Blatt 14.2: Integralsätze von Gauß und Stokes

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1 Fakltät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 205/6 Dozent: Jan on Delft Übngen: Benedikt Brognolo, Dennis Schimmel, Frake Scharz, Lkas Weidinger Blatt 4.2: Integralsätze on Gaß nd Stokes Asgabe: Freitag, Abgabe: Freitag, , :00 Zentralübng: keine (b)[2](e/m/a) bedetet: Afgabe (b) zählt 2 Pnkte nd ist einfach/mittelscher/ansprchsoll Beispielafgaben: {T}: ird im Ttorien besprochen; {S}: Selbststdim. Beispielafgabe : Satz on Gaß nd on Stokes Würfel [4] Pnkte: (a)[2](m); (b)[2](m). [T] Der Würfel W sei definiert drch 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a. (a) Berechnen Sie für das Vektorfeld (r) = (x 2, y 2, z 2 ) T den Flss Φ nach aßen drch die Oberfläche des Würfels af zei Weisen: (i) direkt als Flss-Integral; nd (ii) ia dem Satz on Gaß als Volmenintegral. (b) Berechnen Sie für das Vektorfeld (r) = ( y 2, x 2, 0) T den Flss Φ on nach aßen drch alle Würfelflächen aßer dem Deckel (bei z = a) af zei Weisen: (i) direkt als Flss- Integral; nd (ii) ia dem Satz on Stokes als Linienintegral. [Kontrollergebnisse: falls a = 2, dann (a) Φ = 48, (b) Φ = 6.] Beispielafgabe 2: Volmenberechnng mittels Satz on Gaß Zylinder [] Pnkte: [](E). [S] Berechnen Sie das Volmen eines Zylinders mit Höhe h nd Grndkreisradis R als Flss-Integral mit dem Satz on Gass nd einem Vektorfeld mit der Eigenschaft =, z.b. = ze z. Beispielafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Zylinderkoordinaten [4] Pnkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[0.5](e); (d)[](m); (e)[0.5](m); (b)[](m) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f Betrachten Sie Zylinderkoordinaten, definiert drch r = (ρ cos φ, ρ sin φ, z) T.

2 (a) Wie laten e ρ, e φ, e z nd b ρ, b φ, b z? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Zylinderkoordinaten), dass ( f) = 0. Beispielafgabe 4: Gradient, Diergenz, Rotation in Kgelkoordinaten [2] Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = r nd ein Vektorfeld (r) = (e r/a /r)r mit r = (x, y, z) T nd r = x 2 + y 2 + z 2. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten; (b) in Kgelkoordinaten. Zeigen Sie, dass Ihre Ergebnisse as (a) nd (b) miteinander konsistent sind. Beispielafgabe 5: Satz on Gaß- Zylinder, Zylinderkoordinaten [2] Pnkte: (a)[0.5](e); (b)[](m); (c)[0.5](m) Gegeben sei ein Vektorfeld in Zylinderkoordinaten = zρe ρ nd ein Zylinderolmen V definiert über ρ [0, R], φ [0, 2π[, z [0, H]. (a) Berechnen Sie die Diergenz des Vektorfeldes. Hineis: Für die Diergenz eines Vektorfeldes A = A ρ e ρ +A φ e φ +A z e z in Zylinderkoordinaten gilt: A = ρ ρ (ρa ρ ) + ρ φa φ + z A z Berechnen Sie den Flss Φ des Vektorfeldes drch die Oberfläche S des Zylinderolmens V af zei Arten: (b) Indem Sie das Flssintegral Φ = ds explizit berechnen. S (c) Indem Sie das Flssintegral mithilfe des Satz on Gaß in ein Volmenintegral über mschreiben nd dieses Volmenintegral explizit berechnen. Beispielafgabe 6: Satz on Stokes magnetischer Dipol, Halbkgel [2] Pnkte: (a)[](m); (b)[](m) Jedes Magnetfeld lässt sich als B = A darstellen, obei das Vektorfeld A das Vektorpotential des Feldes genannt ird. Für einen magnetischen Dipol gilt A = µ 0 m r, B = µ 0 r(m r) mr 2, 4π r 4π r 5 obei µ 0 eine postie Konstante ist. Das konstante Dipolmoment m sei nn in z-richtng orientiert, m = me z. H sei eine Halbkgel mit Radis R, deren Grndfläche in der xy-ebene liegt nd deren Rndng zr positien z-achse orientiert ist. Berechnen Sie das Flssintegral des Magnetfelds drch diese Halbkgel, Φ H = ds B, af zei erschiedene Weisen: H 2

