Felder und Komponenten I [FuK I]

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1 Felder und Komponenten I [FuK I] Folien zur Vorlesung Dr. P. Leuchtmann Prof. Dr. R. Vahldieck Institut für Feldtheorie und Höchstfrequenztechnik (IFH)

2 Übersicht Klären der Begriffe "Feld" und "Komponente" Begriffe Felder und Komponenten Warum brauchen Sie die Feldtheorie? Elektrostatik: Ladung, Coulomb... Was ist das?? Elektrisches Feld Magnetfeld Elektromagnetisches Feld Vektorfeld, Potentialfeld... Und das? Widerstände Kondensatoren Spulen Trafos, Kabel... Vieles können Sie bereits! Strom, Spannung, Leistung, Kapazität... Strom, Spannung, Leistung, Kapazität... + Regeln (Formeln) Ladung Zeit Arbeit Ladung Arbeit Zeit Ladung Begriffsebene Spannung Netzwerktheorie Theorie "erklärt" und kann "voraussagen". Formelebene Grau, teurer Freund, ist alle Theorie, doch grün des Lebens goldner Baum. Einheiten-Ebene Beispiel: 2 Kondensatoren Idee 1: Energie Idee 2: Ladung Idee 1: Energie Idee 2: Ladung 1

3 Begriffe der Feldtheorie:? oder Feldtheorie gibt Auskunft! Elektrisches Feld Magnetisches Feld Elektromagnetisches Feld Kraftwirkungen (mechanisch) Licht Funkwellen (drahtlose Kommunikation) Programm und Ziel der Vorlesung 1. Vorstellungen der Felder entwickeln Maxwell'sche Gleichungen God said... Beschreibung der Felder (mathematisch und graphisch) 2. Wie verhalten sich Felder? Eigenschaften und Wirkungen System von Differentialgleichungen... and there was light. Programm und Ziel Vorstellungen der Felder entwickeln 2. Wie verhalten sich Felder? 3. Lösungsansätze z.b. Antwort auf die Frage: Warum sind Lichtstrahlen gerade? 4. Zusammenhang Feldtheorie Netzwerktheorie Bei den Kondensatoren gilt: Elektrostatik Ziel: Sie wissen, was elektrische Ladung ist. was ein -Feld ist. Elektrische Ladung existiert. "Punkt"-Ladung Coulomb Kraft! gemessen in Newton Beliebiges Material wird von angezogen. 2

4 Kraft auf Kraft ist immer anziehend. Kraft nimmt mit zunehmender Distanz rasch ab! Experiment mit 2 Ladungen Abstossung oder Anziehung Kraft auf Permittivität Experiment mit 2 Ladungen Einheitsvektor Abstossung oder Anziehung und verschiedenes gleiches Vorzeichen Coulombkraft Mehrere Ladungen Von der Kraft zum Feld Kräfte auf können überlagert werden. Definition: Elektrisches Feld Beschreibungen des elektrischen Feldes Aufpunkt ist Vektorfeld vektorwertige Funktion des Ortes Für Koordinaten und Vektoren siehe Anhang B (S. 535 im Buch) 3

5 Ladungen können verteilt vorkommen: Raumladungsdichte Abbildung 1.4 im Buch Raumladungsdichte Coulomb-Integral Flächenladungsdichte Linienladungsdichte Für Symbole und Zeichen Für griechische Buchstaben siehe Anhang F siehe Anhang G (S. 575 im Buch) (S. 585 im Buch) 4

6 Zusammenfassung 1. Es gibt elektrische Ladungen Punktladung Zusammenfassung 1. Es gibt elektrische Ladungen 2. Ladungen haben elektrisches Feld Linienladungsdichte Flächenladungsdichte Raumladungsdichte Felderzeugende Ladung Kraft Feld = Probe-Ladung Zusammenfassung 1. Es gibt elektrische Ladungen 2. Ladungen haben elektrisches Feld 3. Feld kann berechnet werden Zusammenfassung 1. Es gibt elektrische Ladungen 2. Ladungen haben elektrisches Feld 3. Feld kann berechnet werden Coulomb-Integral Übungsaufgabe Übungsaufgabe K K variabel: variabel: 5

