1.4. Lineare Gleichungssysteme (LGS)

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1 .4. Lineare Gleichungsssteme (LGS) In vielen mathematischen Problemen werden wei Zahlen und gesucht, die gleicheitig wei verschiedenen Gleichungen () und () genügen müssen. Man spricht dann von einem Gleichungssstem aus wei Gleichungen für wei Variable. Enthalten die Gleichungen nur lineare Ausdrücke ohne Quadrate, Wureln oder andere Potenen, so handelt es sich um ein lineares Gleichungssstem (LGS) Beispiel für ein nichtlineares Gleichungssstem: () () 7 Beispiel für ein lineares Gleichungssstem (LGS): () () 7 Um die Lösung eines LGS aus wei Gleichungen mit wei Variablen u erhalten, muss unächst eine der beiden Variablen in der Gleichung () mit Hilfe von Gleichung () eliminiert (entfernt) werden. Dies erreicht man mit speiellen Eliminierungsverfahren, nämlich, dem Einsetungs-, Gleichsetungs- oder Additionsverfahren. Enthält Gleichung () nur noch eine Variable, so kann sie nach dieser aufgelöst werden. Das Ergebnis kann dann in Gleichung () eingesett werden, um die andere Variable u berechnen. Die Einsetungs- und Gleichsetungsverfahren sind theoretisch (!) immer anwendbar, während das Additionsverfahren in der Regel nur bei linearen Gleichungssstemen erfolgreich ist. Es lässt sich aber dafür sehr leicht auch auf Ssteme aus drei und mehr Gleichungen und Unbekannten ausbauen..4.. Das Einsetungsverfahren Eine der Gleichungen wird nach einer Unbekannten aufgelöst,.b. Gleichung () nach : () ; : () 7 () () 7 Eliminierung von und Berechnung von durch Einseten von Gl. () in Gl. () ( ) 7 Klammern auflösen 7 Berechnung von durch Einseten von in eine der beiden Gleichungen,.B. Gleichung ():

2 .4.. Das Gleichsetungsverfahren Beide Gleichungen werden nach derselben Unbekannten aufgelöst,.b. : () ; : () 7 ; : () () 7 Eliminierung von und Berechnung von durch Gleichseten der beiden Gleichungen: 7 ; Berechnung von durch Einseten von in eine der beiden Gleichungen,.B. Gleichung ():.4.. Das Additionsverfahren Die Eliminierung der Variablen und die Berechnung von und geschieht ohne Einseten nur durch geschickte Äquivalenumformungen. Um u eliminieren, bringt man die beiden Koeffiienten von auf das kleinste gemeinsame Vielfache. (den kleinsten gemeinsamen Nenner ). Außerdem wählt man die Voreichen der Faktoren so, dass sich die beiden Koeffiienten im Voreichen unterscheiden. Nun addiert man beide Seiten von Gleichung () u Gleichung (), wobei sich die Koeffiienten vor aufheben. () ( ) () 7 () 6 9 :( ) () 6 4 () () :; Ebenso verfährt man nun mit den Koeffiienten vor : () () : () 4 : () Übungen: Aufgaben u LGS Nr.

3 .4.4. Das Diagonalverfahren Das Diagonalverfahren ist ein speielles Additionsverfahren mit dem sich LGS mit vielen Gleichungen und vielen Unbekannten schnell und sicher lösen lassen. Man verwendet Äquivalenumformungen, um das LGS auf Diagonalform u bringen, so dass sich die Lösungen ohne Einseten direkt ablesen lassen. Beispiel: 0 ( ) ( ) : 0 0 :( 0) : 0 0 Übungen: Aufgaben u LGS Nr LGS in Matrienschreibweise Bei größeren LGS verwendet man oft die Matrienschreibweise: die Variablen werden nicht mehr ausgeschrieben und die Gleichheitseichen durch einen einfachen senkechten Strich angedeutet: Beispiel: LGS in Gleichungsschreibweise LGS in Matrienschreibweise: u u 5 u 0 u ( ) ( )

4 : ( 5) ( ) ( ) ( ) u 4 Übungen: Aufgaben u LGS Nr Lösbarkeit linearer Gleichungsssteme LGS können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben: Beispiel für ein LGS, das keine Lösung besitt: ( ) ( ) ( ) Die lette Gleichung 0 4 ist für kein erfüllt. Es gibt also keinen Lösungsvektor, der alle drei Gleichungen gleicheitig erfüllt, d.h., L {}. 4

5 Beispiel für ein LGS, das viele Lösung besitt: ( ) Die lette Gleichung 0 0 ist für alle erfüllt. Die Variable kann also frei gewählt werden und wird als Parameter aufgefasst,.b. t R t Die anderen beiden Variablen können nun durch Einseten in Abhängigkeit von t dargestellt werden: t t t t Die Lösungsvektoren hängen also von t ab:, 5 0, 5t, 5 0, 5t mit t R t Der Übersicht halber stellt man die Anteile mit und ohne Abhängigkeit von t getrennt dar:, 5 0, 5, 5 t 0, 5 mit t R 0 Die Lösbarkeit eines LGS lässt sich erst erkennen, wenn man es auf Dreiecksform gebracht hat. Ein LGS mit m Gleichungen (Zwangsbedingungen) für n Variablen (Freiheitsgrade) in Dreiecksform hat keine Lösung, wenn m > n (lette Gleichung in der Gestalt 0 b mit b 0) eine Lösung, wenn m n (lette Gleichung in der Gestalt a b mit a 0) unendlich viele Lösungen, wenn m < n (lette Gleichung in der Gestalt 0 0 ) Übungen: Aufgaben u LGS Nr. 4 5