Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 09/10. Michael Karow. Themen: Flächen und Flächenintegrale

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Sofie Wolf
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1 Vorlesng: Analsis II für Ingeniere Wintersemester 9/ Michael Karow Themen: lächen nd lächenintegrale

2 Parametrisierte lächen I Sei 2 eine kompakte Menge mit stückweise glattem and (d.h. der and ist as glatten Kren zsammengesetzt). Sei (, ) : 3, (, ) (, ) = (, ) z(, ) eine stetig diff bare Abbildng, die af 3 abbildet, wobei folgendes gilt: Die Zordnng (, ) (,, z) ist bis af eentelle Asnahmen af dem and on mkehrbar. Bis af eentelle Asnahmen af dem and on sind die Vektoren (, ) nd (, ) stets linear nabhängig. Dann nennt man eine glatte läche, nd die Abbildng nennt man eine Parametrisierng on. z (,) (,)

3 Parametrisierte lächen II z (,) (,) In der Sitation der origen Seite gilt: Die Vektoren (, ) nd (, ) spannen die Tangentialebene on am Pnkt (, ) af. Der Vektor (, ) (, ) (Krezprodkt) steht senkrecht af der Tangentialebene. Ein kleines achsenparalleles echteck in mit Mittelpnkt (, ) nd Kantenlängen, wird dch näherngsweise af ein Parallelogramm P mit Mittelpnkt (, ) nd den Kantenektoren (, ) nd (, ) abgebildet. Der lächeninhalt on P ist ol 2 (P) = (, ) (, ). Der Vektor enthält also die Informationen über die Lage der Tangentialebene nd die Umrechnng on lächeninhalten.

4 Differentielle lächenelemente nd Oberflächenintegrale ektorielles lächenelement: skalares lächenelement: do = do = d d d d. ür eine nktion f : definiert man das skalare Oberflächenintegral: f do := f((, ), (, ), z(, )) d d. Das Integral über mss natürlich sinnoll sein. Die ist z.b. für stetiges f der all. ür eine Vektorfeld : definiert man das lssintegral: d O := ( ((, ), (, ), z(, )) ) }{{} = det(, ( ), ) d d. Interpretation: Wenn ein Geschwindigkeitsfeld ist, dann gibt das lssintegral an, welches Volmen des strömenden Medims sich pro Zeiteinheit in ichtng d O drch die läche bewegt. Die Gleichng ( ) gilt afgrnd der ektoriellen Identität a ( b c) = det( a, b, c), a, b, c 3 (Spatprodkt)

5 lächeninhalt nd lssintegral als skalares Oberflächenintegral ) Den lächeninhalt on bekommt man, indem man das skalare Oberflächenintegral mit der nktion f = bildet: ol 2 () = do = d d 2) Sei n der Einheitsektor, der in dieselbe ichtng wie = n. zeigt. Dann ist As den Definitionen der Oberflächenintegrale folgt dann d O = ( n) do. Das lssintegral ist also das skalare Oberflächenintegral der nktion f = n.

6 Graphenflächen: Sei f : eine stetig differenzierbare nktion. Dann ist : 3, (, ) = f(, ) eine Parametrisierng des Graphen on f. Man hat eine Sitation wie im Bild nten. ür die Oberflächenelemente gilt ( ) do 2 ( ) 2 = f f d d, do = + + d d. f f z f f = = f = f Graph(f) (,) Definitionsbereich(f)

7 Beispiel: lss eines in z-ichtng zeigenden Vektorfeldes drch einen Graphen (siehe Skript Beispiel 42). Sei f : stetig diff bar nd : 3 3, (,, z) = [ z (, )] T ein stetiges Vektorfeld. (Beachte: z hängt nicht on z ab). Der lss on drch den Graphen on f ist do = det d d Graph(f) = = z f f det d d f f z (, ) d d z (Zklisches Vertaschen der Spalten) (Dreiecksmatri. Determinante ist Prodkt der Diagonalelemente)