7 Übersicht Rückblick Weitere Bemerkungen zur el. Ladung Elektrischer Fluss, Gauss Elektrisches Potential Rückblick Netzwerktheorie genügt nicht immer. Feldtheorie nötig! Elektrische Ladungen verursachen Kräfte Elektrische Ladungen haben Feld Feld kann berechnet werden (Superposition!!) Elektrisches Feld von Punktladungen Aufpunkt Ladungen können verteilt vorkommen: Raumladungsdichte Verteilte Ladungen Coulomb-Integral 1

8 Raumladungsdichte Für Symbole und Zeichen Flächenladungsdichte siehe Anhang F Linienladungsdichte (S. 575 im Buch) Für griechische Buchstaben siehe Anhang G (S. 585 im Buch) Weitere Bemerkungen zur Ladung und zum Unterschied Feld Ladung Ladungen immer an Materie gebunden zwei Ladungsarten: + oder Summe aller Ladungen konstant Ladung auf gewissen Materialien beweglich Leiter Isolatoren Ladung Feld Feld im Leiter Feld erzeugende Ladungen Leitendes Material Felderzeugende Ladungen Kraft Feld = Probe-Ladung Leiter = viele bewegliche Ladungen vorhanden statischer Zustand keine Kraft auf Ladungen (sonst Bewegung!) Probe-Ladung nur zur Messung des Feldes nötig im Leiter drin: 2

9 Ladung Feld Ladung nur auf Materie, Feld überall Vorstellung: Feld "fliesst" aus der Ladung aber: Es gibt nichts Bewegtes! "Elektrizität" ist kein materielles Fluidum! Was denn?? Definition: Elektrischer Fluss hilft, ein Gefühl fürs Feld zu entwickeln! Fluss von durch. Wieviel geht durch? vektorielles Flächenelement Elektrischer Fluss Elektrischer Fluss einer Punktladung Fluss von durch Frage: Elektrischer Fluss einer Punktladung Elektrischer Fluss einer Punktladung Frage: Abstimmung: 1. steigt mit 2. fällt mit 3. unabhängig von 3

10 Elektrischer Fluss Elektrischer Fluss Fluss durch Sektor konstant mehrere Ladungen: Satz von Gauss in der Elektrostatik integraler Zusammenhang zwischen und Wegen Integral meist unbrauchbar! Beispiel Gauss bei Symmetrie Ausnahme: Symmetrische Situation zeigt sicher radial Betrag kugelsymmetrisch Mehr zu Gauss in den Übungen... (Nr ) 1. Symmetrieüberlegungen 2. Wahl geeigneter Hülle 3. Ausrechnen (meist trivial!) Wähle bei Gauss Kugel mit Radius! Geht nur mit vorgegebenen, symmetrischen Ladungsverteilungen Potential Elektrisches Potential Ladungen Kraft auf : Arbeit = Kraft Weg 4

11 Elektrisches Potential Elektrisches Potential Ladungen ist wegunabhängig! Schreibe Feld einer Punktladung wegunabhängig? Elektrisches Potential Elektrisches Potential Vorzeichen von resultatorientiert betrachten! Definition: Potential Elektrisches Potential Elektrisches Potential (Coulomb-Integral) Superposition der Potentiale zulässig! Ladungsverteilungen haben eindeutiges Potential 5

12 Elektrisches Potential (grafisch) Vom Potential zur Spannung Gebirgedarstellung Ladungen Äquipotentiallinien Spannung Äquipotentialfläche Potential im Leiter Ladungen im Leiter drin: Leitendes Material Zusammenfassung 1. Ladungen haben elektrisches Feld 2. Feld kann berechnet werden Coulomb-Integral Gauss (Fluss-Integral) 3. Ladungen haben Potential 4. Potential kann berechnet werden 6

