Einführung. in die. Der elektrische Strom Wesen und Wirkungen

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1 inführung in die Theoretische Phsik Der elektrische Strom Wesen und Wirkungen Teil IV: lektromagnetische Wellen Siegfried Petr Fassung vom 3 Januar 13

2 I n h a l t : 1 lektromagnetische Wellen in nicht leitenden Medien 11 Die Wellengleichung 1 Die ebene Lösung der Wellengleichung 3 13 Die nergiedichte der elektromagnetischen Wellen und der POYNTING-Vektor 5 lektromagnetische Wellen in leitenden Medien 6 1

3 1 lektromagnetische Wellen in nicht leitenden Medien 11 Die Wellengleichung Für in unserem Beugssstem ruhende, isotrope, nicht leitende Medien gelten die im letten Kapitel von Teil III aufgeführten Gleichungen in der Form rot = ε rε H, (1) Ferner gilt rot = µ rµ H () div H =, (3) und wenn keine Raumladungen vorhanden sind, was wir jett vorausseten wollen, div = (4) Zur Lösung der Gleichungen eliminieren wir unächst H Dau differenieren wir die Gleichung 1 nach t und berechnen die Rotation der Gleichung () Da der betrachtete Körper ruht, sind die Differentiationen nach der Zeit und nach dem Ort (hier: Rotationsbildung) vertauschbar Nach einem Sat der Vektoranalsis ist H rot H = rot = ε rε, (5) H rot rot = µ rµ rot (6) rot rot = grad div (Wegen der Bedeutung von siehe unten) Da nach Voraussetung div = ist, folgt daraus Andererseits ist nach Gleichung (6) bw (5) Somit ist schließlich rot rot = (7) H H und r rot rot = µ rµ rot rot = ε ε = ε rε µ rµ (8) Dabei ist der LAPLAC-Operator, das skalare Produkt des Nabla-Operators mit sich selbst Auf Vektoren angewendet, bedeutet er oder ausgeschrieben ( ) x 1 3 = = e + e + e = + + e e e x x x 1 3

4 Die Gleichung = ε rε µ rµ (9) ist die Differentialgleichung für die wellenartige Ausbreitung des Vektors im Raum, wobei sowohl der örtliche wie der eitliche Verlauf der Welle einer Sinuskurve folgt Durch diese Differentialgleichung wird eine riesige Mannigfaltigkeit von Wellenphänomenen beschrieben Wie immer bei einer Differentialgleichung kommt es darauf an, die für bestimmte Gegebenheiten passende Lösung ausuwählen 1 Die ebene Lösung der Wellengleichung Ich beschränke mich nun auf einen besonders wichtigen und charakteristischen Fall, nämlich auf den einer homogenen ebenen Welle Das ist eine Welle, die sich in einem räumlich unbegrenten Medium mit einer ebenen Wellenfront linear ausbreitet, um Beispiel in Richtung der X-Achse In allen Punkten einer beliebigen bene senkrecht ur X-Achse hat dann die Feldstärke jeweils denselben Wert Innerhalb einer solchen bene ändert sich also in Y- und Z-Richtung nicht, was mathematisch bedeutet, dass überall = = ist Dies gilt natürlich auch für die entsprechenden Ableitungen aller Komponenten von In Anbetracht dessen und wegen x div = + + = wird auch x = Das betrachtete elektrische Feld kann also keine Komponente in X-Richtung haben, es sei denn, diese wäre konstant in solcher Fall (eines konstanten Feldes) interessiert uns aber hier nicht s sei also x = Durch ein gan analoges Vorgehen beim liminieren von ergibt sich H x = Folglich ist die betrachtete Welle eine Transversalwelle: Die Schwingungen von und H finden nur senkrecht ur Ausbreitungsrichtung statt (Wie erkennbar, ist dies eine Folge der Quellenfreiheit der beiden Felder) Von der Gleichung (9) bleiben nach dem oben Gesagten nur wei Gleichungen übrig: = a und = a mit a = ε rε µ rµ Die Welle kann natürlich aus einer Überlagerung von beliebig vielen Wellen mit unterschiedlichen Frequenen bestehen, wie das B beim Sonnenlicht der Fall ist s genügt hier jedoch, wenn wir uns auf eine»monochromatische«welle beschränken, das heißt auf eine Welle mit einer einigen Frequen Dann lautet der allgemeine Lösungsansat: = f x = g x i ( ) ( )e ω t i t, ( )e ω + δ Durch weimaliges Differenieren, inseten und Küren durch die xponentialfunktion erhalten wir 3

5 f g + ω a f = und + ω a g = Die Lösungen dieser uns vertrauten Schwingungsdifferentialgleichungen sind f = A g = B ± iω a x ± iω a x e und e Wählen wir das positive Voreichen des xponenten, dann ist der Phasenwinkel ω a x umso größer, je größer x ist und umgekehrt Folglich breitet sich die Welle längs der X-Achse nach links aus Wählen wir das negative Voreichen, breitet sich die Welle längs der X-Achse nach rechts aus Wir entscheiden uns für diesen weiten Fall Dann wird oder einfacher = Ae = B e i ω ( t a x) i ( t a x) i und ω + δ = Asin ω( t a x) und = Bsin[ ω( t a x) + δ ] Wie eine einfache Überlegung eigt, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v der Welle 1 1 v = = Im Vakuum ist a ε ε µ µ v = r r 1 ε µ Durch inseten der Werte für ε und µ ergibt sich die Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 3 km/s Die Amplituden von und hängen von den reugungsbedingungen der Welle ab, ebenso ihr Phasenverschiebungswinkel δ Für δ = ist die Welle linear polarisiert, anderenfalls ist sie elliptisch polarisiert (Letteres bedeutet: Der ndpunkt des Vektors läuft auf einer llipse herum) Bei der Berechnung von H beschränke ich mich auf eine linear polarisierte Welle mit = Unter dieser Voraussetung ergibt sich aus rot = µ rµ H : Integriert: H H =, µ rµ = = Aaω cos ω( t a x) Aaω 1 ε ε H H t a x r =, = sin ω( ) = µ rµ ω µ rµ Die additiven Integrationskonstanten wurden gleich null gesett, da sie konstante Felder darstellen, die hier uninteressant sind Das magnetische Feld steht also bei einer linear polarisierten Welle auf dem elektrischen Feld senkrecht und schwingt mit diesem phasengleich Wenn sich die Welle in +X-Richtung ausbreitet, hat das elektrische Feld die Richtung der +Y-Achse, das magnetische Feld die Richtung der +Z-Achse 4