3 (a) Direkt, mittels Kgelkoordinaten. (b) Drücken Sie Φ mittels B = A nd dem Satz on Stokes drch ein Linienintegral on A über den Rand der Grndfläche on H as, nd berechnen Sie letzteres. Beispielafgabe 7: Magnetfeld eines stromdrchflossenen Leiters: Diergenz nd Rotation in Zylinderkoordinaten, Satz on Stokes [4] Pnkte: (a)[](e); (b)[](m); (c)[0.5](m); (d)[0.5](e); (e)[0.5](m); (f)[0.5](m) Ein nendlich langer, nendlich dünner Leiter sei entlang der z-achse orientiert nd trage einen Strom I. Er generiert ein Magnetfeld folgender Form: B(r) = µ y 0I x = µ 0I 2π x 2 + y 2 2π ρ e ϕ, für ρ = x 2 + y 2 > 0. 0 Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on B(r) explizit für ρ > 0 in (a) in kartesischen Koordinaten. (b) in Zylinderkoordinaten [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!]. (c) Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten das Linienintegral γ S r B des Magnetfelds entlang des Randes γ S einer kreisförmigen, parallel zr xy-ebene orientierten, af der z-achse zentrierten Scheibe S mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Stokes nd dem Ergebnis as (c) das Flssintegral S A ds ( B) der Rotation des Magnetfelds über die in (c) beschriebenen Scheibe S. (e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für B as (a) nd (d), dass die Rotation des Feldes proportional z einer zei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form B = Ce z δ(x)δ(y) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng der zei-dimensionalen δ- Fnktion ist drch das Flächenintegral ds δ(x)δ(y) = gegeben, für eine beliebige, parallel S zr x-y-ebene gelegene, den Pnkt x = y = 0 einschliessende Fläche S.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form B = µ 0 j(r) nd bestimmen Sie j(r). Diese Gleichng ist das Gesetz on Ampère (eine der Maxell-Gleichngen), obei j(r) die Stromdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für j(r) entsprechend interpretieren? [Gesamtpnktzahl Beispielafgaben: 9] Hasafgabe : Satz on Gaß nd on Stokes Qader [4] Pnkte: (a)[2](m); (b)[2](m). Der Qader Q sei definiert drch 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. (a) Berechnen Sie für das Vektorfeld (r) = ( 2 x2 +x 2 y, 2 x2 y 2, 0) T den Flss Φ nach aßen drch die Oberfläche des Qaders af zei Weisen: (i) direkt als Flss-Integral; nd (ii) ia dem Satz on Gaß als Volmenintegral. (b) Berechnen Sie für das Vektorfeld (r) = 2 (yz2, xz 2, 0) T den Flss Φ on nach aßen drch alle Qaderflächen aßer dem Deckel (bei z = c) af zei Weisen: (i) direkt als Flss-Integral; nd (ii) ia dem Satz on Stokes als Linienintegral.

4 [Kontrollergebnisse: falls a = 2, b =, c = 2, dann (a) Φ = 8, (b) Φ = 2.] Hasafgabe 2: Volmenberechnng mittels Satz on Gaß Kgel [] Pnkte: [](E). Berechnen Sie das Volmen einer Kgel mit Radis R als Flss-Integral mit dem Satz on Gass nd einem Vektorfeld mit der Eigenschaft =, z.b. = r. Hasafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Kgelkoordinaten [4] Pnkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[0.5](e); (d)[](m); (e)[0.5](m); (b)[](m) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f Betrachten Sie Kgelkoordinaten, definiert drch r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) T. (a) Wie laten e r, e θ, e φ nd b r, b θ, b φ? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Kgelkoordinaten), dass ( B) = 0. Hasafgabe 4: Gradient, Diergenz, Rotation in Zylinderkoordinaten [2] Pnkte: (a)[](e); (b)[](m) Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = z(x 2 + y 2 ) nd ein Vektorfeld (r) = (zx, zy, 0) T. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit, (a) in kartesischen Koordinaten; (b) in Zylinderkoordinaten. Zeigen Sie, dass Ihre Ergebnisse as (a) nd (b) miteinander konsistent sind. Hasafgabe 5: Satz on Gaß- Keilring, Kgelkoordinaten [4] Pnkte: (a)[](m); (b)[2](a); (c)[](m) 4