13 Übersicht Rückblick (Feld und Potential) Rückblick Elektrische Ladungen haben Feld und Potential Kapazität Einfluss des (isolierenden) Materials Coulomb-Integrale Elektrische Ladungen haben Feld und Potential Rückblick Coulomb-Integrale Satz von Gauss in der Elektrostatik integraler Zusammenhang zwischen und Vom Potential zur Spannung Potential im Leiter Ladungen Ladungen Leitendes Material im Leiter drin: Spannung 1

14 Ladungen Geschlossene Wege unabhängig vom Weg Theorie Spannung Praxis Zwei isolierte Kartoffeln Wie ist die Ladung verteilt? gleichmässig im Volumen A B gleichmässig auf Oberfläche C D variabel im Volumen variabel auf Oberfläche Feld im Leiter Wie ist die Ladung verteilt? Ladungen Leitendes Material beliebig Leiter = viele bewegliche Ladungen vorhanden statischer Zustand gleichmässig im Volumen A C B D gleichmässig auf Oberfläche keine Kraft auf Ladungen (sonst Bewegung!) im Leiter drin: wegen Gauss: variabel im Volumen variabel auf Oberfläche A! 2

15 Ladungsverteilung auf Oberfläche Wie ist die Ladung verteilt? gleichmässig im Volumen A B gleichmässig auf Oberfläche C D Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an variable Ladungs-Verteilung variabel im Volumen variabel auf Oberfläche A! Wie ist die Ladungsverteilung? Elektrisches Feld, Ladung, Spannung A B Differenzpotential hat globales Maximum auf Elektrode Ladungs-Verteilung Vorzeichen von verschwindet ist eindeutig je Elektrode konstant 2 isolierte Kartoffeln 1 Ladung 1 Spannung 2 isolierte Kartoffeln 1 Ladung 1 Spannung geht mit Wie gross? Kapazität unabhängig von Aber: Wie gross ist? 3

16 Wie kann ich C beeinflussen? Material im Feld Dielektrisches Material besteht aus Molekülen/Atomen. Moleküle/Atome sind polarisierbar. Verschieben Material Verformen Material reagiert auf. Feld überall anders! Material im Feld Material im Feld Bei vielen Molekülen/Atomen gegenseitige Beeinflussung Resultat: Gleichgewicht mit räumlich variabler Polarisation Beschreibung der Polarisation Idee: Jedes Materieteilchen ist ein einfacher Dipol Feld weit weg nur abhängig von Dipolmoment Zylinderkoordinaten mit Material im Feld Beschreibung der Polarisation Idee: Jedes Materieteilchen ist ein einfacher Dipol Material im Feld Bei bekannter Polarisation Materie-Einfluss = Überlagerung von Dipolfeldern In der Materie: sehr viele Dipole Dipoldichte Polarisation Einfacher: Umrechnen von Kompliziert! in äquivalente Danach: Coulombintegral! 4

17 Material im Feld Material im Feld Umrechnen von in äquivalente Umrechnen von in äquivalente Material im Feld Äquivalenzprinzip Material kann durch geeignete (zusätzliche) Ladungsverteilung ersetzt werden. Material im Feld Material im Feld Gauss Elektrostatik Gauss Vektoranalysis meist unbekannt oft bekannt Dielektrische Verschiebungsdichte Elektrische Flussdichte 5

18 Material im Feld Ansatz: elektrische Suszeptibilität Material im Feld Ansatz: elektrische Suszeptibilität relative Permittivität relative Permittivität Permittivität oder DK (Dielektrizitätskonstante) Permittivität oder DK (Dielektrizitätskonstante) Homogenes Material Falls ganzer Raum homogen mit Material gefüllt: Homogenes Material Coulomb-Integrale überall gilt zuerst rechnen! Feld der Punktladung mit Gauss trivial! Zusammenfassung 1. Auch für Kartoffeln gilt 2. Ladungen sitzen nur auf Leiteroberflächen 3. Material wird im Feld polarisiert 4. Polarisation = Dipoldichte Dipol 5. Räumliche -Variation 6. -Feld macht das Leben einfacher 6

