Magnetostatik. B( r) = 0

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1 KAPITEL III Magnetostatik Die Magnetostatik ist die Lehre der magnetischen Felder, die von zeitlich konstanten elektrischen Strömen herrühren. Im entsprechenden stationären Regime vereinfachen sich die Maxwell Thomsonund die Maxwell Ampère-Gleichung (I.1b), (I.1d) für die magnetische Flussdichte B( r) die jetzt zeitunabhängig ist zu B( r) = B( r) = µ j el. ( r). (III.1a) (III.1b) Somit entkoppeln die Gleichungen für das Magnetfeld von denen für das elektrische Feld so dass das letztere hiernach ignoriert wird. Den bewegten Ladungen, welche die Stromdichte j el. bilden, kann auch eine Ladungsdichte ρ el. zugeordnet werden, die ebenfalls zeitlich konstant ist. Über die Maxwell Gauß-Gleichung (I.1a) erzeugt diese Ladungsverteilung ein stationäres elektrisches Feld es sei denn, es existiert eine zweite, statische Ladungsverteilung, (64) deren Effekt jenen von ρ el. kompensiert, so dass das resultierende elektrische Feld Null ist. In Abschn. III.1 werden zunächst einige Folgerungen der zwei Grundgleichungen (III.1) der Magnetostatik hergeleitet, und zwar die Existenz eines ektorpotentials für das Magnetfeld sowie verschiedene Beziehungen zwischen der Ladungsstromdichte j el. und entweder dem magnetischen Feld oder dem ektorpotential. Dann befasst sich Abschn. III.2 mit der Multipolentwicklung der Magnetostatik, wobei meistens die Dipol-Näherung betrachtet wird. Im ganzen Kapitel werden Analogien mit dem Formalismus der Elektrostatik (Kap. II) stark benutzt, um einige Ergebnisse ohne Herleitung anzugeben. III.1 Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik Dieser Abschnitt befasst sich mit einigen elementaren Folgerungen der Grundgleichungen (III.1) der Magnetostatik. Ähnlich wie das elektrostatische Feld aus einem Skalarpotential abgeleitet werden kann, lässt sich dem magnetischen Feld ein ektorpotential zuordnen ( III.1.1). Sowohl das Magnetfeld als auch dieses ektorpotential genügen jeweiligen Poisson-Gleichungen ( III.1.2), deren Lösungen auf R 3 sich in Analogie mit den Ergebnissen des Abschn. II.2 schreiben lassen. Äquivalent zu den lokalen (Differential-)Gleichungen (III.1) können globale Formulierungen der Grundgleichungen gefunden werden ( III.1.3). Schließlich werden die Resultate der ersten Paragraphen auf die Berechnung der von verschiedenen einfachen Stromverteilungen herrührenden Magnetfelder angewandt ( III.1.4). (64)... die ungefähr gleich ρ el. sein soll!

