? Wie viele komplette Schwingungen führt der Schwingkreis in dieser Zeit aus? 8

9 Lösung. a) b) U C + U L = 0 Q(t) + Lİ (t) = 0 C Q(t) C + L Q(t) = 0 Q(t) = Q 0 cos (ω 0 t) Q (t) = Q 0 ω 2 0 cos (ω 0 t) LC ω2 0 = 0 ω 0 = LC c) Die Zeitkonstante wird aus der Angabe entnommen: τ = 2L R = 20.0 µs Der Schwingkreis hat eine Periodendauer von T = 2π ω 0 = 2π LC ( ) = 4. µs R 2 2L Der Schwingkreis führt also eine komplette Schwingung aus. 9

10 Aufgabe 5 Optik (5 Punkte) Die Objektiv-Linse eines Mikroskops hat eine Brennweite von f Ob = 7.0 mm. Es erzeugt 7.7 cm von seiner Linsenebene entfernt ein reelles Bild. a) Wie weit vor dem Objektiv befindet sich der Gegenstand? b) Das Okular des Mikroskops hat eine Brennweite von f Ok = 5.0 mm. In welchem Abstand vom Objektiv muss das Okular plaziert werden, damit der Betrachter das Endbild im Unendlichen sieht? c) Skizzieren Sie den Aufbau des Mikroskops und den Strahlengang durch dasselbe. Zeichnen Sie den Gegenstand und das Zwischenbild ein. (Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein.) d) Welche Vergößerung ergibt sich für einen Betrachter, dessen Nahpunkt bei s 0 = 25.0 cm liegt? e) Was sind chromatische Abberationen? 0

11 Lösung. a) Für das Objektiv gilt die Linsengleichung Durch Einsetzen der Zahlenwerte b + g = f 7.7 cm + g =.7 cm und Auflösen nach der Gegenstandsweite ergibt sich g =.88 cm b) Das Bild der Objektivlinse ist der Gegenstand, der mit dem Okular betrachtet wird. Da das Bild der Okularlinse im Unendlichen liegt, gilt: b Ok und damit b Ok 0 Stellt man nun die Linsengleichung für das Okular auf, so ergibt sich 0 + Gegenstandsweite des Okulars betrgägt folglich g Ok = 5. cm g Ok = f OK. Die Der Abstand der beiden Linsen setzt sich aus der Bildweite des Objektivs und der Gegenstandsweite des Okulars zusammen. Es ergibt sich d = 7.7 cm cm = 22.8 cm c) Bei der Skizze sind folgende Dinge wichtig: - Für den Strahlengang durchs Objektiv sind Brennstrahlen, Parallelstrahlen und der Mittelpunktstrahl gezeichnet. - Das reelle Zwischenbild steht auf dem Kopf und liegt in der Brennebene der Okularlinse. - Der weitere Strahlengang durchs Okular kann entweder durch Fortführung der vom Objektiv kommenden Strahlen oder durch Konstruktion von Hilfsstrahlen (Mittelpunktstrahl oder Parallel- und Brennpunktstrahl) gezeichnet werden. - Die aus dem Okular austretenden Strahlen müssen aber in jedem Fall parallel sein, da das reelle Zwischenbild ja in der Brennebene des Okulars liegt. d) Die Vergößerung des Mikroskops ergibt sich durch V = V Ob V Ok = t f 0b s 0 f 0k Die Tubuslänge t berechnet sich folgendermaßen t = d f Ob f Ok = 22.8 cm.7 cm 5. cm = 6.0 cm Für die Vergößerung beträgt damit V = = 46. e) Chromatische Abberationen sind Abbildungsfehler von Linsen, die daher rühren, dass Licht verschiedener Wellenlängen, also verschiedenfarbiges Licht, beim Übergang von einem Medium zum anderen unterschiedlich stark gebrochen wird.