Elektrodynamik (T3p)

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1 Zusatzaufgaben zur Vorlesung Elektrodynamik (T3p) SoSe 5 Beachten Sie, dass die nachfolgenden Aufgaben nur als zusätzliche Übung und nicht als potenzielle Klausuraufgaben angesehen werden sollten! Aufgabe : Maxwell Gleichungen Benutzen Sie die Maxwell Gleichungen sowie die Darstellung der Felder durch die elektromagnetischen Potentiale, um die folgenden Differentialgleichungen herzuleiten a) Kontinuitätsgleichung: t ρ(t, r) + j =. b) Wellengleichung für Vektorpotential: ( c t ) A(t, r) = µ j, wobei Sie die spezielle Eichung (Lorenz-Eichung) c tv (t, r) + A(t, r) = verwenden dürfen. Betrachten Sie nun den ladungs- und stromfreien Fall. c) Zeigen Sie, dass sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld eine Wellengleichung der Form ( ) c t F (t, r) = erfüllen. Aufgabe : Poynting-Vektor Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum sind gegeben durch E = t B, B = µ j + c t E. a) Zeigen Sie die folgende Identität ( t c B + E ) = c ( E B) E j. ɛ b) Betrachten Sie ein Teilchen der Ladung q, dass sich mit der Geschwindigkeit v in einem elektromagnetischen Fled bewege. Zeigen Sie, dass die Ableitung seiner kinetischen Energie gegeben ist durch d dt W kin = q v E. Was ist das Äquivalent für eine kontinuierliche Ladungsverteilung? c) Beweisen Sie den Satz von Poynting, [( ) ] ɛ t d 3 r (c B + E ) + W kin V = d x n S, V wobei V ein beliebiges Voulumen und V dessen Oberfläche sei. Setzen Sie für t W kin das Ergebnis aus b) ein. Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung eines jeden Terms.

2 Aufgabe 3: Ebene Wellen im leitenden Medium a) Betrachten Sie eine ebene Welle im freien Raum. In Aufgabe haben Sie die Wellengleichungen für das elektrische und magnetische Feld hergeleitet. Zeigen Sie, dass die Ebenen Wellen ( ) [( ) ] E(t, r) E = Re exp(ikz iωt) ; E B(t, r) B, B = const. und R 3. eine Lösung dieser Gleichungen sind und finden Sie die Dispersionsrelation. Was ist die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit? b) Nun betrachten wir ein Medium mit endlicher Leitfähigkeit σ >. In einem solchen Medium sind die Stromdichte und das elektrische Feld verbunden über j = σ E. Leiten Sie in diesem Fall die Wellegleichung für das elektromagnetische Feld her und zeigen Sie, dass die Amplitude einer ebenen Welle mit der Eindringtiefe in das Medium abfällt. c) Berechnen Sie für eine niederfrequente Welle die Eindirngtiefe δ, die beschreibt, wie weit eine ebene Welle in das Medium eindringen kann. δ wird per Konvention als die Tiefe definiert, bei der die Amplitude der Welle um einen Faktor e abgefallen ist. Hinweis: i = + i Aufgabe 4: Rayleighstreuung Die Streuung von Licht an einzelnen Atomen kann wie folgt beschrieben werden. Ein Elektron mit Ladung q = e und Masse m e bewege sich in einem harmonischen Oszillatorpotential mit der Frequenz ω. Eine elektromagnetische Welle E(t, r) = E e i(ωt i k r) B(t, r) = k k E(t, r) treffe auf das Elektron. Die Bewegungsgleichung r (t) des Elektrons lautet dann ( m e r + m e ω r = e E e i(ωt i k r ) + r ) c B. Die Geschwindigkeit des Elektrons v = r sei nichtrelativistisch, v/c, sadaß wir die vom Magnetfeld herrührende Kraft vernachlässigen können. Weiter sei die Wellenlänge der einfallenden Welle groãÿ gegenüber der Auslenkung des Elektrons λ r (t). Wegen exp( i k r ) = + O(r /λ) lautet die Bewegungsgleichung nun m e r + m e ω r = e E e iωt. a) Bestimmen Sie die Lösung r (t) der Bewegungsgleichung und bestimmen Sie damit das Dipolmoment p(t) des Elekrons. b) Bestimmen Sie die zeitlich gemittelte, abgestrahlte Leistung P dieses schwingenden Dipols. c) Bestimmen Sie den zeitlich gemittelten Poyntingvektor S der ebenen Welle. Hinweis: Für die abgestrahlte Leistung gilt P (t) = ω p(t r c ) 3c 3.

