Rauten-Mitten-Kegelschnitte zu vier Geraden. Eckart Schmidt. 1. Vorbemerkungen

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1 Raten-Mitten-Kegelschnitte z ier Geraden 1 Vorbemerkngen Eckart chmidt Z ier Geraden g 1, g, g 3, g 4 erden Raten R 1 R R 3 R 4 betrachtet, deren Ecken entsprechend der Indizierng af den orgegebenen Geraden liegen In [1] ird die Frage nach den Ortslinien der Raten-Mitten gestellt, die nach [] af Kegelschnitten liegen Diese Kegelschnitte erden hier die Ergebnisse as [] ergänzend mit baryzentrischen Koordinaten eines geeigneten ezgsdreiecks eiter nterscht nd ein Entscheidngskriterim angegeben, ann der Kegelschnitt eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist Vorerst sei orasgesetzt, dass keine drei Geraden kopnktal nd keine zei Geraden parallel sind Der Fall paralleler Geradenpaare ird in [] behandelt Die Geraden seien hier eitengeraden eines Vierecks D Das Diagonaldreieck bestehend as den chnittpnkten nd der Gegenseitenpaare soie dem Diagonalenschnitt ird das ezgsdreieck für baryzentrische Koordinaten 1 0 0, 0 1 0, Hat D das Koordinatentripel, so erhält man für,,, die das nti-ea-dreieck on D bzgl bilden,, Die Verbindngsstrecke b der Gegenseitenschnittpnkte sei als asis des Diagonaldreiecks bezeichnet Der Raten-Mitten-Kegelschnitt In [1] ird eine Konstrktion der Raten R 1 R R 3 R 4 beschrieben, deren Ecken af den Geraden,, D, D liegen p nd q seien zei beliebig orgegebene zeinander senkrechte Geraden, die nicht drch bz gehen p schneide die Gegenseitengeraden D nd in zei Pnkten mit dem Mittelpnkt P; entsprechend schneide q die Geraden nd

2 D mit dem Mittelpnkt Q Der chnittpnkt der Geraden P nd Q ist die Mitte einer Rate mit den Diagonalengeraden p nd q Folgt man dieser Konstrktion mit baryzentrischen Koordinaten, so erhält man für die Raten-Mitten die Gleichng z y x X yz c b a xz c b a xy c b a 4 0 y b entzt man die onay-bkürzngen,, mit α cot 4 c b a, nd, obei die Dreiecksfläche ist, so ereinfacht sich die Gleichng z 0 4 y yz xz xy Dies ist die Gleichng eines Kegelschnitts drch die Endpnkte nd der asis; in diesen Pnkten entartet die Rate Der Raten-Mitten-Kegelschnitt enthält zei Pnkte, deren Rate ein Qadrat ist, 1 Q ± ± Diese Pnkte sind die Endpnkte eines Drchmessers des Kegelschnitts, konjgiert z der asis des Diagonaldreiecks Das Zentrm des Kegelschnitts ist Z µ µ µ mit µ Nach diesen allgemeinen emerkngen lassen sich onderfälle betrachten 3 ehnenierecke Für ehnenierecke D liegt die Umkreismitte im Höhenschnitt H des Diagonaldreiecks; der Radis beträgt f diesem Umkreis liegen ach die erührpnkte der Tangenten on H an den asis-thales-kreis Die Gleichng dieses Umkreises 0

3 lässt nmittelbar erkennen, dass das Zentrm des Raten- Mitten-Kegelschnitts in die asismitte fällt Die chsen erlafen übrigens parallel z den eiten des Inkreis-Mitten- Rechtecks, bestehend as den Inkreismitten der Teildreiecke, D, D, D des ehnenierecks Ist D ein Umkreis-Drchmesser des ehnenierecks, dies ist der Fall für D, so entartet der Raten-Mitten-Kegelschnitt z einem Kreis, dem Thales-Kreis über der asis mit der Gleichng x y z y zx 0 Damit ist der Raten-Mitten-Kegelschnitt eines Vierecks mit einem Paar rechter Gegeninkel der asis-thales-kreis 4 Die Raten-Mitten-Geraden Die Gleichng des Raten-Mitten-Kegelschnitts lässt sich linear faktorisieren, enn 1 a b c 0 ist Damit entartet der Raten-Mitten-Kegelschnitt z zei Geraden, enn das Diagonaldreieck bei rechtinklig ist Dieser Fall ird in [] konkret angesprochen Die Gleichngen dieser Geraden laten

