Vektorraum. Ist =, so spricht man von einem reellen Vektorraum, ist =, so spricht man von einem komplexen

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1 6. Vektorra Ein Vektorra oder linearer Ra ist eine algebraische Strktr die in fast allen Zweigen der Matheatik erwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräe in der Linearen Algebra. Die Eleente eines Vektorras heißen Vektoren. Sie können addiert werden oder it Skalaren ltipliziert das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorras. Entstanden ist der Begriff as der Abstraktion des eklidischen Raes af wesentliche Eigenschaften die dann af abstraktere Objekte wie Fnktionen oder Matrizen übertragbar sind. Die skalaren Zahlen it denen an einen Vektor ltiplizieren kann staen as eine Körper deswegen ist ein Vektorra ier ein Vektorra über eine bestiten Körper. Man spricht beispielsweise on eine Vektorra über den reellen Zahlen. In den eisten Anwendngen legt an diese oder die koplexen Zahlen zgrnde. Eine Basis eines Vektorras ist eine Menge on Vektoren die es erlabt jeden Vektor drch eindetige Koordinaten z beschreiben. Wird it Vektoren gerechnet so wird it deren Koordinaten gerechnet. Die Anzahl der Basisektoren wird Diension des Vektorras genannt. Sie ist nabhängig on der Wahl der Basis nd kann ach nendlich sein. 6.. Definition des Vektorraes Ein Vektorra über eine Körper Vektorra besteht as einer additi geschriebenen ABELschen Grppe V = V+ on Vektoren eine Körper = + on Skalaren nd einer äßeren Mltiplikation V V die jede geordneten Paar k it k nd V einen Vektor k V zordnet. Dabei gelten folgende Gesetze: + + w = + + w w V. Assoziatigesetz der Addition in V Es gibt einen Vektor 0 V it + 0 = V. Nlleleent bezüglich Addition in V Z jede Vektor gibt es einen Vektor it + = 0. Inerses Eleent bezüglich Addition in V 4 + w = w + w V. Kotatigesetz der Addition in V = V. Einseleent on 6 rs = rs r s nd V. Assoziatigesetz der Mltiplikation in V 7 r + s = r + s r s nd V. Distribtigesetz in V Addition on Skalaren 8 r + w = r + rw r nd w V. Distribtigesetz in V Addition on Vektoren Ist = so spricht an on eine reellen Vektorra ist = so spricht an on eine koplexen Vektorra. 6.. Beispiele für Vektorräe A Einspaltige bzw. einzeilige reelle Matrizen o Typ n bzw. n bilden bezüglich der Matrizenaddition nd äßerer Mltiplikation it einer reellen Zahl einen reellen Vektorra n Vektorra der Spalten bzw. Zeilenektoren. B Alle reellen Matrizen o Typ n bilden einen reellen Vektorra. C Alle af eine Interall [a b] stetigen reellen Fnktionen bilden it den drch f + gx = fx + gx nd kfx = k fx definierten Operationen einen reellen Vektorra. D Die Polynoe it Koeffizienten as eine Körper bilden it der üblichen Addition nd der Mltiplikation it eine Eleent des Körpers einen nendlich diensionalen Vektorra. Für die Polynoe deren Grad drch ein N nach oben beschränkt ist hat der resltierende Vektorra die Diension N +. Beispielsweise ist die Menge aller Polynoe o Grad N 4 a + b x + c x + d x + e x 4 ein Vektorra der Diension. Eine Basis bilden die Monoe { x x x x 4 }.