19 Übersicht Rückblick (Kapazität und Material) 2 isolierte Kartoffeln Ladung Spannung Gleichstrom Energie Widerstand Kapazität unabhängig von Material im Feld Dipoldichte Polarisation Material im Feld Dipoldichte Polarisation Wirkung der Dipole äquivalent zu Dielektrische Verschiebungsdichte (elektrische Flussdichte) Ansatz: elektrische Suszeptibilität relative Permittivität Permittivität oder DK (Dielektrizitätskonstante) Homogenes Material Homogenes Material Falls ganzer Raum homogen mit Material gefüllt: überall gilt Coulomb-Integrale zuerst rechnen! Feld der Punktladung mit Gauss trivial! 1

20 Gleichstrom Stromdichte Gleichstrom Stromdichte Strom = bewegte Ladung Strom = bewegte Ladung Metall-Ionen Elektronen?? Im Metall: Gleichstrom Frage: Wie gross sind? sehr gross!! Gleichstrom Wirkungen des Stromes Draht mit 1mm 2 Querschnitt, Strom 1A 1 C Ladung pro Sekunde Chemisch, Kraft, Wärme, Magnetfeld... ist eigenständige Grösse Historische Stromeinheit: Ampere ist Basiseinheit im MKSA-System Gleichstrom Gleichstrom Stromdichte Strom Geschlossene Fläche "Verhaltensregel" für Strom ist "Fluss" von F "Knotenregel" 2

21 Gleichstrom "Verhaltensregel" für Gleichstrom Warum fliesst der Strom überhaupt? Ladungsträger werden "gebremst" Kraft Gleichgewicht mit "Antriebskraft" Grenzfläche zwischen 2 Materialien Gleichstrom Stromfluss im realen Leiter geht nur mit Ohm: Gleichstrom Verhaltensregeln: Ohm: Leitfähigkeit "Isolatoren" Metalle Gleichstrom Gauss: Ohm: Gleichstrom (Wärmewirkung) Bewegte Ladungsträger geben Energie ans Leitermaterial ab Im homogenen Material gilt auch bei Stromfluss: Kraft bewegt sich im -Feld Kraftdichte Leistungsdichte Mechanik = Arbeit pro Zeit = Leistungsdichte 3

22 Gleichstrom (Wärmewirkung) Bewegte Ladungsträger geben Energie ans Leitermaterial ab Leistungsdichte Energiesatz Gleichsetzen unterschiedlicher Leistungen Mechanische Leistung Strom als bewegte Ladung Elektrische Leistung Joule'sche Wärmeleistungsdichte mechanisches Wärmeäquivalent Wärmeleistung elektrisches Wärmeäquivalent Widerstand Widerstand Faktorisierung eines Integrals?? gilt für beliebige Fläche (wegen ) gilt für beliebige Linie (wegen ) wähle 's längs Stromlinien! Widerstand Widerstand Faktorisierung eines Integrals?? Salamischeiben- mit Dicke so, dass konstant. Hängt von oder ab? konstant??? Nein, falls 4

23 Zusammenfassung Strom = bewegte Ladung Stromdichte Zusammenfassung Ohm: Leistungsdichte: Knotenregel Widerstand: 5

24 Übersicht Rückblick (Strom, Energie, Widerstand) Magnetismus Magnetfeld des Stromes Kräfte zwischen Strömen Magnetischer Kreis Rückblick (Strom) Strom = bewegte Ladung Stromdichte Strom Knotenregel Rückblick (Strom) Rückblick (Ohm) Es braucht stromantreibende Kraft im realen Leiter Normalkomponenten von stetig. Ohm: Leitfähigkeit Materialgrenze Isolatoren Metalle Rückblick (Wärmewirkung) Rückblick (Widerstand) Bewegte Ladungsträger geben Energie ans Leitermaterial ab Leistungsdichte Salamischeibenkonstant, falls mit Dicke so, dass konstant. Joule'sche Wärmeleistungsdichte spezifische Absorptionsrate Massendichte 1

