Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku
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- Hede Huber
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1 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Sascha Kurz (basierend auf Arbeiten von Ariane Papke und Gary McGuire et al.) Oberseminar Effizienz dezentraler Strukturen, Bayreuth,
2 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 1 / 21 Sudoku
3 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 1 / 21 Sudoku Hinweise
4 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 2 / 21 gelöstes Sudoku
5 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 3 / 21 auch ein Sudoku? Hinweise
6 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 4 / 21 scheinbar schwierig
7 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 5 / 21 Backtracking
8 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 6 / 21 gelöst?
9 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 6 / 21 gelöst? en und 9en können vertauscht werden nicht eindeutig!
10 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 7 / 21 minimale Anzahl an Hinweisen Problem Was ist die minimale Anzahl an Hinweisen eines eindeutig lösbaren Sudokus?
11 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Einleitung 7 / 21 minimale Anzahl an Hinweisen Problem Was ist die minimale Anzahl an Hinweisen eines eindeutig lösbaren Sudokus? bisher bekannt minimale Anzahl 17 Gordon Royle hat bisher eindeutig lösbare Sudoku s mit 17 Hinweisen gesammelt, aber keines mit 16 Hinweisen gefunden, siehe gordon/sudokumin.php Beispiel eines Sudoku mit 16 Hinweisen, das nur zwei Lösungen besitzt (Pseudo-Sudoku; mehr sind nicht bekannt)
12 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 8 / 21 Modellierung als BLP i=1 j=1 9 x i,j,z = 1 1 i, j 9 z=1 9 x i,j,z = 1 1 j, z 9 i=1 9 x i,j,z = 1 1 i, z 9 j=1 3 3 x 3a+i,3b+j,z = 1 a, b {0, 1, 2} x i,j,z {0, 1} 1 i, j, z 9
13 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 8 / 21 Modellierung als BLP i=1 j=1 9 x i,j,z = 1 1 i, j 9 z=1 9 x i,j,z = 1 1 j, z 9 i=1 9 x i,j,z = 1 1 i, z 9 j=1 3 3 x 3a+i,3b+j,z = 1 a, b {0, 1, 2} x i,j,z {0, 1} 1 i, j, z Gleichungen, 729 Variablen
14 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 9 / 21 Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen Theorie linearer Gleichungssysteme Ein LGS AX = B besitzt entweder keine, eine oder unendliche viele Lösungen. Ist X s eine Lösung von AX = B, so lassen sich alle Lösungen darstellen als x s + x h, wobei x h eine Lösung von AX = 0 ist. Die Lösungsmenge von AX = 0 ist ein k-dimensionaler Vektorraum, wobei sich k aus dem Rang von A berechnen lässt.
15 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 10 / 21 Hinzufügen von Hinweisen Beobachtung Das Hinzufügen eines Hinweises in ein leeres 9 9-Feld legt 29 Variablen fest.
16 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 10 / 21 Hinzufügen von Hinweisen Beobachtung Das Hinzufügen eines Hinweises in ein leeres 9 9-Feld legt 29 Variablen fest. Bemerkung Durch kombinatorische Überlegungen und Fallunterscheidungen lassen sich Schranken angeben, wie viele Variablen beim Hinzufügen von mehreren Hinweisen (hängt von Anordnungen ab) festgelegt werden.
17 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 11 / 21 Lemma (Ariane Papke, 2007) Schlussfolgerungen Der Lösungsraum des zu einem beliebigen Sudokurätsels mit 16 Hinweisen gehörenden homogenen linearen Gleichungssystems (AX = 0) ist mindestens eindimensional.
18 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 11 / 21 Lemma (Ariane Papke, 2007) Schlussfolgerungen Der Lösungsraum des zu einem beliebigen Sudokurätsels mit 16 Hinweisen gehörenden homogenen linearen Gleichungssystems (AX = 0) ist mindestens eindimensional. Folgerung Es gibt kein (eindeutig lösbares) Sudoku mit nur 16 Hinweisen.
