15. Verhalten des elektromagnetischen Feldes. an der Grenzfläche. D = ρ f (15.5) d 3 x ρ f. d 3 x D B = 0; (15.1) d 3 x ρ f df γ f, B = V

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1 15. erhalten des elektromagnetischen eldes an Grenzlächen 15.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen Aus den makroskopischen Maxwell-Gleichungen ergeben sich eine Reihe von Konsequenzen ür das erhalten der elder an der Grenzläche zwischen zwei Medien mit verschiedenen elektrischen und magnetischen Eigenschaten. Im Allgemeinen sind die elder E, D, B und H an Grenzlächen unstetig. Stetigkeitsbedingungen olgen aber ür bestimmte Komponenten unter der Annahme, dass die elder und die zeitlichen Ableitungen beschränkt sind. Der Einachheit halber sei im olgenden angenommen, dass die Grenzläche eben sei. Abbildung 15.1: olumen zur Anwendung des Divergenzsatzes an der Grenzläche zwischen zwei Medien. 1.) Normalkomponenten von B und D Wir betrachten h B = 0; (15.1) und wenden den Gaußschen Integralsatz au das symmetrisch an der Grenzläche angebrachtes olumen (siehe ig. 15.1) an: Die Decklächen (1) und (2) eines Kästchen (Zylinders) mit olumen und Oberläche mögen symmetrisch zur Grenzläche liegen; Größe und Gestalt der Decklächen seien beliebig. Mit dem Divergenzsatz inden wir d 3 x B = d B = (1) (2) d B + d B + O(h) = 0 (15.2) (1) (2) 170 wobei die letzte Gleichheit aus Gl. (15.1) olgt. Der Term O(h) beschreibt den Beitrag von der Mantelläche des Zylinders. Macht man die Höhe h des Kästchen beliebig klein, so verschwinden im Grenzwert h 0 die Mantelbeiträge, und die Stirnlächen (1), (2) gehen gegen die Grenzläche : d ( B (1) B (2)) = d n ( B (1) B (2)) = 0. (15.3) Das orzeichen kommt ins Spiel, weil die lächennormalen der oberen und unteren Stirnlächen entgegengesetzt sind: n (1) = n = n (2). B (1) und B (2) sind die B-elder unmittelbar oberhalb und unterhalb der Grenzläche. Da die Schnittläche beliebig gewählt werden kann, muss ür den Integranden selbst gelten: n ( B (1) B (2)) = 0 (15.4) Diese Gleichung besagt, dass die Normalkomponente von B stetig durch die Grenzläche hindurchgehen muss; da es nur eine Normalkomponente gibt, lässt sich diese Gleichung auch als B (1) n = B (2) n schreiben. Analog olgt aus D = ρ (15.5) mit dem Divergenzsatz d 3 x D = d D = d D+ d D+O(h) = (1) (2) und im Grenzwert h 0 wird d 3 x ρ d γ, d 3 x ρ (15.6) wobei γ die reie Ladung pro läche au der Grenzläche ist. Wenn die räumliche Ladungsdichte ρ der Ladung überall stetig ist, wird γ = 0. Ein γ 0 kann nur autreten, wenn ρ au der Grenzläche singulär ist und dort einen endlichen Wert pro läche besitzt. ür die dielektrische erschiebung gilt also n ( D (1) D (2)) = γ (15.7) 171

