7 Lineare Gleichungssysteme

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1 116 7 Lineare Gleichngsssteme Lineare Gleichngsssteme treten in vielen mathematischen, aber ach natrwissenschaftlichen Problemen af; m Beispiel beim Lösen von Differentialgleichngen, bei Optimierngsafgaben, in der Elektrotechnik nd ach in der Chemie Bei Anwendngen treten meist sehr viele Gleichngen nd Unbekannte af, was effiiente Lösngsmethoden nabdingbar macht Hilfsmittel dieser Lösngsmethoden sind Vektoren nd Matrien 71 Vektoren in der Ebene nd im Ram In diesem Abschnitt ist das Wichtigste über Vektoren in der Ebene nd im Ram sammengefasst All dies sollte as der Schle bekannt sein Der restliche Stoff dieses Semesters bat af diesen Grndlagen af In der Ebene nd im Ram lassen sich Vektoren geometrisch als gerichtete Strecken oder Pfeile darstellen Wir beschreiben die Vektoren asschliesslich drch Länge nd Richtng Deshalb betrachten wir wei Vektoren als gleich, wenn ihre Richtng nd ihre Länge übereinstimmen Unter einem Ortsvektor OP eines Pnktes P verstehen wir den gerichteten Pfeil im Koordinatensstem mit Anfangspnkt im Ursprng O nd Endpnkt P Wir können ns also jeden Vektor als Ortsvektor vorstellen P Wir schreiben einen Vektor sowohl in der Ebene als ach im Ram als Spaltenvektor: ( ) v 1 1 =, v = v 2 2 v 3 Die reellen Zahlen 1, 2 bw v 1,v 2,v 3 heissen Komponenten des Vektors bw v Diese KomponentenbeiehensichafdieStandardbasis e 1, e 2 derebenebw e 1, e 2, e 3 desrames Das heisst, es gilt bw = ( 1 2 ) = 1 e e 2 mit e 1 = ( ) 1, e 0 2 = ( ) 0 1 v v = v 2 = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 mit e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0 v

2 117 Fassen wir = ( 1 2 ) als Ortsvektor = OP af, dann sind die Komponenten 1, 2 von gerade die Koordinaten des Pnktes P: P = ( 1, 2 ) Analog für v = OP im Ram Rechenregeln Die Definition von Smme + v, Differen v nd Skalarmltiplikation k mit einer reellen Zahl k erfolgt komponentenweise: 1 v 1 1 ±v 1 1 k 1 ± v = 2 ± v 2 = 2 ±v 2 nd k = k = 3 v 3 3 ±v 3 +v 2 3 k 2 k 3 v k 1 k2 Diese Vektoroperationen gehorchen den folgenden Regeln Sat 71 Für Vektoren, v nd w in der Ebene oder im Ram nd reelle Zahlen k,l gilt: (i) + v = v + (ii) ( + v)+ w = +( v + w) (iii) + 0 = 0+ = (iv) +( ) = 0 (v) k(l ) = (kl) (vi) k( + v) = k +k v (vii) (k+l) = k +l (viii) 1 =

3 118 Die Länge (oder Norm) eines Vektors = Ram ist gegeben drch = ( 1 2 ) 1 in der Ebene, bw = 2 im , bw = d Geraden nd Ebenen im Ram Es gibt im Wesentlichen wei verschiedene Darstellngsformen von Geraden nd Ebenen, die Parametergleichng nd die Koordinatengleichng Parametergleichng einer Geraden Eine Gerade in der Ebene bw im Ram ist gegeben drch ( ) r = = +t v bw r = = +t v mit t R wobei = OP der Ortsvektor eines (fest gewählten) beliebigen Pnktes P af der Geraden nd v ein Richtngsvektor längs der Geraden ist Für jeden Pnkt der Geraden gibt es also (gena) ein t in R, so dass der Vektor r der Ortsvektor dieses Pnktes beschreibt Man nennt t einen Parameter g v Pnkt Q g es gibt ein t R mit r = +t v = OQ

4 119 Beispiel Gescht ist eine Parametergleichng für die Gerade g drch die beiden Pnkte A = (1, 2,5) nd B = (4,6, 2) Liegt C = (1,0,2) af der Geraden g? Parametergleichng einer Ebene Eine Ebene im Ram ist gegeben drch r = = +s v +t w mit s,t R wobei = OP der Ortsvektor eines beliebigen Pnktes P af der Ebene nd v nd w wei nicht parallele Richtngsvektoren in der Ebene sind Hier sind s nd t wei Parameter v w As der Schle wissen Sie, dass eine Gleichng der Form = m+q eine Gerade in der Ebene beschreibt, wobei m die Steigng nd q der -Achsenabschnitt der Geraden ist Die folgende leicht allgemeinere Schreibweise dieser Gleichng beschreibt ach die Geraden, die