25 Elektrostatik &Strom Elektrostatik Kräfte Ladung Feld Gleichstrom Bewegte Ladung erhalten Magnetostatik Wie fanden (finden) wir Felder? Elektrostatik: Ladung Kräfte Feld Strom: Ladungsbewegung Feld Magnetostatik: Magnet Kräfte Feld? Es gibt magnetische Kräfte, aber magnetische "Ladungen" nicht trennbar nur Dipole ("Elementarmagnete") Magnetostatik Kräfte auf Pole wie bei elektrischen Ladungen Magnetostatik Magnetpole wie elektrische Punktladungen Magnet 1 Magnet 2 magnetischer Monopol Probedipol "Magnetnadel" Kraft und Drehmoment messbar! magnetische Feldstärke magnetische Permeabilität Magnetostatik Magnetfeld-Quellen: Dipole magnetisches Dipolmoment Elektrostatik elektrische Feldstärke elektrisches Dipolmoment Polarisation Magnetostatik magnetische Feldstärke magnetisches Dipolmoment Magnetisierung magnetische Ladungsdichte dielektrische Verschiebungsdichte magnetische Flussdichte Tesla "Dipoldichte" heisst Magnetisierung 2

26 Permanentmagnet Elektrostatik Magnetostatik Suszeptibilität Lineares Material Buch S. 96 Permittivität Permeabilität Strom hat Magnetfeld Strom hat Magnetfeld Rechte-Hand-Regel Daumen Richtung Finger Richtung Vergleiche Linienladung: Vermutung: Stromstück-Beitrag = Integral von Biot-Savart Durchflutungsgesetz von Ampère Strom muss geschlossene Schleife bilden H-Feldlinien auch geschlossen Stromlinien sind mit H-Feldlinien verkettet. 3

27 Durchflutungsgesetz von Ampère Durchflutungsgesetz von Ampère Mögliche Fragen: 1. Wieviel Strom fliesst durch die Fläche einer H-Feldlinie? 2. Wieviel H-Feld "fliesst" durch die Fläche einer Stromlinie? 3. Wieviel "Arbeit" (magnetische Spannung) gibt es längs einer H-Feldlinie? Stokes Gilt für beliebige Fläche Anwendung von Ampère Kräfte zwischen Strömen? Magnet Magnet Strom Strom Strom Magnet Lorentz-Kraft langer gerader Strom Kräfte zwischen Strömen Kräfte zwischen Strömen Achse drehbare Schleife parallele Ströme? Strom Strom Gesetz von Ampère 4

28 Magnetischer Kreis Magnetischer Kreis Strom magn. Fluss magn. Spannung Spannung Stromkreis Einfacher Magnetischer Kreis Magn. Fluss magn. Spannung Magnet Fe magn. Widerstand Kirchhoff: Knotenregel Maschenregel Knotenregel Maschenregel Fe Magnetischer Kreis Zusammenfassung Knotenregel : Maschenregel : Ohm sches Gesetz : magnetischer Widerstand Magnetische Kraftwirkungen Magnetische Flussdichte Biot-Savart: analog zur Elektrostatik 5

29 Zusammenfassung Ampère'sches Durchflutungsgesetz Zusammenfassung Magnetischer Kreis Magnetfeld ~ Strom Kraftwirkungen zwischen Strömen Strom Strom 6

