1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum

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1 Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Elektrodynamik orlesung Donnerstag SS 9 Elektromagnetische Wellen im akuum Zunächst einige grundlegende Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen im akuum (bzw. in einem homogenen, isotropen Medium). In Abwesenheit von freien Ladungen und Strömen werden die Maxwellgleichungen zu: E = B () B = ɛɛ µµ E Wendet man auf () nochmal den Rotationsoperator ein und setzt () ein so erhält man () ( E) = ( B) ( E) E = ɛɛ µµ E oder auch kurz ( c ) E( r, t) = (3) mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium c = ɛɛ µµ = c n analoge Überlegungen ergeben für B ( c ) B( r, t) = (4) Lösungen dieser Gleichungen sind unter anderen ebene Wellen der Form Nachweis Ψ( x, t) = Ψ( x, t) = A exp(i( k r ωt)) 3 x i A exp(i( k x ωt) = i= 3 ki A exp(i( k r ωt) = k Ψ( x, t) Ψ( x, t = A exp(i( k x ωt) = ω Ψ( x, t) Das heißt für k = ω c k = ω c ist Ψ eine Lösung. Die Amplitude A ist im allgemeinen komplex. on physikalische Bedeutung ist nur der Realteil. Für die elektrischen und magnetischen Felder ergibt sich also: ( B( r, t) = Re B exp(i( ) k r ωt)) i=

2 ( E( r, t) = Re E exp(i( ) k r ωt)) Die explizite Realteilbildung wird in den meisten Fällen nicht mehr hingeschrieben. Die nächste Frage ist nun der geometrische Zusammenhang zwischen E und B. B = E c = iω E } B = B ( ) e i( k r) = i( k B) k B = ω c E Hieraus folgt: nun noch E = B k E = ωb k E = ω B E = c B E B = c ω ( k B ) B = c ω k( B B) c B ω ( B }{{ k) = E B k } k = Die obigen Gleichungen bedeuten zudem, dass E, B, k aufeinander senkrecht stehen. k E k B E B. Wellenpakete Ebene Wellen lösen zwar die Wellengleichung, sind aber physikalisch nicht sinnvoll, da sie über den ganzen Raum ausgebreitet sind, um somit unendlich viel Energie enthalten. Zu diesem Zweck kombiniert man mehrere ebene Wellen zu Wellenpaketen. Die allgemeinste Form von diesen ist: E( r, t) = d 3 ka( k) exp(i( k x ωt)). Polarisation Die nächste Frage ist nun wie sich die Richtung von E in Abhängigkeit der Amplitude im Laufe der Zeit ändert. O.b.d.A k = kê z E = (E x, E y, ) T... lineare Polarisation Zunächst der einfachste Fall, die lineare Polarisation. Bei diesem ist E x R, E y R. Für den elektrischen Anteil der elektromagnetischen Welle ergibt sich dann: E( r, t) = E x E y exp(i( k r ωt)) Das heißt die Richtung von E ändert sich im Laufe der Zeit nicht. Es gibt auch linear polarisiertes Licht mit komplexer Amplitude. Bei diesem gilt: E x = E x exp(iα), E y = E y exp(iα) E x E( r, t) = E y exp(i( k r ω(t α/ω)) Es ist also nur um den Faktor (α/ω) in der Phase verschoben. siehe.3

3 .. Zirkulare Polarisation Bei zirkularer Polarisation gibt es links und rechts polarisiertes Licht. Für rechts zirkulares Licht gilt E x = E, E y = ie, E R (links -zirkular E y = ie ). Dann ergibt sich für die elektromagnetische Welle: E( r, t) = E i exp(i( k r ωt)) = E Physikalisch interessant ist nur der Realteil der Welle E( r, t) = E cos( k r ωt) sin( k r ωt) exp(i( k r ωt)) exp(i( k r ωt + π/)) Die Richtung von E rotiert also um die k-achse. Zirkular Polarisiertes Licht lässt sich auch als Linearkombination von aufeinander senkrecht stehenden linear-polarisierten Wellen mit einer Phasenverschiebung von π/4 interpretieren. Ist E x E y und E x /E y = ±i, dann spricht man von elliptisch polarisiertem Licht..3 Energie des und Impuls EM-Feldes Zunächst betrachtet man ein einzelnes (Punkt)-Teilchen, welches sich in einem EM-Feld befindet. Auf dieses wirkt die Lorentz Kraft: Dadurch ändert sich die Energie des Teilchens F = q( E + ( v B)) de = q( E + ( v B) d r = q( E + ( v B) vdt = q v Edt Ersetzt man nun q = ρd und j = ρ v, so erhält man: de dt = ( E j)d E J ist also die Arbeit, die pro Zeit und olumen verrichtet wird. Drückt man nun noch j mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen durch die Felder aus, so ergibt sich: E j = µ E ( B) ɛ E E Nun nutzt man noch einen Satz aus der ektoranalysis aus: so folgt ( E B) = ( E) E ( B) j E = ( E H) ( ) E D + H B } {{} Elektromagnetische Energiedichte Setzt man dies oben ein so erhält man: de dt = d ( ) E D + H B d dt Der sogenannte Poynting-ektor: S = E H ( E H) da 3