19 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ideen einer Jugend forscht -Arbeit 11 / 21 Lemma (Ariane Papke, 2007) Schlussfolgerungen Der Lösungsraum des zu einem beliebigen Sudokurätsels mit 16 Hinweisen gehörenden homogenen linearen Gleichungssystems (AX = 0) ist mindestens eindimensional. Folgerung Es gibt kein (eindeutig lösbares) Sudoku mit nur 16 Hinweisen. Bemerkung Schlussfolgerung leider falsch; nur 0/1-Lösungen sind echte Lösungen. auch Betrachtung über F 2 löst dieses Problem nicht Sudoku ist NP-vollständig
20 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 12 / 21 Vollständige Suche Beobachtung Es gibt nur endlich viele mögliche Sudokus mit 16 Hinweisen; teste einfach alle.
21 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 12 / 21 Vollständige Suche Beobachtung Es gibt nur endlich viele mögliche Sudokus mit 16 Hinweisen; teste einfach alle. Wieviele ausgefüllte Sudokufelder gibt es? Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis, 2006:
22 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 13 / 21 Berücksichtigung von Symmetrien
23 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 14 / 21 Berücksichtigung von Symmetrien
24 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 15 / 21 Berücksichtigung von Symmetrien Lemma Folgende Operationen sind verträglich mit den Sudokuregeln: Vertauschen zweier Ziffern Vertauschen zweier Zeilenblöcke (3 Zeilen) Vertauschen zweier Zeilen innerhalb eines Zeilenblockes Vertauschen zweier Spaltenblöcke (3 Spalten) Vertauschen zweier Spalten innerhalb eines Spaltenblockes Transponieren
25 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 15 / 21 Berücksichtigung von Symmetrien Lemma Folgende Operationen sind verträglich mit den Sudokuregeln: Vertauschen zweier Ziffern Vertauschen zweier Zeilenblöcke (3 Zeilen) Vertauschen zweier Zeilen innerhalb eines Zeilenblockes Vertauschen zweier Spaltenblöcke (3 Spalten) Vertauschen zweier Spalten innerhalb eines Spaltenblockes Transponieren Symmetriegruppe der Ordnung 9! unterschiedliche ausgefüllte Sudokufelder
26 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 16 / 21 16er Teilmengen Bemerkung Es gibt ( 81 16) elementige Teilmengen eines ausgefüllten Sudokufeldes.
27 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 17 / 21 Unvermeidbare Teilmengen
28 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 17 / 21 Unvermeidbare Teilmengen jedes eindeutige Sudoku muss mindestens eine der 4 roten Zahlen als Hinweis enthalten
29 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 18 / 21 Theoretische Erkenntnisse Lemma (McGuire et al., 2012) Ein Sudoku ist genau dann eindeutig lösbar, wenn jede unvermeidbare Menge von mindestens einem Hinweis getroffen wird. Lemma (McGuire et al., 2012) In jeder unvermeidbaren Menge U taucht jede verwendete Ziffer mindestens zweimal auf.
30 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 19 / 21 Unvermeidbare Mengen höherer Ordnung mindestens 2 der 9 Felder müssen als Hinweise gegeben sein
31 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 20 / 21 Suchalgorithmus durchlaufe alle unterschiedlichen ausgefüllten Sudokufelder für jedes vollständig ausgefüllte Feld: bestimme einige unvermeidbare Mengen bestimme alle Mengen an 16 Hinweisen, welche alle unvermeidbaren Mengen treffen teste jeden Kandidaten, ob er eindeutig lösbar ist
32 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Ein Computerbeweis 20 / 21 Suchalgorithmus durchlaufe alle unterschiedlichen ausgefüllten Sudokufelder für jedes vollständig ausgefüllte Feld: bestimme einige unvermeidbare Mengen bestimme alle Mengen an 16 Hinweisen, welche alle unvermeidbaren Mengen treffen teste jeden Kandidaten, ob er eindeutig lösbar ist rechnerische Details (McGuire et al., 2012) plattformoptimierter Assemblercode neuer Hitting-Set Algorithmus; Parameter für spezielles Problem getuned 7.1 Millionen Stunden (Core) Rechenzeit auf Stokes Cluster Zeitraum: Januar Dezember 2011
33 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Zukünftige Forschungsfragen 21 / 21 offene Forschungsfragen gibt es einen rein mathematischen Beweis? schnelle Verifikation des Ergebnisses Minimale Anzahl an Hinweisen bei n 2 n 2 -Sudoku s für n > 3 Minimale Anzahl an Hinweisen bei n n-lateinischen Quadraten Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
34 Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Anhang 22 / 21 Anzahl lateinischer Quadrate n nicht-isomorphe alle
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