Elektromagnetische Feldtheorie 2

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1 Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Sommersemester 08 Elektromagnetische Feldtheorie 2 Montag, , 9:00 10:00 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder Elektrodynamik der Fachschaft EI 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine Kopien oder Drucke Mathematische Formelsammlung Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen! Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an! Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet. Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig gelöst werden.

2 1. Aufgabe (12 Punkte) Gegeben ist eine Anordnung aus drei ideal leitenden Elektroden. Die Elektroden haben die Breite a in x-richtung und die Tiefe b in y-richtung. Zwischen Platte 1 und 2 befindet sich ein homogenes Dielektrikum mit der Permittivität ε 1 = ε 0 und zwischen den Platten 2 und 3 befindet sich ein in x-richtung veränderliches (inhomogenes) Dielektrikum mit der Permittivität: ( ) a + x ε 2 (x) = ε 0 a Die Platten 1 und 2 beziehungsweise 2 und 3 bilden jeweils eine Kondensatoranordnung A bzw. B mit dem Plattenabstand h. Über drei Schalter S 1, S 2, S 3 lassen sich die drei Platten jeweils einzeln auf das Potential V 1 bzw. V 2 bzw. V 3 klemmen oder erden (V i = 0). Nehmen Sie an, dass sich die beiden Kondensatoranordnungen A und B nicht gegenseitig beeinflussen. Streufelder an den Kondensatorberandungen können in allen Rechnungen vernachlässigt werden. *a) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Streufelder der Kondensatoren vernachlässigt werden können? *b) Berechnen Sie die Kapazitätsmatrizen C A ij (i, j = 1, 2) und C B ij (i, j = 2, 3) der beiden Kondensatoranordnungen A und B. c) Stellen Sie die Kapazitätsmatrix (3 3 -Matrix) des Gesamtsystems auf. Für die folgenden Teilaufgaben gelte nun V 1 = V 3 = U und V 2 = 0 V. d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kapazitätsmatrix des Gesamtsystems die in den beiden Kondensatoren gespeicherte elektrische Feldenergie und erklären Sie das erhaltene Ergebnis. e) Berechnen Sie den Betrag und die Richtung der Volumenkraftdichte innerhalb des Dielektrikums zwischen den Platten 2 und 3.

3 2. Aufgabe (8 Punkte) In einem verlustfreien Medium mit verschwindender Leitfähigkeit σ=0, der homogenen magnetischen Permeabilität µ und der homogenen elektrischen Permittivität ǫ breitet sich eine harmonische elektromagnetische Welle aus. Diese ist gegeben durch ihren elektrischen Feldstärkevektor E 1 (z, t) E 1 (z, t) = E 0 cos(kz ωt) e x. *a) Berechnen Sie einen Ausdruck für die zu E 1 (z, t) gehörende magnetische Feldstärke H 1 (z, t). *b) Berechnen Sie die elektromagnetische Energiedichte w 1elmg (z, t). c) Leiten Sie die Bedingung her, der k und ω genügen müssen, damit der Energieerhaltungssatz für die durch E 1 (z, t) gegebene elektromagnetische Welle erfüllt ist. *d) Bestimmen Sie diejenigen z-koordinaten, für die die Feldstärke E 1 (z, t) zum Zeitpunkt t = t 1 den positiven Maximalwert erreicht. Geben Sie das Resultat in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ 1 und den Materialparametern an. In diesem Medium sei zusätzlich folgende Welle gegeben: E 2 (z, t) = E 0 cos(kz ωt + ϕ) e y *e) In welche Richtung breitet sich E 2 (z, t) aus? Unter welchen Bedingungen für ϕ ist die Überlagerung von E 1 (z, t) und E 2 (z, t) rechts- bzw. linkszirkular polarisiert? Hinweis: Rechts- bzw. linkszirkular polarisiert bedeutet, dass sich der elektrische Feldstärkevektor im Uhr- bzw. Gegenuhrzeigersinn kreisförmig dreht, wenn der Welle hinterher geschaut wird.

4 3. Aufgabe (16 Punkte) Gegeben ist eine in x und y Raumrichtung unendlich ausgedehnte, ladungsfreie Schicht A mit 0 z d. Diese Schicht ist umgeben von Vakuum mit der Leitfähigkeit σ = 0, der Raumladungsdichte ρ = 0, der elektrischen Dielektrizitätskonstanten ǫ 0 und der magnetischen Permeabilität µ 0. Für z 0 breitet sich eine elektromagnetische harmonische ebene Welle in positiver z Richtung aus. Ihre elektrische Feldstärke beträgt E( r, t) = E 0 sin( k 0 r ω 0 t) e x für z 0 mit der Kreisfrequenz ω 0, dem reellen Vakuumwellenvektor k 0 und der Amplitude E 0. Die Wellenlänge im Vakuum betrage λ 0 mit λ 0 = d/100. Die Frequenz sei f 0 = 4000 Hz. TEIL 1: In Gebiet A gelte µ A = µ 0, σ A = 0. Die Dielektrizitätskonstante ǫ A in der Schicht A ist zeitveränderlich mit ǫ A (t) = ǫ 0 (1 + t t 0 ) 2, t 0 = 1s und t 0 Die Zeitkonstante t 0 der Änderung von ǫ A kann als sehr groß im Vergleich zur Periode T 0 = 2π/ω 0 von E( r, t) in der Schicht A angenommen werden. *a) Welcher Zusammenhang gilt zwischen der Kreisfrequenz ω A in der Schicht A und der Kreisfrequenz ω 0 im Vakuum? *b) Welcher Zusammenhang gilt zwischen der Kreiswellenzahl k 0 und der Kreisfrequenz ω 0 im Vakuum? Berechnen Sie den Wellenvektor k A (t) in der Schicht A in Abhängigkeit von k 0. c) Welcher Zusammenhang gilt zwischen der Wellenzahl k 0 und der Wellenlänge λ 0 im Vakuum? Berechnen Sie die Wellenlänge λ A (t) in der Schicht A in Abhängigkeit der Vakuumwellenlänge λ 0.

5 d) Schreiben Sie jeweils einen Ansatz für den elektrischen Feldstärkevektor der elektromagnetischen Welle E( r, t) für 0 z d und z d auf. Bestimmen Sie die Amplituden und Phasen in den beiden Gebieten aus den Stetigkeitsbedingungen für E( r, t) bei z = 0 und z = d. e) Zeichnen Sie E( r, t) für d z d + 2λ 0 zu den Zeitpunkten t = 0, t = 2, 5 ms und t = 5 ms in getrennte Grafiken. Beschriften Sie die Achsen. TEIL 2: In der Schicht A gelte nun ǫ A = ǫ 0 und µ A = µ 0. Das Medium in der Schicht A werde im Laufe der Zeit zunehmend leitfähiger mit der spezifischen Leitfähigkeit σ A (t) σ A (t) = 2 ω 0 µ 0 (1 + t t 0 ) 2, t 0 = 1s, t 0 und t 0 T 0 = 2π/ω 0 *f) Berechnen Sie das Dämpfungsmaß α für (d.h. 2π/t 0 ω 0 σ A (t)/ǫ 0 ). mäßig kleine Frequenzen g) Zeichnen Sie E( r, t) für 0 z 2λ 0 zu den Zeitpunkten t = 0, t = 2, 5 ms und t = 5 ms in eine Grafik. Beschriften Sie die Achsen. Viel Erfolg!