Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
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- Hannelore Maier
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1 Beispiel: Lineares Gleichungssystem Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Winter 6/7 + 9y + 7 = 4 +y = Albert Schneider Elimination von aus Gleichungen und Gleichung wird unverändert übernommen. Von Gleichung wird -fache Gleichung subtrahiert. Von Gleichung wird -fache Gleichung subtrahiert. Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Beispiel: Lineares Gleichungssystem + 9y + 7 = 4 +y = + y + 9 = 4 y 8 = 9 Beispiel: Lineares Gleichungssystem + 9y + 7 = 4 +y = + y + 9 = 4 y 8 = y + 9 = 4 + = Elimination von y aus Gleichung Gleichung wird unverändert übernommen. Gleichung wird unverändert übernommen. Zu Gleichung wird -fache Gleichung addiert. Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys / 7
2 Ein äquivalentes System in gestaffelter Form. + y + 9 = 4 + = Lösung ermitteln durch Rückwärts-Einseten Ein äquivalentes System in gestaffelter Form. Die Lösung in vektorieller Form + y + 9 = 4 + = Gleichung Gleichung = =, 7 y = 4 9 ( ) = 4 9 (, 7) =, y = 9, 9,, 7 Gleichung = 4 4 ( y ) + ( ) = 4 4 (, ) + (, 7) = 9, 9 Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys 4 / 7 Gauß-Algorithmus für lineare Gleichungssysteme Phase : Elimination Transformiere das System in ein äquivalentes in gestaffelter Form mithilfe elementarer Operationen: multipliiere eine Gleichung mit einer Zahl addiere eine Gleichung u einer anderen Gleichung vertausche wei Gleichungen miteinander Phase : Rückwärts Einseten Finde die Lösung(en) (falls vorhanden) des gestaffelten Systems durch schrittweises Lösen und Einseten beginnend mit der letten Gleichung von hinten nach vorn. äquivalent die Systeme haben dieselbe Lösungsmenge gestaffelt jede Gleichung enthält (von links her) mindestens eine Variable weniger als ihre Vorgängergleichung (oder auch gar keine Variable mehr) Albert Schneider LSE-LinSys 5 / 7 + 9y + 7 = 4 +y = + y + 9 = 4 y 8 = y + 9 = 4 + = Etwas abgekürt, nur mit Koeffiientenschema: y RS Gleichung Albert Schneider LSE-LinSys 7 / 7
3 Beispiel: Dieses lineare Gleichungssystem y + 7 = 4 +y =... hat einen eindeutigen Lösungsvektor y = 9, 9,, 7 Beispiel: überbestimmtes lineares Gleichungssystem y RS Gleichung Rückwärts-Einseten?! Gleichung = Widerspruch! Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung! Albert Schneider LSE-LinSys 8 / 7 Albert Schneider LSE-LinSys 9 / 7 y RS Gleichung Rückwärts-Einseten: Gleichung = Gleichung = λ y = (λ) = + λ Gleichung = 4 5 (+λ)+(λ) = 7λ = 4 5λ+λ y RS Gleichung Rückwärts-Einseten: Gleichung Gleichung = λ Gleichung y = + λ = 7λ Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys / 7
4 y RS Gleichung Lösung vektoriell: y = 7λ + λ λ = = + + λ λ λ inhomogen + 5 y = y + = y + 7 = Zusammensetung der Lösung Allgemeine Lösung des gegebenen Systems: y = + λ λ = homogen + 5 y = y + = y + 7 = + λ Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys / 7 inhomogen () + 5 = 4 4 () = 6 4 () = Zusammensetung der Lösung homogen + 5 y = y + = y + 7 = inhomogen + 5 y = y + = y + 7 = Zusammensetung der Lösung homogen () + 5 λ λ = 4 () + 9 λ + λ = 4 () + 7 λ + 7 λ = besteht aus einer speiellen Lösung des gegebenen Systems: y = + λ λ = + λ plus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems: y = + λ λ = + λ Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Albert Schneider LSE-LinSys / 7
5 Umfangreicheres Beispiel, bereits gestaffelt: Zwei Parameter beim Rückwärts-Einseten: Gleichung hat wei Variable u und v mehr als Gleichung 4 Gleichung hat wei Variable r und s mehr als Gleichung Umfangreicheres Beispiel, bereits gestaffelt: Zwei Parameter beim Rückwärts-Einseten: Gleichung 4 w = = 5 Gleichung v = λ u = 5 v + w = 5 λ + 5 = 5 λ Gleichung t = u v+ w = (5 λ) λ+ 5 = + λ Gleichung s = µ r = + s 5 t u + v + 7 w = + µ 5 ( + λ) (5 λ) + λ = + µ + λ Albert Schneider LSE-LinSys / 7 Umfangreicheres Beispiel, bereits gestaffelt: Zwei Parameter beim Rückwärts-Einseten: Gleichung 4 w = 5 Gleichung v = λ u = 5 λ Gleichung t = + λ Gleichung s = µ r = + µ + λ Albert Schneider LSE-LinSys 4 / 7 Albert Schneider LSE-LinSys 4 / 7 Umfangreicheres Beispiel, bereits gestaffelt: Allgemeine Lösung vektoriell: r + µ + λ s µ t u = + λ 5 λ = 5 + λ + µ v λ w 5 5 }{{} } {{ } eine speielle die allgemeine Lösung des Lösung des geg. Systems homogenen Systems Albert Schneider LSE-LinSys 5 / 7
6 Lineare Gleichungssysteme drei Fälle für Lösungsmenge: Genau ein Lösungsvektor. Unendlich viele Lösungsvektoren (unterbestimmtes System) Eine oder mehrere Variable dabei frei wählbar (Parameter). Kein Lösungsvektor (überbestimmtes System) Lösungs-Struktur: Allgemeine Lösung (Irgend-)eine Allgemeine Lösung eines linearen = speielle Lösung des + des ugehörigen Gleichungssystems gegebenen Systems homogenen Systems Albert Schneider LSE-LinSys 6 / 7 Gauß-Algorithmus für lineare Gleichungssysteme Phase : Elimination Transformiere das System in ein äquivalentes in gestaffelter Form mithilfe elementarer Operationen: multipliiere eine Gleichung mit einer Zahl addiere eine Gleichung u einer anderen Gleichung vertausche wei Gleichungen miteinander Phase : Rückwärts Einseten Finde die Lösung(en) (falls vorhanden) des gestaffelten Systems durch schrittweises Lösen und Einseten beginnend mit der letten Gleichung von hinten nach vorn. Beispiel, wo Zeilentausch nötig ist: r s t u RS Glg Ohne Zeilentausch keine weitere Elimination möglich! Albert Schneider LSE-LinSys 7 / 7
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