5 Der in der Skizze gra schattierte Keilring, K, ird in Kgelkoordinaten beschrieben drch 0 r R nd π/ θ 2π/. (Solch ein ringartiges Objekt, mit keilförmigem Innenprofil nd gerndetem Aßenprofil, entsteht as einer Kgel mit Radis R drch Herasschneiden eines m die z-achse zentrierten Doppelkegels mit Öffnngsinkel π/.) Berechnen Sie den nach aßen gerichteten Flss Φ K des Vektorfelds F(r) = r 2 e r drch die Oberfläche K des Keilrings, af zei erschiedene Arten: z π π π (a) Berechnen Sie das Flssintegral Φ K = ds F explizit. K (b) Drücken Sie das Flssintegral mittels dem Satz on Gaß drch ein Volmenintegral über die Diergenz F as, nd berechnen Sie dieses Volmenintegral explizit. Hineis: In Kgelkoordinaten gilt: F = r 2 r ( r 2 F r ) + r sin θ θ (sin θf θ ) + r sin θ φf φ. (c) Berechnen Sie für das Vektorfeld G(r) = cos θ e θ den nach aßen gerichteten Flss Φ K = ds G drch die Oberfläche des Keilrings, enteder direkt oder mittels dem Satz on K Gaß. Hasafgabe 6: Satz on Stokes Zylinder, Zylinderkoordinaten [2] Pnkte: (a)[](e); (b)[](e) Z sei ein Zylinder mit Radis R nd Höhe ar 2, zentriert af der z-achse, mit Basis in der xy-ebene. Berechnen Sie für das Vektorfeld = x2 +y 2 ( y, x, 0) T das Flssintegral Φ z D = ds ( ) D drch den Deckel D des Zylinders af zei erschiedene Weisen: (a) Direkt, mittels Zylinderkoordinaten. (b) Drücken Sie Φ D mittels dem Satz on Stokes drch ein Linienintegral on über den Rand D des Zylinderdeckels as, nd berechnen Sie letzteres. Hasafgabe 7: Elektrisches Feld einer Pnktladng: Diergenz nd Rotation in Kgelkoordinaten, Satz on Gaß [4] Pnkte: (a)[](e); (b)[](m); (c)[0.5](m); (d)[0.5](e); (e)[0.5](m); (f)[0.5](m) Das elektrische Feld einer Pnktladng Q am Ursprng hat die Form E(r) = Q 4πε 0 r r = Q x = 4πε 0 r y z Q 4πε 0 e r r 2, mit r > 0, r = x 2 + y 2 + z 2. (ε 0 ist die sogenannte dielektrische Konstante.) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on E(r) explizit für r > 0, 5

6 (a) in kartesischen Koordinaten (b) in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!] (c) Berechnen sie mittels Kgelkoordinaten den Flss Φ K = O K ds E des elektrischen Feldes drch die Oberfäche O K einer am Ursprng zentrierten Kgel K mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Gaß nd dem Ergebnis as (c) das Volmenintegral dv ( E) über das Volmen der in (c) beschrieben Kgel K. K (e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für E as (a) nd (d), dass die Diergenz des Feldes proportional z einer drei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form E = C δ () (r) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng on δ () (r) = δ(x)δ(y)δ(z) ist drch das Volmenintegral V dv δ() (r) = gegeben, für ein beliebiges, den Ursprng einschliessendes Volmen V.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form E = ρ(r)/ε 0, nd bestimmen Sie ρ(r). Diese Gleichng ist das (physikalische) Gesetz on Gaß (eine der Maxell-Gleichngen), obei ρ(r) die Ladngsdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für ρ(r) entsprechend interpretieren? [Gesamtpnktzahl Hasafgaben: 2] 6