30 Übersicht Ladungen Felder Potential Ströme Felder Rückblick Magnetostatik Bemerkung zum Gesetz von Ampère Magnetischer Kreis Konsistenzbetrachtungen Induktionsgesetz (Faraday) Induktivität Elektromechanische Energiewandlung Gauss Coulomb Biot-Savart Ampère Rückblick Magnetismus Phys. Phänomen: Magnetische Kraftwirkungen Rückblick Magnetismus Biot-Savart Zwei Ursachen: Magnete und elektrischer Strom Drei Feldgrössen: Magnetische Feldstärke Magnetisierung Magnetische Flussdichte Tesla Ampère'sches Durchflutungsgesetz Permeabilität Ampère'sches Durchflutungsgesetz Elektrostatik elektrische Feldstärke Magnetostatik magnetische Feldstärke Lange Spule Stromblatt dielektrische Verschiebungsdichte magnetische Flussdichte Abb. 8.2, S. 260 Permittivität Permeabilität 1

31 Kräfte zwischen Strömen? Magnet Magnet Strom Strom Kräfte zwischen Strömen drehbare Schleife Achse parallele Ströme? Strom Strom Strom Magnet Kräfte zwischen Strömen Kräfte zwischen Strömen? Magnet Magnet Strom Strom Gesetz von Ampère Strom Magnet Lorentz-Kraft Material-Dipole = (atomare) Kreisströme Magnetischer Kreis vektorielle Fläche Weit draussen gleiches Feld, falls 2

32 Magnetischer Kreis Stromkreis Strom magn. Fluss magn. Spannung Spannung Kirchhoff: Knotenregel Maschenregel Einfacher Magnetischer Kreis Magnetischer Kreis Magn. Fluss Magnet Fe magn. Spannung magn. Widerstand Knotenregel : Maschenregel : magnetischer Widerstand Knotenregel Maschenregel Fe Ohm sches Gesetz : Konsistenzbetrachtungen Linienintegral Spannung 3

33 Flächenintegrale Strom/Fluss Flächenintegrale Strom/Fluss Ladung Aus Ampère folgt Ladungserhaltung Elektromagnetische Kopplung? E M Induktionsgesetz (Faraday) N S überall Material nicht nötig, aber richtig! Induktionsgesetz (Faraday) Induktionsgesetz (Faraday) bewegter Draht Lorentzkraft Keine Bewegung Neuer Effekt bewegter Draht Lorentzkraft Ladungsträger im bewegten Stab verschoben 4

34 Induktionsgesetz (Faraday) Induktivität F Induktion ist auch ohne Draht vorhanden. Zweite Ursache für Keine Bewegung Neuer Effekt S Induktivität Induktivität F F S Leistung: S Energie: WO?? Gegeninduktivität Gegeninduktivität mutual 5

35 Elektromechanische Energiewandlung Zusammenfassung a Ladung in a Magnetische Dipole sind Kreisströme Magnetischer Kreis Magnetfeld ~ Strom Zusammenfassung Zusammenfassung Induktivität Ampère Knotenregel Faraday Elektromechanische Energiewandlung 6

36 Übersicht Rückblick (Induktion) Gleichungsübersicht Ladungserhaltung (dynamisch) Verschiebungsstrom Maxwell-Gleichungen Integralsätze Rückblick Magnetische Dipole sind Kreisströme Magnetischer Kreis Magnetfeld ~ Strom Rückblick: Ampère Knotenregel Rückblick Induktion Achtung Vorzeichen! Elektromechanische Energiewandlung Elektromechanische Energiewandlung a Ladung in a 1

37 Gleichungen Quellen 1. Stromartige Quellen Faraday Ampère Gauss Material Gleichungen Quellen 2. Ladungsartige Quellen Faraday Ampère Gauss Material Gleichungen im Vakuum Ladungserhaltung Faraday Ampère Faraday Ampère nur noch Quelle für keine Quelle für Gauss Gauss?? Vakuum Material Material 2