8 otationsflächen I. Sei c : [a, b] 3, c(t) = ρ(t) z(t) eine differenzierbare Kre, so dass die ganz in der rechten Hälfte der, z-ebene enthalten ist. Asserdem sei c (t) = mit höchstens endlich ielen Asnahmen. c darf ach geschlossen sein nd endlich iele Selbstüberschneidngen haben. Dann ist : [,2π] [a, b] 3, (φ, t) := ρ(t) cos(φ) sin(φ) + ρ(t) cos(φ) = ρ(t) sin(φ) z(t) z(t) eine Parametrisierng der otationsfläche, die entsteht, wenn man das Bild on c ollständig m die z-achse dreht. Geometrische Bedetng on ρ: Abstand on der z- Achse. Die Oberflächenelemente etc. sind af der folgenden Seite angegeben. z otationsflaeche c b ρ(t) c(t) = z(t) a t 2π ρ (= )

9 otationsflächen II. ür die Parametrisierng der otationsfläche hat man φ = ρ(t) sin(φ) cos(φ), t = ρ (t) cos(φ) ρ (t) sin(φ), z (t) φ t = ρ(t) cos(φ) z (t) sin(φ) z (t) ρ (t) Die Oberflächenelemente sind do = ρ(t) cos(φ) z (t) sin(φ) z (t) dt dφ, ρ (t) do = ρ(t) z (t) 2 + ρ (t) 2 dt dφ. Sei ds das differentielle Längenelement on c (siehe Vorlesng über Krenintegrale). Dann ist ds = c (t) dt = z (t) 2 + ρ (t) 2 dt Daher kann man das skalare Oberflächenelement on krz in folgender orm schreiben: Dabei ist ρ der Abstand zr z-achse. do = ρ ds dφ. Spezialfall (siehe Skript): Wenn das Bild on c der Graph einer nktion on z ist, also z = t, ρ = ρ(z), dann hat man do = ρ(z) + ρ (z) 2 dz dφ.

10 otationsflächen III. ür den lächeninhalt einer otationsfläche bekommt man on der origen Seite: 2π ( ) ol 2 () = do = ρ ds dφ = ρ ds dφ = 2π ρ ds Wenn man den geometrischen Schwerpnkt einer Kre analog z dem geometrischen Schwerpnkt eines ebenen oder 3-dimensionalen Bereichs definiert, dann ist ρ s = c ρ ds / (Länge on c) = der Abstand des Schwerpnkts on c on der z-achse. Es folgt die Gldinsche egel: ol 2 () = 2π (Länge on c) ( Abstand des Schwerpnkts on c on der z-achse) Diese orm der lächeninhaltsformel ist beqem, wenn der Schwerpnktsabstand bekannt ist. Beispiele: Mantel eines Kegelstmpfs. In diesem all ist das Bild on c eine Strecke. Der Schwerpnkt liegt in der Mitte der Strecke. Oberfläche eines Tors. In diesem all ist das Bild on c eine Kreislinie. Der Schwerpnkt ist der Kreismittelpnkt. c c ρ ds / c ds c

11 Beispiel: Berechnng des lächeninhalts des otationsparaboloids P = { (,, z) 3 ; 2 + 2, z = }. z Methode : Die Menge P ist der Graph der nktion f : K, f(, ) = 2 + 2, K = Einheitskreis. Mit der ormel für das Oberflächenelement eines Graphen nd Integration in Polarkoordinaten bekommt man: ol 2 (P) = + ( f K )2 + ( f )2 d d = d d K 2π [ ] = + 4ρ 2 ρ dρ dφ = 2π 2 ( + 4ρ2 ) 3/2 = π 6 (53/2 ). Methode 2: P ist die otationsfläche, die man drch Drehen des Graphen der nktion [,] z z = ρ(z) erhält. Mit der ormel über den lächeninhalt der otationsfläche eines Graphen folgt: ol 2 (P) = 2π ρ(z) + ρ (z) 2 dz = 2π z + /(4z) dz = 2π z + /4 dz = 2π [ (2/3)(z + /4) 3/2 ] = 2π (2/3)((5/4) 3/2 (/4) 3/2 ) = 2π (2/3)(5 3/2 )/8 = π 6 (53/2 ). (= ρ)

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