3 Aufgabe 5: Magnetisches Dipolmoment Betrachten Sie eine lokalisierte Stromdichte j( r) (lokalisiert j = ). Im Falle der Coulomb- Eichung div A = kann man das Vektorpotential berechnen zu: A( r) = µ 4π d 3 r j( r ) r r. a) Führen Sie eine Multipolentwicklung durch, d.h. entwickeln Sie den Integranden für r r bis zur linearen Ordnung. Als Ergebnis sollten Sie finden [ ] A( r) = µ d 3 r j( r ) + ( r r ) j( r ) 4π r r 3. Identifizieren Sie die auftretenden Terme analog der Multipolentwicklung für das elektrische Potential aus der Elektrostatik. b) Zeigen Sie, dass gilt: d 3 r ( r r ) j( r ) = d 3 r ( j( r ) r) r c) Argumentieren Sie mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b), dass damit gilt: ( r r ) j( r ) = r ( j( r ) r ). Hierbei dürfen Sie ohne Beweis die folgende Relation fã 4r Vektoren a, b, c verwenden: a (b c) = b(a c) c(a b). d) Zeigen Sie letztlich, dass Sie den Dipolbeitrag des Vektorpotentials schreiben können zu A Dipol ( r) = µ m r 4π r 3. Durch welchen Integralausdruck ist das magnetische Dipolmoment m gegeben? Vergleichen Sie die Form des mit der Dipolnäherung in der Elektrostatik. Aufgabe 6: Strahlungsdruck Betrachten Sie eine ebene Welle der Form E(t, r) = Ee i(ωt kz) e x mit E, B R. E(t, r) = Be i(ωt kz) e y a) Welche Dispersionsrelation ergibt sich für die ebene Welle? b) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Amplituden E und B an. Um welche Art Welle handelt es sich, d.h. bestimmen Sie ob es eine TE, TM oder TEM Welle ist. Hinweis: Für die jeweiligen Relationen gilt E k, für TE B k, für TM E k und B k, für TEM c) Berechnen Sie den Poyntingvektor S. Wohin fließt die elektromagnetische Energie? 3

4 Betrachten Sie nun eine Metallplatte bei z =. Die elektromagnetische Welle trifft zur Zeit t = auf die Metallplatte und übt auf ein darin enthaltenes Elektron eine Kraft aus. F = m e v = e E(t =, z = ) e v B(t =, z = ) d) Bestimmen Sie die Bewegung des Elektrons für eine kurze Zeit nach dem Zeitnullpunkt. Zeigen Sie weiter, dass das Elektron eine Kraft in z-richtung erfährt welche somit zu einem Strahlungsdruck auf die Metallplatte führt. Aufgabe 7: Separation der Variablen Gesucht ist die Lösung der zweidimensionalen Laplacegleichung Φ = ( x + y)φ = in V mit den Randbedingungen wie im Bild. Die Randbedingungen sind stetig (da Φ in V differenzierbar ist), daher gilt Φ () = = Φ (x ). y Φ(x, y )=Φ (x) y Φ = V Φ = Φ = Benutzen Sie den Separationsansatz Φ(x, y) = f(x)g(y). a) Zeigen Sie, daß f und g die Gleichungen x x d g dy = βg, d f dx = βf erfüllen, wobei β zunächst eine beliebige reelle Konstante ist. b) Vergewissern Sie sich, daß es für β < keine Lösung gibt, die mit den Randbedingungen konsistent ist. Daher können Sie im folgenden β = α setzen. c) Finden Sie damit nun die (eindeutige) Lösung von Φ = in V mit den angegebenen Randbedingungen. Sie sollten ( ) ( ) nπ nπ Φ(x, y) = c n sinh y sin x, x x n= c n = ( ) nπ x sinh x y x ( ) nπ dx Φ (x) sin x x finden, wobei Sie die Orthogonalitätsbedingung x ( ) ( ) nπ mπ dx sin x sin x = x x x δ nm (m, n > ) () verwenden müssen. Hinweis: Benutzen Sie die drei Randbedingungen Φ =, um die mögliche Form der Produktlösungen einzuschränken. d) Zeigen Sie () mit Hilfe der Formel sin θ sin ϕ = [cos(θ ϕ) cos(θ + ϕ)]. 4

5 Aufgabe 8: Elektrostatische Energie a) Das Potential einer homogen geladenen Kugel von Radius R mit der Gesamtladung Q ist gegeben durch V ( r) = Q 4πɛ R 3 (3R r ) für r R, wobei r = x + y + z die Radialkoordinate ist. Berechnen Sie damit die elektrostatische Energie der homogen geladenen Kugel. b) Leiten Sie nun einen Ausdruck für da Potential einer leitenden Kugel von gleicher Gesamtladung und gleichem Radius her, und berechnen Sie die entsprechende Energie. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben a) und b), und begründen Sie kurz, warum es auch ohne Rechnung physikalisch einsichtig ist, dass eine der Kugeln einen größeren Energieinhalt hat. c) Gegeben ist die Ladungsverteilung ρ( r) = { ρ /r für R r R sonst Berechnen Sie die Gesamtladung Q, das elektrische Feld E und das stetige Potential V in Abhängigkeit von ρ, R und R. Anmerkung: Achten Sie darauf, dass Sie alle Gößen und Vektoren die Sie einführen explizit definieren! Aufgabe 9: Kugelförmiger Hohlraum in Metalblock Betrachten Sie einen geerdeten Metallblock. Im Inneren des Metallblocks befindet sich ein kugelförmiger Hohlraum (Radius R, Mittelpunkt im Ursprung). Wir wollen das elektrostatische Potential im Innern des Hohlraums bestimmen. a) Welche Differentialgleichung muss das Potential V im Hohlraum erfüllen? b) Welche Randbedingung muss das Potential am Rand des Hohlraumes erfüllen? c) Nehmen Sie nun an, dass das Potential unabhängig von den Winkelkoordinaten ist. Zeigen Sie damit, dass das Potential die folgende Differentialgleichung erfüllt: ( ) r r + r V (r) = d) Machen Sie für das Potential folgenden Ansatz: V (r) = f(r) r, mit einer beliebigen Funktion f(r). Leiten Sie für f(r) mittels Teilaufgabe c) eine Differentialgleichung her und lösen Sie diese. e) Was ist also die Lösung für das Potential, welche die gegebenen Randbedingungen aus Teilaufgabe b) erfüllt. Wie lässt sich das Ergebnis erklären? Bei Fragen an: [email protected] 5