38 Ladungserhaltung Ladungserhaltung Faraday Ampère Faraday Ampère vorher: nachher: Gauss Ampère stimmt nicht (nur statisch ok) V?? Verschiebungsstrom Maxwell-Gleichungen (1864) Faraday Spezialfall Faraday Ampère Maxwell'scher Verschiebungsstrom Ampère stimmt nicht (nur statisch ok) Ampère + Maxwell Gauss Material Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen im Vakuum Wellenausbreitung Geschwindigkeit: Nur stromartige Quellen 3

39 Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen Gelten für beliebige Flächen/Volumina. Frage: Was ist gesucht, was ist gegeben? Maxwell-Gleichungen sind Zusammenhänge zwischen verschiedenen Feldgrössen, vergleichbar mit den Kirchhoff-Regeln. Gesucht sind die Feldgrössen, d.h. Vektorfelder, kontinuierliche Funktionen von Raum und Zeit. Betrachte Maxwell-Gleichungen als lokale Zusammenhänge zwischen verschiedenen Feldkomponenten. Maxwell-Gleichungen Rotation Rotation Maxwell-Gleichungen 4

40 Divergenz Divergenz Maxwell-Gleichungen Stokes & Gauss Integralform Differentialform Koordinatenformen z.b. Zusammenfassung 2 Arten von Feldquellen Vgl. S. 154 im Buch 5

41 Zusammenfassung Ladungserhaltung Maxwell-Gleichungen (1864) Faraday Ampère + Maxwell Gauss Material Zusammenfassung Rotation Zusammenfassung Maxwell- Gleichungen Differentialform Divergenz Zusammenfassung Satz von Stokes Satz von Gauss 6

42 Übersicht Rückblick 2 Arten von Feldquellen Rückblick (Verschiebungsstrom, Maxwell) Doppelte Differential-Operatoren Grenz- und Stetigkeitsbedingungen Entkopplung der Maxwell-Gleichungen Laplace-Operator und Wellengleichung Rückblick Doppelte Diff.-Operatoren Satz von Stokes Satz von Gauss? Doppelte Diff.-Operatoren Doppelte Diff.-Operatoren Beispiel: 1. Maxwell-Gleichung 1

43 Lineares (zeitunabhängiges) Material Felder bei Materialgrenzen Frage: 16 Komponenten 10 Komponenten Material Problem bei Materialgrenzen 16 Komp. Grenze A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Falls alle gleich E Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Sei D,E Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. 2

44 Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. oft null Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. Felder bei Materialgrenzen Frage: A: 0 K. gleich B: K. C: K. D: K. E: 16 K. sinnlos!! 3

45 Felder Stetigkeitsbedingungen bei Materialgrenzen Homogenes Material Material Homogenes Material Entkopplung 1? Gleichungen für eine Feldgrösse. verkoppeltes System oder Entkopplung 1 Entkopplung 1 4

46 Einschub: Laplace-Operator Entkopplung 1 Skalar Kartesische Koordinaten Vektor Skalar Zylinderkoordinaten Entkopplung 2: Vektor Skalar Entkopplung 3 Vektorielle Wellengleichung plus 5 formal identische Gleichungen Skalare Wellengleichung Partielle Differential- Gleichung? Gleichungen für Funktionen mit nur einer Variablen Gewöhnliche Differential- Gleichung Entkopplung 3 Entkopplung 3 Produkt-Ansatz Separations-Ansatz (Produkt-Ansatz) 1 Funktion 4 Funktionen 24 Konstanten 24 identische Gleichungen 5

47 Lösung der Schwingungsgleichung Rekonstruktion skalare Lösung Maxwell 24 harmonische Diff.-Gln. (2 Felder x 3 Komp. x 4 Koord.) weitere 48 Konstanten! 24 identische Gleichungen 5 Konstanten pro Komponente: Wellenvektor Rekonstruktion vektorielle Lösung Ebene Welle für alle Komponenten gleich Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenimpedanz Feld der Ebenen Welle Feld der Ebenen Welle 6