2 6.. Unterektorra Ein Unterektorra ach linearer Unterra ist eine Teilenge eines Vektorras die selbst wieder ein Vektorra über deselben Körper ist. Dabei werden die Vektorraoperationen af den Unterektorra ererbt. Jeder Vektorra enthält zwei triiale Unterektorräe nälich z einen sich selbst z anderen den kleinsten Unterektorra {0} der nr as de Nllektor besteht Kriteri für die Unterraeigenschaft Ist V ein Vektorra so bildet eine Teilenge U V gena dann einen Unterektorra wenn die folgenden Bedingngen erfüllt sind: I. U II. x y U gilt x + y U U ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition III. x U nd a gilt a * x U U ist abgeschlossen bezüglich der Skalarltiplikation 6... Beispiel Es sei V = der Vektorra der Paare reeller Zahlen. Ein Unterektorra ist z. B. M = 0 da die drei obigen Vorassetzngen erfüllt sind. Anschalich ist V eine Ebene nd M ist die it der x Achse zsaenfallende Gerade. Jede andere drch den Ursprng erlafende Gerade ist ebenfalls ein Unterra Lineare Abhängigkeit Es sei V ein Vektorra. Die Vektoren... V heißen linear abhängig falls es a a... a gibt die nicht alle gleich Nll sind sodass a + a a = 0 gilt nd anderenfalls linear nabhängig. Lineare Abhängigkeit on Vektoren bedetet also dass sich ein Vektor drch die anderen Vektoren darstellen lässt. Beispiel a Es seien = = 0 9 nd = Vektoren des. Man nterscht die Gleichng a + a + a = 0 nach Lösngen. Es sind die Koeffizienten a a a drch Lösng des Gleichngssystes a 0a a 0 a 9a a a a 0 z finden. Das Syste hat nendlich iele Lösngen für a = a a a z.b.. Da ist sind die Vektoren nd linear abhängig. In diese Fall gilt = 0. b Dagegen sind die Vektoren = 0 = 7 = 8 linear nabhängig weil die Gleichng a + a + a = 0 nr für a = a = a = 0 gilt. c Die Polynoe p = t + p = t + nd p = t sind linear nabhängig i Vektorra P der Polynoe. Grades da a p + a p + a p = a t + + a t + + a t = a t + a + a t + a + a a = 0 nr für a = a = a = 0 gilt. a Erzegendensyste nd Basis eines Vektorras Für endlich iele... V nd a a... a bezeichnet an die Se s = a + a a = a i i als Linearkobination der Vektoren.... Dabei ist s i selbst wieder ein Vektor as de Vektorra V.

3 Ist S eine Teilenge on V so wird die Menge aller Linearkobinationen on Vektoren as S die lineare Hülle on S genannt. Sie ist ein Unterektorra on V nd zwar der kleinste Unterektorra der S enthält. Eine Teilenge E eines Vektorras V ist ein Erzegendensyste on V wenn die lineare Hülle on E der ganze Vektorra V ist. Das bedetet dass drch Linearkobination der Vektoren as E der gesate Vektorra V erzegt werden kann. n Betrachtet an nn die Se b = a + a a n n = a i i für endlich iele... n V i nd a a... a n it n als Linearkobination der Vektoren... n. Dabei ist b selbst wieder ein Vektor as de Vektorra V. Eine Teilenge B eines Vektorras V ist eine Basis on V wenn B linear nabhängig ist nd die lineare Hülle on B der ganze Vektorra ist. Die Basis ist ein iniales Erzegendensyste. Ein Vektorra kann erschiedene Basen besitzen jedoch hat jede Basis desselben Vektorras gleich iele Eleente. Die Anzahl n der Eleente einer Basis ist die Diension des Vektorras. Die Linearfaktoren der Darstellng eines Vektors in den Basisektoren heißen Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis nd sind Eleente des zgrnde liegenden Körpers. Erst drch Einführng einer Basis werden jede Vektor seine Koordinaten bezüglich der gewählten Basis zgeordnet. Dadrch wird das Rechnen in Vektorräen erleichtert insbesondere wenn an statt Vektoren in abstrakten Vektorräen ihre zgeordneten anschalichen Koordinatenektoren erwenden kann Beispiele a Es sei E ={ } it = = 0 9 nd = eine Teilenge on Vektoren des. Man nterscht die drei Vektoren af lineare Unabhängigkeit it Hilfe der Gleichng a + a + a = 0 nd de Gaßschen Eliinationserfahren Das bedetet dass die drei Vektoren linear abhängig sind. As jeweils zwei Vektoren kann an den dritten Vektor drch Linearkobination darstellen z.b. =. Die Diension des on E afgespannten Unterektorraes U ist. Dait ist z.b. B ={ } eine Basis on U. b Es sei E ={ } it den Vektoren = 0 = 7 = 8. Die Unterschng af lineare Unabhängigkeit liefert Erzegendensyste nd Basis des. 0 0 d.h. Diension. Dait ist E 6 0 c Die Polynoe p = t + p = t + nd p = t sind linear nabhängig i Vektorra P der Polynoe. Grades wie bereits oben gezeigt wrde. Dait ist P ={p p p } Basis on P. Eine weitere Basis wäre { t t } Norierng on Basisektoren U den Begriff der Nor eines Vektors z definieren werden znächst zwei Operationen on Vektoren definiert.. Das Skalarprodkt der Vektoren w V = n it =... n nd w = w w... w n ist definiert wie folgt: w = w + w n w n.