2 146 Magnetostatik III.1.1 ektorpotential Aus der Maxwell Thomson-Gleichung (III.1a) folgt die Existenz eines differenzierbaren ektorfeldes A( r) derart, dass die Beziehung B( r) = A( r) (III.2) in jedem Punkt r erfüllt wird. Das Feld A( r) heißt (magnetisches) ektorpotential, mit der physikalischen Dimension [A] = M L T 2 I 1. (65) Falls das magnetische Feld B auf R 3 definiert ist, wird die Existenz von A( r) unten bewiesen, indem es explizit konstruiert wird [Gl. (III.11)]. Bemerkung: Das Produkt aus dem ektorpotential A( r) und einer elektrischen Ladung q hat die physikalische Dimension M L T 1 eines Impulses. Eichfreiheit Das ektorpotential A( r), das zu einem gegebenen magnetischen Feld B( r) führt, wird durch Gl. (III.2) nicht eindeutig festgestellt. Definiert man nämlich ein ektorfeld A über A ( r) A( r) + χ( r) (III.3a) mit einer beliebigen kontinuierlich differenzierbaren skalaren Funktion χ der Position, so ist die Rotation von A B ( r) A ( r) = A( r) + χ( r) = B( r), (III.3b) d.h. A ist auch ein geeignetes ektorpotential für das Feld B. Die Mehrdeutigkeit in der Wahl des ektorpotentials wird als Eichfreiheit bezeichnet, und eine bestimmte Wahl als Eichung. Um das ektorpotential eindeutig möglicherweise bis auf einen konstanten additiven ektor festzulegen, kann man eine zusätzliche Bedingung über A( r) fordern. Dabei soll diese Eichbedingung so gewählt sein, dass einige Gleichungen damit einfacher werden, wie es in III.1.2 c der Fall sein wird. In der Magnetostatik wird meistens die Coulomb-Eichung gewählt, entsprechend der Coulomb- Eichbedingung A( r) = (III.4) über das ektorpotential. Sei A ( r) ein ektorpotential für die magnetische Induktion B( r). Falls die Divergenz von A Null ist, dann erfüllt es schon die Coulomb-Eichbedingung. Wenn A ( r) nicht identisch verschwindet, dann hat die Poisson-Gleichung χ( r) = A ( r) eine nicht-konstante Lösung χ( r) auf R 3. Definiert man dann A A + χ, so findet man sofort, dass A die Bedingung (III.4) erfüllt. III.1.2 Poisson-Gleichungen der Magnetostatik Aus den Grundgleichungen (III.1) können Poisson-Gleichungen für die magnetische Induktion B( r) oder das ektorpotential A( r) hergeleitet werden, wobei sich diese ektorfelder durch die elektrische Stromdichte j el. ( r) ausdrücken lassen. (65) Die zugehörige SI-Einheit wird nie benutzt.

3 III.1 Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 147 III.1.2 a Poisson-Gleichung für die magnetische Induktion Die Rotationsbildung der stationären Maxwell Ampère-Gleichung (III.1b) lautet Dabei kann auf der linken Seite die Identität [ B( r) ] = 1 ɛ c 2 j el. ( r). [ B( r)] = [ B( r)] B( r) benutzt werden, wobei der erste Term im rechten Glied wegen der Maxwell Thomson-Gleichung Null ist. Insgesamt ergibt sich somit B( r) = µ jel. ( r) (III.5) d.h. jede Komponente der magnetischen Induktion genügt der Poisson-Gleichung mit der entsprechenden Komponente von µ jel. als Quelle auf der rechten Seite der Gleichung. Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde in Abschn. II.2 schon studiert. Ist die elektrische Ladungsstromdichte j el. bekannt auf R 3 und wenn deren Rotation schnell genug im Unendlichen nach Null geht, damit das untere Integral definiert ist, so gilt (66) µ B( r) = r j el. ( r ) r r d 3 r. (III.6) Dabei bezeichnet r den Gradienten bezüglich der Komponenten von r. In der Praxis wird das Integral oft auf ein Raumgebiet beschränkt, wenn die Randbedingungen am Rand von nicht weiter präzisiert wurden. III.1.2 b Biot Savart-Gesetz Unter Einführung eines kartesischen Koordinatensystems mit Basis { e i } lässt sich die i-te Komponente der Beziehung (III.6) als B i ( r) = µ ɛ ijk jel. k ( r ) r r x j d 3 r umschreiben. Die rechte Seite kann mithilfe einer partiellen Integration transformiert werden. Dabei wird angenommen, dass das Integrationsvolumen groß genug ist, damit die Stromdichte j el. am Rand verschwindet. Dann ist der integrierte Term aus der partiellen Integration Null, und es bleibt B i ( r) = µ ɛ ijk jel. k ( r ) ( ) 1 x j r r d 3 r. Das Ersetzen von ɛ ijk durch ɛ ikj und die Berechnung der Ableitung liefern d.h. B i ( r) = µ Diese Beziehung heißt Biot (af) Savart (ag) -Gesetz. ɛ ikj j k el. ( r ) xj x j r r 3 d3 r, µ j el. ( r B( r) ) ( r r ) = r r 3 d 3 r. (III.7) (66) Der Übergang von der Poisson-Differentialgleichung (III.5) zur Lösung (III.6) ist ähnlich dem von Gl. (II.4) zur zugehörigen Lösung (II.22). (af) J.-B. Biot, (ag) F. Savart,