2 oder auch D (1) n D (2) n = γ. ür Dielektrika mit γ = 0 ist die Normalkomponente von D stetig; dagegen springt n D beim Übergang von Leiter zu Nichtleiter um γ um den Wert der Ladung pro Grenzläche. 2.) Tangentialkomponenten von E und H Wir benutzen die Maxwellgleichungen E = B ; H = D + j. (15.8) Wir verwenden jetzt eine andere ersion des Gaußschen Satzes, die wir au dasselbe Zylindervolumen von ig anwenden können. Man indet diese ersion wie olgt; es gilt d 3 x b( x) = d b( x) mit olumen, Oberläche und dierenzierbarem ektoreld b( x). Sei nun b( x) = c a( x) mit beliebigem konstantem ektor c: d 3 x c a( x) = d c a( x) (15.9) Im Integranden der linken Seite ist (mit Summenkonvention) c a( x) = α ɛ αβγ c β a γ ( x) = c β ɛ βαγ α a γ ( x) = c ( a( x) ) Au der rechten Seite von Gl. (15.9) hingegen gilt ür das Spatprodukt d c a( x) = c ( a( x) d ) = c (d a( x) ) Einsetzen in Gl. (15.9) ergibt c d 3 x a( x) = c d a( x) und weil c beliebig gewählt werden kann, olgt d 3 x a( x) = d a( x) (15.10) Mit dieser orm des Gaußschen Integralsatzes erhalten wir aus Gl. (15.8) und mit dem Grenzwert h 0 E = d E = d ( E (1) E (2)) = d n ( E (1) E (2)) 172 (15.11) Wir nehmen an, dass das B-eld und seine zeitliche Ableitung au der Grenzläche beschränkt ist, sodass und damit d 3 x B h 0 0, d n ( E (1) E (2)) = 0. Da die Schnittläche beliebig gewählt werden kann, olgt n ( E (1) E (2)) = 0, (15.12) d.h. die Tangentialkomponente von E bezüglich der Schnittläche ist stetig. Bei der zweiten Gleichung von (15.8) tritt zusätzlich d3 x j au. Wiederum verschwindet das Integral, wenn die lussdichte au der Grenzläche stetig ist; die Grenzläche kann aber eine singuläre lächenstromdichte tragen; dann schreiben wir d 3 x = ddz mit der z-koordinate in Normalenrichtung, und damit d 3 x j = d h/2 h/2 dz h 0 j d η mit h/2 η = lim dz j h 0 h/2 η ist dadurch deiniert, dass dq = η dl n dt die Ladung ist, die während der Zeit dt innerhalb der Grenzläche in η -Richtung durch ein Linienelement dl n senkrecht zu η transportiert wird. Unter Annahme der Beschränktheit von D/ an der Grenzläche erhalten wir n ( H (1) H (2)) = η (15.13) d.h. die Tangentialkomponente von H springt an der Grenzläche um die lächenstromdichte η in der Grenzläche senkrecht zu n H Lineare, isotrope Medien In linearen, isotropen Medien gibt es einen linearen Zusammenhang zwischen H und B sowie zwischen E und D: B = µ H; D = ɛ E (15.14) 173

3 Dann indet man aus (15.4), (15.12), (15.7) und (15.13): n ( B (1) B (2)) = 0 n (µ 1H (1) µ ) 2H (2) = 0 (15.15) n ( D (1) D (2)) = γ n (ɛ 1E (1) ɛ ) 2E (2) = γ (15.16) ( n ( E (1) E (2)) D (1) = 0 n ɛ 1 D (2) ɛ 2 ) = 0 (15.17) n ( ( H (1) H (2)) B (1) B (2) ) = η n = η (15.18) µ 1 µ 2 Grenzläche zwischen Metallen Gilt das Ohmsche Gesetz, j = σ E, (15.19) mit Leitähigkeit σ, so olgt aus Gl. (15.12) ür die Tangentialkomponente von j : n ( j (1) σ 1 (2) ) j = 0. (15.20) σ 2 ür die Normalkomponente olgt über die Kontinuitätsgleichung: j + ρ = 0 (15.21) bei Anwendung des Gaußschen Integralsatzes (wie unter 1.) d 3 x j = d j = d j + d j +O(h) = (1) (2) und damit im Grenzwert h 0 d n ( j (1) j (2) ) = Wegen reier Wahl von olgt n ( j (1) j (2) ) γ = d γ d 3 x ρ. (15.22) 174 Speziell ür stationäre Ströme olgt aus j = 