6 13 Die nergiedichte der elektromagnetischen Welle und der POYNTING-Vektor Die nergiedichte w = dw/dv im Raum einer elektromagnetischen Welle sett sich usammen aus der nergiedichte des elektrischen Feldes und der des magnetischen Feldes und beträgt daher 1 1 w = ε rε + µ rµ H Wegen kann man dafür auch schreiben H = r ε rε µ µ w = ε ε = µ µ H r r Dabei sind und H die jeweiligen Momentanwerte der Feldstärken Wie man sieht, verteilt sich die Gesamtenergie u gleichen Teilen auf das elektrische und das magnetische Feld Da die Welle im Raum fortschreitet, wobei sich die»wellenberge«und»wellentäler«in Ausbreitungsrichtung verschieben, transportiert die Welle nergie in dieser Richtung mit der Geschwindigkeit c m (Lichtgeschwindigkeit im Medium) Betrachten wir einen hinreichend kleinen Quader von der Länge dx = c m dt und dem Querschnitt d d r enthält die nergie dw = w c m dt d d In der Zeit dt durchströmt diese nergie die vordere Stirnfläche des Quaders Die auf den Querschnitt und die Zeit beogene nergie ist dann dw S = = wcm = ε rε cm = µ rµ H cm d d dt Mit ergibt sich daraus = µ rµ H ε ε r S = H Diese Größe S heißt Intensität oder nergiestromdichte der Welle am betrachteten Ort Der dau gehörige Vektor, der parallel ur Ausbreitungsrichtung der Welle ist, heißt POYNTING-Vektor S: S = H 5

7 lektromagnetische Wellen in leitenden Medien Wegen der etwas kompliierten Rechnungen führe ich unächst folgende Abkürungen ein: ε r ε = ε, µ r µ = µ Da Verwechslungen hier ausgeschlossen sind, beeichne ich die elektrische Leitfähigkeit 1/ρ wie üblich mit σ Dann lauten die Feldgleichungen für den Fall, dass die Leitfähigkeit des Mediums nicht verschwindend klein ist, H rot H = ε + σ, rot = µ, div = div H = liminiert man wieder wie oben H, so ergibt sich = ε µ + µσ Wieder beschränke ich mich auf ebene Wellen, die sich in Richtung der +X-Achse ausbreiten, sodass alle partiellen Ableitungen nach und gleich null sind, woraus sich x = H x = ergibt Außerdem sei die Welle linear polarisiert ( = ) Für eine udem monochromatische Welle lautet dann der Ansat: iω t = f ( x)e (1) Daraus folgt: und somit iω t = ω f ( x)e ( ) = ( ε µω + ωµσ ) iω t i f ( x)e Andererseits ist und daher schließlich = = ( ) f e iωt f + ( ε µω iωµσ ) f ( x) = Dies ist formal die Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung, jedoch mit einem komplexen Koeffiienten Mit dem Ansat: findet man k f x i ( ) = Ae k x = ± ε µω iµσω (Ich beeichne die Konstante hier mit k, weil der Buchstaben a später für eine andere Größe gebraucht wird) Für σ = ergibt sich daraus der gleiche Wert wie für die Welle in nicht leitenden Medien Aus demselben Grund wie dort wählen wir auch hier das negative Voreichen und erhalten so 6

8 f x i ε µω iµσ ω x ( ) = Ae Zur weiteren Diskussion des rgebnisses müssen wir die Wurel im xponenten untersuchen Mit ε µ ω² = a wird µ σ ω = b k = a ib und nach dem Geset für die Berechnung von Wureln aus komplexen Zahlen a + b + a a + b a k = i = ( p i q), wobei p und q die Abkürungen für die beiden Wurelausdrücke sind Damit wird f x A A i( p iq) x i p x q x ( ) = e = e e Seten wir dies in die Gleichung (1) ein, erhalten wir schließlich oder einfacher wieder = Ae e q x i( ωt p x) q x = Ae sin( ω t p x) Dies ist die Gleichung einer gedämpften Welle mit dem»dämpfungsfaktor«q und der Geschwindigkeit v = 1/p Die Amplitude der Welle nimmt also auf der Strecke x = 1/q jeweils auf den e-ten Teil ab Zur Berechnung von H gehen wir wieder aus von Daraus folgt H 1 1 = = A q + p q x t p x µ µ i( ω ) ( i )e e 1 q + i p 1 H = A = p q µ iω µω Die komplexe Zahl p iq kann dargestellt werden als Damit wird q x i( ωt px) e e ( i ) p q = p + q δ = p q iδ i ( )e mit tan p + q iδ p + q q x i( ωt p x δ ) H = e = Ae e µ ω µ ω In leitenden Medien ist also der magnetische Feldvektor gegenüber dem elektrischen um den Winkel δ phasenverschoben 7