4 148 Magnetostatik III.1.2 c Poisson-Gleichung für das ektorpotential Ersetzt man die magnetische Induktion B( r) durch A( r) in der stationären Maxwell Ampère- Gleichung (III.1b), so ergibt sich [ A( r)] = µ j el. ( r), d.h. unter Berücksichtigung der Formel für die Rotation einer Rotation A( r) = µ j el. ( r) + [ A( r) ]. (III.8) Unter erwendung der Coulomb-Eichbedingung (III.4) vereinfacht sich diese Gleichung erneut zu einer Poisson-Gleichung A( r) = µ j el. ( r) in der Coulomb-Eichung. (III.9) Wie oben kann man die Lösung dieser Gleichung direkt schreiben: A( r) = µ j el. ( r ) r r d3 r. (III.1) Falls j el. am Rand des Integrationsgebiets verschwindet wenn es keinen Ladungsstrom im Unendlichen gibt, kann man immer groß genug wählen, damit es keinen Strom auf gibt, so erfüllt das ektorpotential (III.1) die Coulomb-Eichbedingung (III.4). Beweis: Bezeichnet man mit r bzw. r den Nabla-Operator bezüglich der Koordinaten des ektors r bzw. r, so gilt A( r) = µ r j el.( r ) r r d3 r = µ ( ) j el. ( r ) 1 r r r d 3 r. Im Integranden kann man r (1/ r r ) = r (1/ r r ) schreiben. Dann lässt sich das daraus folgende Integral über partielle Integration berechnen, wobei der integrierte Term, proportional zur Ladungsstromdichte ausgewertet am Rand des Integrationsgebiets, Null ist: A( r) = µ j el. ( r ) r ( 1 r r ) d 3 r = µ 1 r r r j el. ( r ) d 3 r. Aus der stationären Maxwell Ampère-Gleichung (III.1b) folgt sofort r j el. ( r ) =, was zu A( r) = führt. Das Biot Savart-Gesetz (III.7) kann auch aus der Beziehung (III.1) wiedergefunden werden. Bildet man deren Rotation, so ergibt sich A( r) = µ [ jel. ( r ] ) r r r d 3 r. In einem kartesischen Koordinatensystems lautet die i-te Komponente dieser Gleichung B i ( r) = µ ɛ ijk jel. k ( r ) x j r r d3 r = µ ɛ ijk jel. k ( r ) ( ) 1 x j r r d 3 r. Dabei gibt die Ableitung (x j x j )/ r r 3. Mit ɛ ijk = ɛ ikj ergibt sich B i ( r) = µ ɛ ikj jel. k ( r ) xj x j r r d3 r, entsprechend genau der i-ten Komponente der Gl. (III.7).

5 III.1 Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 149 Bemerkung: Unter erwendung der stationären Maxwell Ampère-Gleichung wird Gl. (III.1) zu einem Zusammenhang zwischen dem ektorpotential (in Coulomb-Eichung) und der magnetischen Induktion: A( r) = 1 B( r ) r r d 3 r. (III.11) Dabei handelt es sich um einen Sonderfall der Helmholtz (ah) -Zerlegung, laut welcher jedes ektorfeld ( r) auf R 3, das sich im Unendlichen gut verhält d.h. derart, dass die Integrale (III.12b) (III.12c) existieren (67), als Summe eines Gradientenfeldes ( r) und eines Rotationsfeldes ( r) geschrieben werden kann: ( r) = ( r) + ( r), ( r) = Φ( r) mit Φ( r) ( r) = A( r) mit A( r) wobei r ( r ) r r d3 r r ( r ) r r d 3 r. (III.12a) (III.12b) (III.12c) Dabei gelten d.h. ( r) = und ( r) =, (III.12d) ( r) = ( r) und ( r) = ( r). (III.12e) In der Magnetostatik ist ( r) = B( r), und B( r) bzw. B( r) wird durch durch Gl. (III.1a) bzw. (III.1b) gegeben. Für die Elektrostatik soll man ( r) = E( r) betrachten, während E( r) bzw. E( r) durch Gl. (II.1a) bzw. (II.1b) gegeben sind. III.1.3 Integrale Formulierung der Grundgleichungen der Magnetostatik In diesem Paragraphen werden die integralen Formulierungen dargestellt, die den lokalen Grundgleichungen (III.1) der Magnetostatik entsprechen. III.1.3 a Erhaltung des elektrischen Stroms Die Divergenzbildung der stationären Maxwell Ampère-Gleichung (III.1b) gibt j el. ( r) =. (III.13) Unter erwendung des Integralsatzes von Gauß ergibt sich dann = j el. ( r) d 3 r = j el. ( r) d 2 S (III.14) d.h. der resultierende Ladungsstrom durch die Oberfläche eines olumens verschwindet: der einströmende Ladungsstrom muss wieder herausströmen, entsprechend der Abwesenheit von Quellen des elektrischen Stroms. Bemerkung: Dementsprechend wird ein allgemeines ektorfeld ( r), dessen Divergenz überall verschwindet wie z.b. die magnetische Induktion B( r), als quellfrei bezeichnet. Aus dieser Erhaltung des Ladungsstroms folgt auch, dass die elektrische Stromstärke I durch den Querschnitt eines leitenden Drahts konstant entlang des Drahts bleibt. (67) In Lehrbüchern findet man oft die Forderung, dass der Betrag ( r) schneller als 1/r für r abnehmen soll. Mathematisch gilt das Ergebnis auch mit schwächeren Annahmen über, vgl. z.b. Ref. [29] für eine Diskussion. (ah) H. von Helmholtz,