0 (15.23) die Stetigkeit der Normalkomponenten n ( j (1) j (2) ) = 0. (15.24) Übergang Leiter - Nichtleiter Wir betrachen ein leitähiges Medium au Seite (1) und ein nichtleitendes au Seite (2). Da im Nichtleiter kein Strom ließen kann, gilt mit Gl. (15.24) n ( j (1) j (2) ) = 0, (15.25) und über das Ohmsche Gesetz Gl. (15.19) olgt, dass n E (1) = 0, (15.26) da σ 1 0. Dagegen olgt ür n E (2) aus Gl. (15.16): ɛ 2 n E (2) = γ. (15.27) Insbesondere ür die Elektrostatik ist, wegen j = 0, auch n E (1) = 0 ; (15.28) dann ordert (15.12) n E (2) = 0, (15.29) also steht das E-eld senkrecht zur Leiteroberläche; es ist null innerhalb des Leiters Relexion und Brechung von Licht In Abwesenheit reier Ladungen ρ = 0, j = 0 lauten die makroskopischen Maxwell-Gleichungen: und B = 0; E = B ; D = 0 (15.30) H = D. (15.31) 175

4 Sie vereinachen sich mit der Annahme linearer, isotroper Medien zu und B = µ H; H = 0; E = µ H ; D = ɛ E, (15.32) E = 0 (15.33) H = ɛ E. (15.34) Wie in Kap. 9 lassen sich die Gleichungen (15.34) unter Beachtung von (15.33) entkoppeln, z.b. ( H ) = ( H ) =0 und man erhält die Wellengleichungen H E = ɛ = ɛ E = ɛµ 2 2 H, (15.35) E 1 2 c 2 2 E = 0; H 1 2 c 2 2 H = 0, (15.36) wobei c die Phasengeschwindigkeit im Medium ist (vgl. Abschnitt 9.3 ): 1 = ɛµ. (15.37) c 2 Ebene Wellen Da wir im olgenden das erhalten des elektromagnetischen eldes an ebenen Grenzlächen untersuchen wollen, betrachten wir Lösungen von (15.36) in orm ebener Wellen, z.b.: E = E 0 e i( k x ωt), (15.38) wobei zwischen ω und k die Beziehung ω = c k = k ɛµ (15.39) 176 gelten muss. Wie in Kap. 9 indet man, dass E, H und k senkrecht zueinander stehen; aus E = 0 olgt E 0 k = 0, und es gilt und damit E = µ H H = 1 1 k E = µω µc e E k E = µω E mit k = ω c e. Gleichung (15.39) unterscheidet sich von (9.25) dadurch, dass dort c eine Konstante ist, während c von ω abhängt, da im Allgemeinen ɛ = ɛ(ω). Die Komponenten verschiedener requenz ω in einem Wellenpaket lauen also mit verschiedener Geschwindigkeit c = c (ω), das Wellenpaket behält seine orm im Laue der Zeit nicht bei (Zerließen von Wellenpaketen; vgl. hierzu Abschnitt 10.3 ). Phasen- versus Gruppengeschwindigkeit Je nach erlau von ɛ(ω) kann c > c werden. Dies bedeutet keinen Widerspruch zur Relativitätstheorie, da die Phasengeschwindigkeit v ph = c nicht identisch ist mit der Gruppengeschwindigkeit ( ) dω v g = (15.40) dk k=k 0 eines Wellenpaketes, dessen Amplitude au die Umgebung der Wellenzahl k 0 konzentriert ist; der Energietransport in einem solchen Wellenpaket ist durch v g und nicht durch v ph bestimmt. Randbedingungen ür jede stetige Komponente von E und H Wir untersuchen nun das erhalten einer Lichtwelle, beschrieben durch (15.38), an einer ebenen Grenzläche (siehe ig. 15.2). O.B.d.A. wählen wir den Ursprung des Koordinatensystems in der Grenzläche, und wir orientieren das Koordinatensystem, dass der Einalls-Wellenvektor k e mit der Grenzlächennormale n die xy-ebene deiniert. Die Grenzläche ist dann also die xz-ebene. ür eine beliebige stetige Komponente, die wir A nennen, muss beim Übertritt von Medium 1 nach Medium 2 die Stetigkeit zwischen Welle oberhalb und Welle unterhalb der Grenze gelten, und zwar ür alle Zeiten t: A e e i( k e x ωt) + A r e i( k r x ωt) = A d e i( k d x ωt) 177 (15.41)