4 y 0 nd x y z 0 Die erste Gerade ist die asisgerade des rechtinkligen Diagonaldreiecks; af ihr liegen ach die beiden Qadratmitten lle Raten, deren Mitten af dieser Geraden liegen, haben gleiche Diagonalenrichtngen Dies sind die Kathetenrichtngen des Diagonaldreiecks Raten, deren Mitten af der zeiten Geraden liegen, haben konstante Inneninkel die Diagonalen-chnittinkel des Vierecks Vierecke mit rechtinkligem Diagonaldreieck haben spezielle geometrische Eigenschaften o gilt z für die bstände der Ecken on dem Diagonalenschnittpnkt sinβ sinδ D D sin α sinγ oder 0 D Interessant ist der onderfall, enn der Pnkt D af der Winkelhalbierenden des rechten Winkels des Diagonaldreiecks liegt In diesem Fall ist die zeite Raten-Mitten-Gerade parallel zr asisgeraden Für die asismitte entartet die zgehörige Rate z einem Qadrat Die Raten z den Mitten af der zeiten Geraden sind alles Qadrate Ist D die Inkreismitte des rechtinkligen Diagonaldreiecks, besteht das Viereck as den In- nd nkreismitten des Diagonaldreiecks Für diesen Fall eines orthozentrischen Vierecks ird die zeite Gerade zr Ferngeraden

5 5 Die Raten-Mitten-Parabeln Der Raten-Mitten-Kegelschnitt entartet z einer Parabel, enn sein Zentrm ein Fernpnkt ist Daz mss die mme der baryzentrischen Koordinaten Nll ergeben Dies ist der Fall für 0 oder 0 Dies sind die Gleichngen zeier Kegelschnitte, deren Zentren ± ±, af dem asis-thales-kreis diametral senkrecht zr asis liegen Die chsen erlafen parallel z den Winkelhalbierenden des Dioagonalenschnittinkels β Für einen stmpfen Winkel β < 0 schneiden sich die beiden Kegelschnitte in den Pnkten ± 0 nd 0 ±, die nicht nr af den chenkelgeraden des Diagonaldreiecks liegen, sondern ach af dem Kreis m H drch die erührpnkte seiner Tangenten an den asis-thales-kreis Für einen spitzen Winkel β > 0 sind die chnittpnkte der Kegelschnitte mit der asisgeraden 0 ± nd 0 ± Man erhält diese Pnkte konstrkti, enn man on die Tangenten an den asis-thales-kreis zeichnet, die erührpnkte mit den Zentren erbindet nd die chnittpnkte dieser Geraden mit der asis betrachtet Wählt man den Pnkt D af einem der beiden Kegelschnitte, so liegt der Gegenpnkt af dem gleichen

6 Kegelschnitt, ährend nd af dem anderen Kegelschnitt liegen Der zgehörige Raten-Mitten-Kegelschnitt ist dann eine Parabel Die beiden Kegelschnitte begrenzen innerhalb des Diagonaldreiecks die Gebiete, in denen eine Wahl on D z einer Ellipse oder einer Hyperbel führt Für elche Vierecke tritt nn der Parabelfall ein? Eine sertng der obigen Gleichngen ergibt die folgende kennzeichnende edingng sin α γ sin α β sin β γ für die Inneninkel des Vierecks gl 6 6 Zsammenfassng Die ier orgegebenen Geraden seien die eitengeraden eines Vierecks D mit dem Diagonaldreieck Z diesem ezgsdreieck betrachte man die Konjgation ω, die die Ecken des Vierecks D fix lässt x y z yz zx xy Diese Konjgation bildet den asis-thaleskreis af den Raten- Mitten-Kegelschnitt ab Die eitengeraden des Vierecks sind Fixgeraden Die on nd erschiedenen chnittnkte einer eitengeraden mit dem Thales-Kreis nd dem Kegelschnitt erden drch ω ertascht; sie liegen harmonisch z den Endpnkten der entsprechenden eite Diese Konjgation bildet eiterhin die Ferngerade af den Mitten-Kegelschnitt on D ab Der Mitten-Kegelschnitt ist die Ortslinie aller Zentren on Kegelschnitten drch,,, D mit der Gleichng yz zx xy 0 Die ω-ilder der Fernpnkte der Raten-Mitten-Kegelschnitte sind also chnittpnkte des asis-thales-kreises nd des Mitten-Kegelschnitts