6 15 Magnetostatik Eine zweite Folgerung der Ladungsstromerhaltung ist die Kirchhoffsche (ai) Knotenregel, (68) laut der die Summe der an einem Leiterknoten zufließenden elektrischen Ströme gleich der Summe der daraus abfließenden Ströme ist. Beweis: Betrachtet man ein olumen um den Knoten, so ist der nach außen gerichtete Fluss der Stromdichte j el. durch die Fläche gleich der algebraischen Summe der Stromstärken in den Leitern, wobei aus- bzw. einfließende Ströme positiv bzw. negativ gezählt werden. Für das Beispiel der Abb. III.1 j el. ( r) d 2 S = I1 I 2 I 3 I 4 + I 5 =. I 2 I 1 I 3 I 4 I 5 Abbildung III.1 Knotenregel III.1.3 b Fluss der magnetischen Induktion Sei eine geschlossene Fläche, die ein Gebiet einschließt. Der magnetische Fluss durch die Oberfläche wird durch Φ B B( r) d 2 S (III.15) definiert. Dabei ist d 2 S = d 2 S e n der vektorielle Oberflächenelement, wobei e n den nach außen ausgerichteten Normaleinheitsvektor zu d 2 S bezeichnet. Unter erwendung des Integralsatzes von Gauß ist das Oberflächenintegral auf der rechten Seite gleich dem olumenintegral der Divergenz des Integranden, d.h. B( r) d 2 S = B( r) d 3 r. Wegen der Maxwell Thomson-Gleichung (III.1a) ist die rechte Seite dieser Gleichung immer Null, unabhängig von Φ B =. (III.16) Das heißt, der magnetische Fluss durch jede geschlossene Fläche ist immer Null. III.1.3 c Ampère-Gesetz Sei S eine Fläche und S deren Rand. Das Oberflächenintegral über S der stationären Maxwell Ampère-Gleichung (III.1b) lautet B( r) d 2 S = µ j el. ( r) d 2 S. S Dabei ist das Integral auf der rechten Seite genau gleich der Stärke I des elektrischen Stroms durch S. Wiederum lässt sich auf der linken Seite das Oberflächenintegral einer Rotation über S mit dem (68)... auch bekannt als erstes Kirchhoffsches Gesetz. (ai) G. Kirchhoff, S

7 III.1 Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 151 Integralsatz von Stokes in ein Kurvenintegral entlang des geschlossenen Rands S transformieren. Somit ergibt sich das Ampère-Gesetz B( r) d l = µ j el. ( r) d 2 S = µ I. (III.17) S S Bemerkung: Das Kurvenintegral eines ektorfeldes ( r) entlang einer geschlossenen Kurve C wird Zirkulation des Feldes längs C genannt. Dementsprechend tritt auf der linken Seite des Ampère- Gesetzes (III.17) die Zirkulation des Magnetfeldes längs des Rands S. Dann besagt das Ampère-Gesetz, dass die Zirkulation der magnetischen Induktion längs einer geschlossenen Kurve S gleich µ mal dem elektrischen Strom durch eine von S aufgespannte Fläche ist.