5 ε 1, µ 1 k e y ϑ e ϑ r k r Koplanarität Gl. (15.42) bedeutet, dass die drei Wellenvektoren k e, k r und k d in einer Ebene N senkrecht zur Grenzläche liegen; das ist die Einallsebene, gebildet aus k e und n, im gewählten System die xy-ebene. Diese Koplanarität von k e, k r und k d macht man sich klar, indem man speziell x = x 0 in der Grenzläche so wählt, dass k e x 0 = 0; dann müssen gemäß Gl. (15.42) die 3 ektoren k e, k r und k d senkrecht zu x 0 sein, was nur möglich ist, wenn ke, k r und k d in einer Ebene liegen (koplanar sind). ε, µ 2 2 z x Relexionsgesetz Außerdem olgt aus der Gleichheit der Projektionen der Wellenvektoren au die Grenzläche, Gl. (15.42) Abbildung 15.2: Ebene k d k e sin ϑ e = k r sin ϑ r = k d sin ϑ d. (15.45) Welle mit Wellenvektor k e wird an einer Grenzläche (xz-ebene) relektiert und gebrochen. wobei x ür einen beliebigen Punkt in der Grenzläche steht. A e, A r und A d sind die Amplituden der einallenden, relektierten und durchgehenden Wellenkomponente. Da Gl. (15.41) insbesonder auch ür t = 0 gelten muss, olgt die orderung der Phasengleichheit ke x = k r x = k d x (15.42) ür jeden Punkt x aus der Grenzläche, ohne die Gl. (15.41) nicht erüllbar wäre. Diese Beziehung besagt, dass alle drei Wellenvektoren dieselbe Projektion au die Grenzläche haben. Wählt man t = 0 und x = 0, so olgt aus Gl. (15.41) ür die Amplituden A e + A r = A d. (15.43) Schließlich kann man Gl. (15.41) auch ür x = 0, t 0 betrachten; daraus olgt die Erhaltung der requenz ω e = ω r = ω d. (15.44) Die requenz (arbe) des Lichts ändert sich also bei Relexion und Brechung nicht. 178 ϑ d Wegen der Gleichheit der requenzen (15.44) ω e = ω r gilt c 1 k e = c 1 k r mit der Lichtgeschwindigkeit c 1 im Medium 1. Also ist k e = k r, und es olgt das Relexionsgesetz: ϑ e = ϑ r. (15.46) Die Welle wird im selben Winkel relektiert, in dem sie eingeallen ist. Brechungsgesetz Aus (15.44) ergibt sich also k e = ω = k d mit c 2 1 = 1, c 2 2 = 1, ɛ1 µ 1 ɛ2 µ 2 ɛ 1 µ 1 ɛ 2 µ 2 k e ɛ1 µ 1 = = n 1, (15.47) k d ɛ2 µ 2 n 2 mit Brechungsindizes n 1 = c ɛ 1 µ 1 und n 2 = c ɛ 2 µ 2 der beiden Medien. Mit Gl. (15.45), also k e sin ϑ e = k d sin ϑ d, olgt das Brechungsgesetz sin ϑ e sin ϑ d = n 2 n 1. (15.48) Man kann jetzt von der einen stetigen Komponente A zu den kompletten Beziehungen ür beliebige elektromagnetische Wellen gelangen, indem man 179

