Lineare Gleichungssysteme

Transkript

1 Lineare Gleichungsssteme

2 Unter einem linearen Gleichungssstem mit m linearen Gleichungen und n Unbekannten (,,..., n ) versteht man die folgende Form: m n mn m m n n n n b a a a b a a a b a a a wobei die a ij (also: a, a,... a mn ) und b, b,..., b m (vorgegebene) Zahlen sind. Um eine eindeutige Lösung u erhalten, braucht man genauso viele Gleichungen wie unterschiedliche Variable d.h. Für Gleichungen mit Variablen braucht man Gleichungen. Für Gleichungen mit Variablen braucht man Gleichungen. Gegenbeispiel: Gleichung; Variablen { } { } ; 7 : ; 7 : 7 7 L L

3 Ziel aller Lösungsverfahren: Aus Gleichungen mit Variablen, ereuge Gleichung mit Variablen. Die Variable wird dann rückwärts eingesett. Die () Lösungsverfahren: I II 0 8 I. Additionsverfahren Probe: I II 0 0 : Rückwärtseinseten : L { ;} 8

4 Keine optimale Form Variablen und Zahlen sind auf beiden Seiten ; 9 : ) ( 9 9 : Probe: { } ; L

5 Beispiel Fahreugtechnik Ein Fahreug legt eine Strecke von km urück. Dabei bewegt es sich mit wei unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Eine Geschwindigkeit hat es Minuten lang inne und die weite 7 Minuten lang. Ein anderes Fahreug legt eine Strecke von km urück. Auch hier bewegt es sich mit wei unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Eine Minuten lang und die weite Minuten lang ( ) : 7 7 ( ) : L { ; } Probe: 7( ) ( ) 8 7

6 8.) Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf..) Sete die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich..) Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf..) Sete die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt ein und berechne so die andere Variable. II I.) Gleichung II nach umstellen Gleichung I Gleichung II.)Gleichungen gleichseten.) auflösen nach Variablen.) in eine Ursprungsgleichung einseten :

7 Achtung: Das Gleichungssstem I: - 7 II: 7 könnte um Ansat III: - verleiten. Das wäre war korrekt, denn 7 ist nunmal gleich 7, doch bringt es nichts, da dies noch immer eine Gleichung mit wei Unbekannten ist. Es fällt nur dann eine Variable weg, wenn man beide Gleichungen nach dieser auflöst und sie durchs Gleichseten sousagen "kurschließt". 9

8 Sie möchten um Flughafen und benötigen ein Fahreug. Frage: Welches Fahreug ist für die Vorgesehene Strecke am Kostengünstigsten? These aufstellen: Welches Fahreug eignet sich für welche Art von Strecke (Kur, Lang) Fahreug Grundgebühr Kostenkm Tai,9 Mietwagen 7 0,9 0

9 Lösung: Aufstellen eines LGS. Gleichsetungsverfahren! Fahreug Gesamtpreis in,9 7 Grundgebühr in Kosten in km Tai,9 Mietwagen Y 7 0,9 Ab 7,7km Fahrstrecke lohnt sich der Mietwagen. 0,9,9,9,0,0 7 0,9 7 7, 7,7,9 7 0,9,9 :,0 0,9 Die Kosten bis ur Parität: 9, In eine Ausgangsgleichung einseten,9 7,7 9,

10 Man stellt eine beliebige Gleichung nach einer beliebigen Variablen um und sett den Ergebnisterm in die andere Gleichung ein. Variable ohne Koeffiienten wählen, sonst entsteht ein Bruch Gleichung einseten ( ) klammer auflösen 0 usammenfa ssen 0 0 : Zeile für Zeile rückwärts durchsuchen, bis man an die erste Gleichung mit kommt. L { ;}

11 Sie möchten ein Grundstück (eine Seite wird durch einen Fluss begrent) umäunen. Es sind 0 m Zaun Vorhanden. Es soll ein rechteckiges Grundstück von 800 m² Fläche umäunt werden. Frage: Reichen die vorhandenen Zaunteile? Welche Möglichkeiten der Umäunung haben Sie? m² 0m