5 120 parallel r -Achse sind Koordinatengleichng einer Geraden in der Ebene Eine Gerade in der Ebene ist gegeben drch a+b +c = 0 wobei a,b,c reelle Zahlen sind Dabei gilt: Beispiel Der Pnkt P = (,) liegt af der Geraden a+b +c = 0 Liegt der Pnkt P = ( 2,4) af der Geraden g gegeben drch +2 6 = 0? Koordinatengleichng einer Ebene im Ram Eine Ebene im Ram ist gegeben drch a+b +c +d = 0 wobei a,b,c,d reelle Zahlen sind Tatsächlich beschreibt diese Gleichng eine Ebene nd nicht eine Gerade Es ist eine Gleichng in den drei Unbekannten,, Zwei Unbekannte sind also frei wählbar, dann ist die dritte bestimmt Dies entspricht den wei Dimensionen der Ebene (bw den wei Parametern der Parametergleichng einer Ebene) Eine Gerade im Ram ist nicht drch eine einige Koordinatengleichng beschreibbar Es sind wei Koordinatengleichngen dafür nötig Geometrisch bedeten die wei Gleichngen wei Ebenen Die Gerade wird also als Schnittgerade weier Ebenen beschrieben Beispiel Man bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben drch = 0 nd +2 1 = 0

6 Der n-dimensionale Ram Im vorhergehenden Abschnitt haben wir speiell die Ebene nd den (dreidimensionalen) Ram nterscht In Rämen mit vier oder mehr Dimensionen kann gan ähnlich gerechnet werden Solche Räme kommen ins Spiel, wenn wir lineare Gleichngsssteme lösen wollen Hat nämlich ein lineares Gleichngssstem vier oder mehr Unbekannte, so liegen seine Lösngen nicht in der Ebene oder im (dreidimensionalen) Ram, sondern in einem Ram von höherer Dimension Die Rechenarten des vorhergehenden Abschnitts können problemlos af höherdimensionale Räme erweitert werden Sei n eine natürliche Zahl Die Menge aller geordneten n-tpel ( 1, 2,, n ) mit reellen Zahlen 1, 2,, n heisst n-dimensionaler Ram nd wird mit R n beeichnet Den 2- nd 3-dimensionalen Ram kennen wir schon Der Ram R 2 ist die Ebene nd R 3 ist der Ram as dem vorhergehenden Abschnitt Wie in R 2 nd R 3 beeichnen wir mit P = ( 1,, n ) einen Pnkt in R n nd mit v = einen Vektor in R n Eine Addition nd eine Skalarmltiplikation können wir für alle n 1 komponentenweise definieren, + v = 1 + n v 1 v n = v 1 v n 1 +v 1 n +v n nd k v = fürk R DieSbtraktionkanndannals v = +( v)definiertwerden, wobei v = ( 1) v der Vektor mit den Komponenten v 1,, v n ist Die Vektoren im R n gehorchen damit denselben Rechenregeln wie die Vektoren im R 2 nd R 3 Es sind die Gesete (i) (viii) as Sat 71 Weiter ist die Länge (oder Norm) eines Vektors in R n definiert drch = n 73 Lineare Gleichngsssteme nd Matrien kv 1 kv n Wir beginnen mit einem Beispiel eines linearen Gleichngssstems as der Chemie Beispiel: Reaktionsgleichng Wird Kalimdichromat K 2 Cr 2 O 7 af über 500 C erhitt, erfällt es in Kalimchromat K 2 CrO 4, Chromoid Cr 2 O 3 nd Saerstoff O 2 Die Reaktionsgleichng latet mit nbekannten Molekülahlen: 1 K 2 Cr 2 O 7 2 K 2 CrO Cr 2 O O 2