6 zwei Polarisationsälle betrachtet: a) Transversales elektrisches eld E N (mit Einallsebene N); dann hat E nur einen z-komponente, die wegen n ( E (1) E (2)) = 0 an der Grenzläche stetig sein muss. b) Transversales magnetisches eld H N; dann hat H nur einen z- Komponente, die wegen n ( H (1) H (2)) = 0 (Dielektrikum, η = 0) stetig sein muss. Der allgemeine all lässt sich aus diesen beiden Polarisationen zusammensetzen. Wertet man dann die Beziehung (15.43) ür die Amplituden E z und H z aus, so erhält man die resnelschen ormeln, das Brewstersche Gesetz (Erzeugung linear polarisierten Lichts) und die Totalrelexion (aser-optik). Bemerkung Die Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) im allgemeinen komplex, also auch k komplex. Eine elektromagnetische Welle wird also im Medium geschwächt (Absorption) Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in leitendem Material Wir betrachten einen Ohmschen Leiter mit ebener Grenzläche und Leitähigkeit σ. Daür lauten die makroskopischen Maxwell-Gleichungen (13.23) und (13.24): E = 0; H = 0; E + µ H = 0 (15.49) H ɛ E σ E = 0; Solange kein Ladungsstau autritt, ist ρ = 0 (vgl. Abschnitt 4.2 ) und es exisitiert eine stationäre Stromverteilung j = σ E 0. (15.50) Als Lösung von Gl. (15.49) setzen wir E = E k x ωt) 0 e i( (15.51) an, mit k E = 0 (olgt aus E = 0). Mit einem analogen Ansatz ür H H = H k x ωt) 0 e i( 180 (15.52) inden wir aus Gl. (15.49): H = 1 µω ( k E); i( k H) + iɛω E σe = 0. (15.53) ( Benutzt man k ) ( k E = k ) k E E k 2 = E k 2 und eliminiert man im letzten Ausdruck von Gl. (15.53) E oder H, so erhält man: ik 2 µω + iɛω σ = 0, k2 = ω 2 µɛ + iµωσ. (15.54) Komplexe Wellenzahlen Setzt man den Wellenvektor komplex an (mit reellen α, β) k = α + iβ; k 2 = α 2 β 2 + 2iαβ, (15.55) so kann man α und β durch µ, ɛ, ω und σ ausdrücken; Koeizientenvergleich zwischen Gl. (15.54) und (15.55) ergibt: α 2 β 2 = µɛω 2 ; 2αβ = µωσ. (15.56) Eliminiert man in der ersten Gleichung α mit Hile der zweiten Gleichung, d.h. mit α 2 = (µωσ) 2 /(4β 2 ), so entsteht: β (µωσ)2 + β 2 µɛω 2 = 0. (15.57) Da β reell sein soll, kommt als Lösung nur ( β 2 = µɛω2 1 + ( σ ) 2 ɛω )2 1 (15.58) in rage (ür die andere Lösung wäre β 2 < 0). Analog: ( ) α 2 = µɛω2 ( σ ) (15.59) 2 ɛω ür verschwindende Leitähigkeit σ 0, also im Grenzall Nichtleiter (Dielektrikum), olgt: β 0; α 2 µɛω 2, (15.60) also k = µɛω in Einklang mit Gl. (15.39). Da µωσ 0, müssen α und β nach Gl. (15.56) gleiches orzeichen haben. ür β 0 (d.h. σ 0) wird 181

7 eine au eine Metalloberläche einallende Lichtwelle im Metall exponentiell gedämpt; ür eine in positiver x-richtung lauende ebene Welle wird nämlich e i(kx ωt) = e i(αx ωt) e βx, (15.61) wobei mit α > 0 auch β > 0 sein muss. Grenzälle 1.) Bei hoher Leitähigkeit (σ ) wird die Lichtwelle praktisch total relektiert, da die Eindringtiee d β 1 σ 1/2 verschwindet. 2.) ür hohe requenzen (ω ) ist zu beachten, dass σ requenzabhängig ist: σ wird ür ω rein imaginär, also k 2 in Gl. (15.54) reell; das Material wird durchsichtig. Diesen Eekt kann man mit harter Röntgenstrahlung nachweisen. Skin-Eekt Als olge der Dämpung β können wegen Gl. (15.50) Wechselströme nur in einer Oberlächenschicht des Leiters ließen, deren Dicke durch β 1 bestimmt ist (Skin-Eekt). 182