4 gibt also an wie viel Energie pro Zeit durch eine bestimmte Fläche fließt. Der Term ω em = ( ) E D + H B ist dann die Energie die pro olumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist. Die Impulsdichte des em-feldes ist gegeben durch P = /c S Für eine elektromagnetische ebene Welle ergibt sich: S = E H = cɛ E cos ( k x ωt + δ)ê s Mittelt man den Betrag von S nun über die Zeit so erhält man die Intensität einer em-welle I = S = cɛ E Elektromagnetische Wellen in Materie Beim Übergang von Licht von einem Medium zu einem anderen wird ein Teil gebrochen bzw reflektiert. Die Frage ist nun welchen Gesetzmäßigkeiten gelten.. Stetigkeiten an Grenzflächen Zunächst zu Erinnerung noch einmal die von gestern schon bekannten Stetigkeiten von elektrischen und magnetischen Feldern an Grenzflächen. Brechung und Reflexion ɛ E = ɛ E E = E B = B µ B = µ B Trifft eine elektromagnetische Welle auf ein Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes, so wird ein Teil reflektiert und gebrochen. Für die Brechung gilt das sogenannte Snellius sche Brechungsgesetz: sin α sin α = n n Dabei bezeichnen α, die Winkel zur Normalen auf die Grenzfläche. Für die Reflexion gilt, dass der Ausfallwinkel dem Einfallswinkel entspricht. Die Wellenvekoren der einfallenden, reflektierten und der transmittierten Welle liegen alle in einer Ebene der sogennanten Einfallsebene. In dieser liegt auch der Normalenvektor auf der Grenzfläche. Die Amplituden der gebrochenen bzw. reflektierten Welle erhält man aus den Stetigkeiten der einzelnen Felder an den Grenzflächen. Diese hängen auch von der Polarisation der Wellen bzgl. der Einfallsebene ab..3 ein Beispiel In der xy-ebene (z=) befinde sich eine Grenzfläche zwischen zwei Medien. Eine Ebene Welle falle senkrech auf die Grenzfläche. Gesucht sind die Transmissions- und Reflexionskoeffiezienten für diesen Fall. Die einfallende Welle sei E e = E e ê x exp(i(kz ωt)) Die relflektierte Welle bewegt sich in die andere Richung mit gleichem k also gilt für diese: E r = E r ê x exp(i( kz ωt)) 4

5 Die transmittierte Welle bewegt sich in die gleiche Richtung (in diesem Fall), wie die einfallende, nur mit einer anderen Geschwindigkeit Das B-Feld ist jeweils gegeben durch E t = E t ê x exp(i(k z ωt)) B = k E = keê y Beim E-Feld und B-Feld gib es keine Komponente senkrecht zur Grenzfläche. Ausnutzen der Stetigkeitsbedingung bei z= für die parallele Komponente ergibt Aufösen ergibt E e + E r = E t µ (ke e ke r ) = µ k E t E e E r = µk µ k E t = βe t E r = β + β E e E t = + β E e Das erhältnis der Intensität von einfallender zu reflektierter Welle heißt Reflexionskoeffizient R = I ( ) r β = I e + β der Transmissionekoeffizient bezeichnet das erhältniss von einfallender zu transmittierter Welle T = I ( t ɛ c ) 4β = I e ɛc ( + β) = ( + β) Die Summe der beiden Koeffizienten ergibt.4 Absorption R + T = ( ) β 4β + + β ( + β) = Bei Leitern wird ein Teil des Feldes absorbiert. Dieses erreicht man durch Einführung eines komplexen Brechungindexes. n = n r + in a Dadurch wird auch k komplex. k = k r + ik a Dadurch fällt die Amplitude der em-welle exponentiell ab. E = E exp( k a x) exp(i(k r x ωt)) 5

6 3 Maxwellscher Spannungstensor Mit Hilfe des Maxwellschen Spannungtensors und des Pointing-ektors lässt sich die Kraft ausrechenen die auf geladene Teilchen in einem olumen wirkt. Zur Herleitung betrachtet man zunächst wieder die Lorentz-Kraft. F = ( E + v B)ρd die Kraft pro olumenelement ist offensichtlich f = ρ E + J B ersetzt man nun wieder die Stromdichte mittels der Maxwellgleichungen, so ergibt sich nach einigem Umformen: f = ɛ [ E) E + ( E ) E] + [ µ B) B + ( B ) B] ) (ɛ E + µ B ɛ ( E B) Dies kann nun mittels des Maxwell schen Spannungstensors vereinfacht dargestellt werden. T ij = E i D j + H i B j δ ij( E D + H B) Das Skalarprodukt zwischen dem Tensor und einem ektor wird definiert über ( a T ) j = So ist zum Beispiel die x-komponente con T 3 a i T ij i= ( T ) x = x T xx + y T xy + z T xz Die obrige Gleichung kann dann vereinfacht werden zu: f = T c S Hieraus folgt, dass die gesammte Kraft auf Ladungen in einem olumen gegeben ist durch: F = T da d Sd c dt 6