7 Kriterim Der Raten-Mitten-Kegelschnitt eines Vierecks ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem der asis- Thales-Kreis des Diagonaldreiecks mit dem Mitten-Kegelschnitt des Vierecks neben den Gegenseitenschnittpnkten keinen, gena einen oder zei eitere gemeinsame Pnkte hat Um sich on der geometrisch nanschalichen eschreibng drch baryzentrische Koordinaten z lösen, seien die Fernpnkte der Raten-Mitten-Kegelschnitte näher nterscht; sie haben folgende Darstellng µ ± µ 4 µ m µ 4 mit µ entzt erden die Winkel des Vierecks D als orientierte chnittinkel α g1,g4, β g,g1, γ g3,g, δ g4,g3 Wählt man g 4 als ezgsgerade, so schneiden g 1, g, g 3 diese Gerade nter den Winkeln α, α β, 180 δ Für die chnittinkel κ 1, der Geraden drch die Fernpnkte gilt nach einer afendigen, hier nterdrückten sertng cot κ 1, cot κ ± R cos α δ mit cot κ cot α β sin α δ sin α γ sin α β sin α δ nd R sin α β sin α δ ezeichnet man die chnittinkel der Gegenseitengeraden mit ϕ α β g, g 4 nd ψ 180 β γ g1,g3 nd die Gegeninkelsmme des Vierecks mit σ α γ g1,g4 g3,g β δ, so gilt cos ψ cot κ cot ϕ sin ϕ σ Ist R<0, dh nd Kegelschnitt eine Ellipse sin σ sin ϕ sin ψ sin ϕ sin ϕ σ R sin σ < sinϕ sinψ, so ist der Raten-Mitten-

8 Ist R0, dh sin σ sinϕ sinψ, so ist der Raten-Mitten- Kegelschnitt ie oben schon angesprochen eine Parabel, deren chse die Gerade g 4 nter dem Winkel κ schneidet Ist R>0, dh sin σ > sinϕ sinψ, so ist der Raten-Mitten- Kegelschnitt eine Hyperbel, deren symptoten die Gerade g 4 nter den Winkeln κ 1, schneiden Es zeigt sich, dass die Richtngen z den Fernpnkten nr on den chnittinkeln der Geraden abhängen, so dass sich die Ergebnisse ach für kopnktale Geraden aserten lassen Ein eispiel Ist αβ45, somit ϕ90 nd ψ180 -σ, so tritt der Parabelfall ein nabhängig on der Wahl on γ Die Parabelachse schneidet die Gerade g 4 nter dem Winkel on 45 nd ist somit parallel z g 1 Im Falle kopnktaler Geraden fällt die Raten-Mitten-Gerade mit g 1 zsammen Die Raten sind Qadrate, deren eine Ecke im gemeinsamen chnittpnkt der Geraden liegt Die Richtng on g 3 spielt hier keine Rolle bschließend sei leider ohne eeis mitgeteilt, dass alle Vierecke mit eiten parallel z ier orgegebenen Richtngen Raten-Mitten-Kegelschnitte mit parallelen chsen nd konstantem chsenerhältnis haben 7 Kopnktale Geraden etrachtet man Konstellationen z der behandelten Fragestellng as hinreichender Ferne, so scheinen die ier Geraden in einem Zentrm kopnktal z sein Ist der Raten- Mitten-Kegelschnitt eine Ellipse, so erschindet sie im Zentrm; eine Parabel ird z einer Geraden nd eine Hyperbel z einem Geradenpaar drch das Zentrm Die obigen Ergebnisse lassen sich erallgemeinern Der Raten- Mitten-Kegelschnitt entartet für ier erschiedene kopnktale Geraden enteder im Zentrm, in einer Geraden oder einem Geradenpaar, je nachdem R<0, R0 oder R>0 ist Die Geradenrichtngen ergeben sich as den Winkeln κ bz κ 1, zr Geraden g 4 Dabei gilt für den Winkel zischen den Raten- Mitten-Geraden cosσ cosϕcosψ cot κ1 κ sin σ sin ϕsin ψ Greift man die Ergebnisse as [] af, so liefern die ierten harmonischen Richtngen z den Richtngen der

9 Gegengeradenpaare nd einer Raten-Mitten-Geraden die orthogonalen Richtngen der zgehörigen Ratendiagonalen etrachtet man z einer Raten-Mitten-Geraden mit dem chnittinkel κ i die ierte harmonische Richtng z bzgl des Gegengeradenpaares g,g 4, so gilt für den chnittinkel ω i der zgehörigen Ratendiagonale cosψ cot ω 1, cot κ, 1 sin ϕ σ Daras lässt sich aber leider keine einfache Konstrktionsmöglichkeit für die Ratendiagonalen ablesen, so dass die zeite Frage in [1] nbeantortet bleibt Mit einem Konstrktionsprogramm kann man den obigen sführngen dagegen drchas folgen Dabei zeigt sich, dass die Raten z beiden Raten-Mitten-Geraden ähnlich sind Dies ird erständlich, enn man z den ier Geradenrichtngen ein Viereck mit rechtinkligem Diagonaldreieck betrachtet nd die Ergebnisse as 4 berücksichtigt Literatr [1] harlotte Thm-Rng Zr Konstrktion on einbeschriebenen Raten PM 5/46 Jg 004, 199 [] Günter Pickert ntort af zei Fragen z einbeschriebenen Raten PM 5/46 Jg 004, 00 Eckart chmidt - Hasenberg 7 - D 43 Raisdorf http//eckart_schmidtbeit-onlinede eckart_schmidt@t-onlinede