4 Es ist eine Abbildng V V d.h. das Ergebnis des Prodktes zweier Vektoren ist ein Skalar. Oft wird ach das norale erwendet.. Das Vektorprodkt oder Krezprodkt der Vektoren w V = it = nd w = w w w ist definiert wie folgt: w = w w w w w w. Es ist eine Abbildng V V V d.h. das Ergebnis des Prodktes zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Mit de Skalarprodkt wird die Eklidische Nor oder der Betrag eines Vektors n definiert als n. Oft wird ach das Sybol für den Betrag erwendet. Mit Hilfe dieser Definition kann an das Skalarprodkt ach definieren: w = w + w n w n = w cos w. Man erhält as einer Basis B ={... n } eine norierte Basis B inde an jeden Basisektor n drch seinen Betrag diidiert d.h. B =. Dabei hat jeder Basisektor den Betrag. n 6... Orthonorierng on Basisektoren Eine Basis B ist eine orthonorierte Basis wenn das Skalarprodkt as je zwei norierten Basisektoren gleich 0 ist. Dait ist der Winkel zwischen diesen Vektoren gleich 90. Die Standardbasis kanonische Basis des dreidiensionalen Raes das ist die Basis it der Darstellng { } ist orthonoral: e = e = e = jeder Vektor für sich ist noriert e * e = e * e = e * e = 0 Skalarprodkt alle Vektoren sind paarweise zeinander orthogonal Die Standardbasis des n diensionalen Raes n ist die Basis it der Darstellng {e e... e n } = { } ist analog definiert nd es gelten die gleichen Regeln. Nachfolgend soll ein Verfahren dargestellt werden drch das an as eine gegebenen Basissatz B ={... n } eine orthonorierte Basis erzegen kann. Dieses Verfahren nennt an Schidtsches Orthogonalisierngserfahren. Das Prinzip soll znächst an zwei nicht linear abhängigen Vektoren nd deonstriert werden: α Der Vektor λ ist ein Vielfaches des Vektors. Beide Vektoren haben dait die gleiche Richtng. Der Vektor ist die senkrechte Projektion des Vektors af die Gerade it de Richtngsektor nd α =. As = λ + folgt = λ. Dabei ist λ = cos α. Das Skalarprodkt * = cos α enthält ebenfalls den Kosins on α. Daras folgt 4

5 cos oder wobei der norierte Vektor ist. Der Vektor ist der geschte af senkrecht stehende Basisektor. Beispiel as de : Seien = nd =. Dann gilt nd 4 7. Man kann leicht it de Skalarprodkt überprüfen dass 0 ist nd dait zwei orthonorale Basisektoren gefnden wrden. Wenn an dieses Verfahren af eine gegebene Basis B ={... } it Vektoren as n it n überträgt so wählt an sich znächst zwei Vektoren z.b. nd as nd bestit it der Gleichng nd die ersten beiden orthonorierten Basisektoren. I nächsten Schritt nit an den dritten Basisektor z.b. nd bestit it der Gleichng nd den dritten orthonorierten Basisektor. Das Verfahren wird bis z letzten Basisektor fortgesetzt. Dabei gilt nd Lineare Abbildngen Die it der Strktr on Vektorräen erträglichen Abbildngen werden lineare Abbildngen genannt. f: V V heißt linear wenn V λ gilt: f+ = f + f fλ = λ f. Man kann ach beide Bedingngen zsaenfassen z: V λ μ : fλ+μ = λ f + μ f Die linearen Abbildngen on f on n in werden it Hilfe on Matrizen A o Typ n drch f = A beschrieben. Kern Bild: Es seien V V Vektorräe. Ist f: V V eine lineare Abbildng so sind die Unterräe Kern Bezeichnng: ker f nd Bild Bezeichnng: i f wie folgt definiert: ker f = { V f = 0} i f = { f V}. So ist z Beispiel die Lösngsenge eines hoogenen Gleichngssystes A x = 0 der Kern der drch die Koeffizientenatrix A erittelten linearen Abbildng. Diension: Die Diension di ker f bzw. di i f werden Defekt f bzw. Rang f genannt. Zwischen diesen Diensionen besteht der Zsaenhang Defekt f + Rang f = di V der Diensionsforel genannt wird. Ist z.b. Defekt f = 0 d.h. ker f = {0} dann ist die lineare Abbildng f injekti nd gekehrt. Injektie lineare Abbildngen werden reglär genannt.