Elektromagnetische Feldtheorie 1

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Vincent Otto
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1 Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Wintersemester 08/09 Elektromagnetische Feldtheorie 1 Mittwoch, , 9:00 10:00 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder Elektrodynamik der Fachschaft EI 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine Kopien oder Drucke Mathematische Formelsammlung Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen! Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an! Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet. Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig gelöst werden.

2 1. Aufgabe (15 Punkte) Gegeben ist ein Kugelkondensator (siehe nebenstehende Abbildung). Die innere Elektrode besteht aus einer metallischen Kugel mit dem Radius R. Die äußere Elektrode besteht aus einer metallischen Kugelschale mit dem Radius 3R. Zwischen den beiden Elektroden befinden sich zwei Medien. Im Bereich von R < r < 2R herrscht Vakuum mit der Dielektrizitätskonstanten ǫ 0 und im Bereich von 2R r < 3R befindet sich ein Dielektrikum mit der ortsabhängigen Dielektrizitätskonstanten ǫ(r) = ǫ 0 9R2. r 2 Auf der inneren und der äußeren Elektrode sind die Ladungen Q i > 0 und Q a vorhanden ( Q i = Q a = Q). *a) Bestimmen Sie den Betrag der dielektrischen Verschiebung D(r) im Innenraum und außerhalb des Kugelkondensators. Welche Richtung hat die dielektrische Verschiebung D(r)? b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E(r) und skizzieren Sie den Betrag E(r) für 0 < r < 4R. Achten Sie auf eine vollständige Beschriftung der Achsen. c) Berechnen Sie die Polarisation P(r) und die Polarisationsraumladungsdichte ρ pol zwischen den Elektroden (R < r < 3R) in Abhängigkeit von den gegeben Größen. d) Berechnen Sie die Polarisationsoberflächenladungsdichte σ pol an den Grenzflächen bei r = 2R und r = 3R. e) Auf die Grenzfläche bei r = 2R wirkt eine Kraft. Wodurch wird diese Kraft verursacht? Erläutern Sie anschaulich die Ursache und die Richtung dieser Kraft. (Keine Rechnung erforderlich)

3 2. Aufgabe (12 Punkte) Gegeben ist eine quadratische Leiterschleife ( Sender ) mit der Seitenlänge a, die von einem niederfrequenten Strom durchflossen wird. Der Mittelpunkt dieser Senderschleife fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen. Die Permeabilität des umgebenden Mediums ist µ 0. Das magnetische Dipolmoment der Anordnung ist: m(t) = 4π µ 0 K 0 sin ωt e z *a) Berechnen Sie aus der Geometrie der Anordnung mit Hilfe des magnetischen Dipolmoments m(t) den Strom I(t) (siehe Skizze), welcher die Senderschleife durchfließt. *b) Berechnen Sie mit Hilfe des magnetischen Dipolmoments m(t) das von der Senderschleife erzeugte Vektorpotential A( r, t) im Fernfeld ( r a) in Kugelkoordinaten. Hinweis: Sie können hierbei annehmen, dass der statische Zusammenhang zwischen m und A( r) gültig bleibt, sofern die Kreisfrequenz ω hinreichend klein ist. Ersatzergebnis: Sollten Sie Teilaufgabe b) nicht lösen können, so verwenden Sie für alle folgenden Teilaufgaben folgendes Ersatzergebnis: A( r) = K 1 sin ωt sin ϑ r 2 *c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B( r, t) in Kugelkoordinaten. Im folgenden wird eine kreisförmige Leiterschleife ( Empfänger ) mit dem Radius b in das von der quadratischen Senderschleife erzeugte Magnetfeld gebracht. Die kreisförmige Empfängerschleife liegt in der Ebene z = 0 bzw. in Kugelkoordinaten ϑ = 90. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Empfängerschleife fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen (siehe Skizze). Es gilt b a. e ϕ *d) Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen der induzierten Spannung U ind (t) und dem Vektorpotential A( r, t) her. Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Stokes. e) Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe d) die induzierte Spannung U ind (t), die an der Empfängerschleife abgegriffen werden kann, in Abhängigkeit von Geometriegrößen und der Amplitude K 0 und Kreisfrequenz ω des Sendersignals (bzw. den Größen K 1 und ω des Ersatzergebnisses). Führen Sie Ihre Rechnung in Kugelkoordinaten durch.

4 3. Aufgabe (12 Punkte) Ein p- und ein n-halbleiter stoßen an der Ebene x = 0 zusammen. In beiden Halbleitern befinden sich bewegliche und unbewegliche Ladungsträger. Die beweglichen Ladungsträger im p-halbleiter sind Löcher mit dem Diffusionskoeffizienten D p und der Beweglichkeit µ p, im n-halbleiter Elektronen mit dem Diffusionskoeffizienten D n und der Beweglichkeit µ n. Die Gesamtdichte der elektrischen Ladungsträger ρ(x) sowie das elektrische Feld E(x) sind für t = 0 überall gleich null, d.h. der Halbleiter ist überall elektrisch neutral. Zum Zeitpunkt t = 0 ist folgende Verteilung der Dichten der beweglichen Ladungsträger gegeben: p y N p N n r=0 n -b/2 b/2 x Der Verlauf der Löcherdichte ist mit p(x), der der Elektronendichte mit n(x) bezeichnet, wobei für deren Plateauwerte gilt: N p = 2N n. *a) Geben Sie eine mathematische Beschreibung der Löcher- und Elektronendichte p(x) und n(x) im Bereich b 2 < x < b 2 an. Durch die Gradienten der Trägerverteilungen p(x) und n(x) werden Diffusionsströme verursacht. Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 0 und für b 2 < x < b 2 : b) Die Richtungen der Teilchenströme der Löcher i p und der Elektronen i n ; c) Die Löcherstromdichte j p (x) und die Elektronenstromdichte j n (x) sowie die Gesamtstromdichte j(x). Nach einiger Zeit stellt sich als Ergebnis der Trägerdiffusion ein thermodynamisches Gleichgewicht mit folgender Verteilung der Gesamtladung ρ(x) ein: qn n -d p d n x -qn p Das elektrische Feld E(x) ist außerhalb der Raumladungszone x d p und x d n gleich null.

5 *d) Berechnen und skizzieren Sie für das Innere der Raumladungszone d p < x < d n den Verlauf der elektrischen Feldstärke E(x). e) Welche Gesamtladung Q ist in der Raumladungszone ( d p < x < d n ) enthalten? Viel Erfolg!

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