12 Gleichung nach umstellen : 800 In. Gleichung einseten Nach auflösen ,, 900,,, : Formel q p { } { } 0;90 ;0 L L

13 7 7 ) ( ) ( usammenfassen klammer auflösen usammenfassen klammer auflösen Man stellt eine beliebige Gleichung nach einer beliebigen Variablen um und sett den Ergebnisterm in alle anderen Gleichungen ein. 8 III II I Variable ohne Koeffiienten wählen, sonst entsteht ein Bruch oder gewählt Ergebnis in beide anderen Gleichungen einseten ) ( 8 ) ( Klammern auflösen und usammenfassen Die markierten Gleichungen stellen ein neues lineares Gleichungssstem dar, der. Reduktionsschritt ist abgeschlossen.

14 Ia IIa 0 7 Ein beliebiges Verfahren ur Lösung verwenden. Hier bietet sich das einelne an 0 0 ( ) 0 Gleichung in IIa einseten 7 ( 0) klammer auflösen 7 0 usammenfassen : 8 Zeile für Zeile rückwärts durchsuchen, bis man an die erste Gleichung mit kommt. ermittelte Werte einseten Zeile für Zeile rückwärts durchsuchen, bis man an die erste Gleichung mit kommt. 0 0 L { ;; }

15 Nehmen wir an, dass ein Zahlenpaar (,) die Lösung einer linearen Gleichung mit wei Variablen ist. Wird nun verlangt, dass ein Zahlenpaar (,) auch die Lösung einer weiten linearen Gleichung sein soll, dann bilden die beiden Gleichungen ein sogenanntes lineares Gleichungssstem mit wei Variablen. Weil das Zahlenpaar (,) sowohl Lösung der ersten als auch der weiten Gleichung sein soll, muss das Zahlenpaar auf beiden Graphen liegen, entweder weil das Zahlenpaar Schnittpunkt der Graphen ist, oder weil die Graphen gleich sind. Falls die Graphen sich nicht schneiden, hat auch das Gleichungssstem keine Lösung. Man unterscheidet also drei Fälle bei linearen Gleichungssstemen mit wei Variablen : Eine Lösung: Das lineare Gleichungssstem hat eine einige Lösung. Es ist Schnittpunkt der Graphen, im Beispiel ist es der gelbe Punkt mit den Koordinaten (,). 7

16 Unendlich viele Lösungen: Die Graphen sind identisch. Jedes Zahlenpaar (,), dass eine der Gleichungen erfüllt, ist Lösung des linearen Gleichungssstems. Keine Lösung: Die Graphen liegen parallel und haben daher keinen Schnittpunkt. Das lineare Gleichungssstem hat keine Lösung. 8

17 Unendlich viele Lösungen (wei Variablen und vier Gleichungen) Überbestimmtes Sstem (mehr Gleichungen als Variablen) 8 umgestellt nach Die u den Gleichungen gehörenden Funktionen sind alle identisch. Die Funktionen haben somit unendlich viele Schnittpunkte und daher hat das Sstem unendlich viele Lösungen, nämlich jeden Punkt, der auf der Geraden 8 liegt. 9

18 0 Keine Lösung (wei Variablen und vier Gleichungen) Überbestimmtes Sstem (mehr Gleichungen als Variablen) umgestellt nach Es gibt keinen Punkt, in dem sich alle vier Funktionen schneiden. Das Gleichungssstem hat daher keine Lösung

19 Rechnerische Lösung eines überbestimmten Sstems (wei Variablen und vier Gleichungen) Überbestimmtes Sstem (mehr Gleichungen als Variablen) Teilsstem bilden wei beliebige Gleichungen als GS,.B.: die ersten beiden: 0 8 Lösung mittels Einsetungsverfahren Gleichung II in Gleichung I einseten. Gleichung nach auflösen 8 0 ( 8 ) usammenfassen 8 : Ergebnis in die. Gleichung einseten 8 Lösung in die. Gleichung einseten ( ) 0 Lösung in die. Gleichung einseten wahre Aussage! Auch die. Funktion geht durch den Punkt (;-) Die Funktion geht nicht durch den Punkt (;-) ( ) falsche Aussage!