7 122 Wie sehen die Koeffiienten 1, 2, 3, 4 in der Reaktionsgleichng as, die gewährleisten, dass bei den Reaktanden nd Prodkten der Gleichng die Anahlen der jeweiligen Atome gleich sind? Bringen wir alle Terme af die linke Seite, erhalten wir die folgenden drei linearen Gleichngen = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) also ein lineares Gleichngssstem Wir könnten dieses Gleichngssstem mit Methoden as der Schle lösen, m Beispiel drch Einseten Hätte dieses Sstem jedoch mehr Unbekannte nd Gleichngen, wäre diese Lösngsmethode sehr afwendig Es ist deshalb sinnvoll, eine Lösngsmethode kennen, mit der man jedes lineare Sstem effiient lösen kann Zerst halten wir noch ein paar wichtige allgemeine Tatsachen über lineare Gleichngsssteme fest Allgemein nennt man m lineare Gleichngen a a 1n n = b 1 a a 2n n = b 2 a m a mn n = b m (G) in n Variablen ein lineares Gleichngssstem Die reellen Zahlen a 11,,a mn nennt man Koeffiienten des Gleichngssstems (oder der Gleichngen) Eine Lösng des Sstems besteht as n Zahlen 1,, n mit der Eigenschaft, dass jede Gleichng des Sstems drch die Sbstittion 1 = 1, 2 = 2,, n = n erfüllt wird Die Gesamtheit aller Lösngen heisst Lösngsmenge oder allgemeine Lösng des Gleichngssstems Zm Beispiel bilden die Gleichngen ein lineares Gleichngssstem = = 7 Verändern wir die 2 Gleichng, erhalten wir ein nees Gleichngssstem, = = 7 Dieses Sstem hat keine Lösng! Also nicht jedes Gleichngssstem ist lösbar

8 123 Verändern wir die 2 Gleichng noch einmal, erhalten wir weiter das Sstem = = 7 Wir haben nn je ein lineares Gleichngssstem mit gena einer Lösng, mit keiner Lösng nd mit nendlich vielen Lösngen gesehen Tatsächlich können bei einem beliebigen linearen Gleichngssstem stets nr gena diese drei Fälle aftreten Für Ssteme in 2 oder 3 Unbekannten kann diese Tatsache geometrisch begründet werden, denn eine Gleichng in 2 Unbekannten beschreibt eine Gerade in der Ebene nd eine Gleichng in 3 Unbekannten beschreibt eine Ebene im Ram Das heisst, das lineare Gleichngssstem hat eine Lösng, wenn die Geraden (bw Ebenen) einen gemeinsamen Schnittpnkt haben gena eine Lösng keine Lösng nendlich viele Lösngen Um lineare Gleichngsssteme effiient lösen können, schreibt man sie mit Hilfe von sogenannten Matrien, a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n A =, (A a 21 a 22 a 2n b 2 b) = a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m Die Matri A nennt man Koeffiientenmatri des Sstems (G) nd die Matri (A b) heisst erweiterte Matri des Sstems

9 124 Allgemein ist eine (reelle oder komplee) Matri ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn wobei a ij für i = 1,,m nd j = 1,,n (reelle oder komplee) Zahlen sind; man nennt sie Elemente oder Einträge der Matri (nächstes Semester werden wir ach Matrien benten, deren Einträge Fnktionen sind) Hat die Matri m Zeilen nd n Spalten, dann beeichnet man die Matri als m n-matri Ist speiell n = 1, so hat die m 1-Matri nr eine Spalte a 1 a m ist also nichts anderes als ein Spaltenvektor Ist m = 1, so hat die 1 n-matri nr eine Zeile ( a1 a n ) nd wird ach als Zeilenvektor beeichnet Ist m = n, so nennt man die n n-matri qadratisch der Ordnng n Die Elemente a 11,a 22,,a nn heissen Diagonalelemente Sind alle Elemente asser den Diagonalelementen einer Matri gleich Nll, dann nennt man die Matri eine Diagonalmatri Eine speielle Diagonalmatri ist die Einheitsmatri E = E n =, der Ordnng n Weiter nennt man die Matri, deren sämtliche Elemente gleich Nll sind, Nllmatri nd beeichnet sie mit 0 Schliesslich nennt man wei Matrien gleich, wenn sie dieselbe Anahl Zeilen nd Spalten haben (dh dieselbe Grösse haben) nd einander entsprechende Einträge übereinstimmen 74 Der Gaß-Algorithms Es gibt verschiedene Methoden, ein lineares Gleichngssstem lösen Der Gaß-Algorithms (oder das Gaß-Jordan-Verfahren) ist ein Lösngsverfahren, das für beliebige lineare Ssteme anwendbar ist Er ist leicht af einem Compter programmierbar nd vor allem sehr effiient Weitere Lösngsmethoden sind m Beispiel die Cramersche Regel nd das Lösen mit Hilfe der inversen Matri, die jedoch nr für gewisse qadratische Koeffiientenmatrien anwendbar sind, das heisst insbesondere, für lineare Ssteme mit gleich vielen Gleichngen wie Unbekannten Sie sind eher vom theoretischen Standpnkt her interessant Gewisse lineare Gleichngsssteme sind gan einfach lösen, m Beispiel = = 1 3 = 3 (S1)