Mathematik für Ingenieure 2

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1 Armin Hoffmann Bernd Marx Werner Vogt Mathematik für Ingenieure 2 Vektoranalysis, Integraltransformationen, Differenzialgleichungen, Stochastik Theorie und Numerik ein Imprint von Pearson Education München Boston San rancisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

2 Integralsätze der Vektoranalysis 3.1 Der Integralsatz von Gauß Der Integralsatz von Stokes Nabla-Kalkül, Quellen- und Wirbelfreiheit. 138 Zusammenfassung Aufgaben ÜBERBLICK

3 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS In diesem Kapitel wird die vektorielle Integralrechnung (Kapitel 2) mit der vektoriellen Differenzialrechnung (Bd. 1, Kapitel 16) verknüpft. Im Ergebnis entstehen die wichtigen Sätze von Gauß und Stokes und als Spezialfall der Satz von Green. Bei diesen Sätzen geht es u. a. darum, den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung für eine stetige Ableitung,also b a (x) dx = (b) (a), in angemessener Weise auf höhere Dimensionen zu übertragen. Der Hauptsatz, etwas locker formuliert, besagt: Das Integral von kann durch Randwerte von ausgedrückt werden. Der Stokessche Integralsatz erweist sich als eine angemessene Übertragung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung auf höhere Dimensionen. Wir betreiben diese Übertragung nur bis n = 3. Die ormulierung des alles n>3, n N, erfordert den Aufbau der Theorie der Differenzialformen und ihrer Integrale (Cartan- Kalkül) und wird deshalb hier nicht durchgeführt. Die Gaußschen und Stokesschen Integralsätze sind nicht nur von mathematischem Interesse. Sie sind ganz ursprünglich aus naturwissenschaftlichen Problemstellungen hervorgegangen und deshalb auch heute noch ein unentbehrliches Hilfsmittel des Naturwissenschaftlers und Ingenieurs. Wir werden einige signifikante physikalische Anwendungen, die u. a. die Gebiete der Elektrizität und des Magnetismus und deren Differenzialgleichungen betreffen, betrachten. Beispielsweise wurde der Greensche Satz um 1828 im Zusammenhang mit der Entwicklung der Potenzialtheorie für Gravitations- und elektrische Potenziale aufgestellt. 3.1 Der Integralsatz von Gauß Der Gaußsche Integralsatz für den Raum stellt einen Zusammenhang zwischen Oberflächenintegralen und räumlichen Bereichsintegralen her. Er ist am Beispiel strömender lüssigkeiten sehr leicht zu formulieren: Die lüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche eines räumlichen Gebietes herausströmt, ist gleich der lüssigkeitsmenge, die die Quellen in dem Gebiet hervorbringen. ür diesen plausiblen Sachverhalt wollen wir nun eine mathematische Begründung liefern. Wir betrachten einen beschränkten messbaren räumlichen Bereich V R 3,der als Normalbereich bezüglich der xy-ebene vorausgesetzt und von einer orientierbaren läche begrenzt wird (Abb. 3.1). Sei D xy die orthogonale Projektion von V auf die xy-ebene. Dann ist V := { (x, y, z) R 3 (x, y) D xy, z 1 (x, y) z z 2 (x, y), } z 1 und z 2 stetig differenzierbare unktionen auf D xy. Die läche sei so orientiert, dass das vektorielle Oberflächenelement dσ in das Äußere von V weist. Die Oberfläche von V lässt sich in drei Teilflächen 1, 2, 3 zerlegen (Abb. 3.1): 1 : Untere Begrenzungsfläche mit der Parameterdarstellung Φ 1 (y, x) := (x, y, z 1 (x, y)) T, (x, y) D xy, 120

4 3.1 Der Integralsatz von Gauß z V (x, y, z 2 (x, y)) 2 3 (x, y, z 1 (x, y)) 1 y x D xy (x, y) Abbildung 3.1: Räumlicher Bereich V mit geschlossener Oberfläche = und orthogonaler Projektion D xy von V auf die xy-ebene 2 : Obere Begrenzungsfläche mit der Parameterdarstellung Φ 2 (y, x) := (x, y, z 2 (x, y)) T, (x, y) D xy, 3 : Zylinderfläche, deren Mantellinien orthogonal zur xy-ebene sind. Die läche 3 kann zu einer geschlossenen Kurve entarten. Diese ist dann Randkurve zu den beiden lächen 1 und 2. Nun seien B R 3 ein Gebiet, V B wie oben beschrieben und das Vektorfeld v := (P, Q, R) T mit P, Q, R C 1 (B, R) gegeben. Dann gilt v dσ = (P, Q, R) dσ = (P,0,0) dσ + (0, Q,0) dσ + ür den dritten Summanden ergibt sich wegen = (0, 0, R) dσ = dσ + dσ + dσ. 1 (0, 0, R) 2 (0, 0, R) 3 (0, 0, R) (0, 0, R) dσ. Das letzte Integral auf der rechten Seite der Gleichung verschwindet, da (0, 0, R) T dσ ist. Mit den Parameterdarstellungen von 1 und 2 folgt für die anderen beiden Integrale (0, 0, R) dσ = (0, 0, R(Φ 1 (y, x))) (Φ 1,y Φ 1,x ) d(x, y) D xy + (0, 0, R(Φ 2 (x, y))) (Φ 2,x Φ 2,y ) d(x, y) D xy 121

5 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS = (0, 0, R(Φ 1 (y, x))) (z 1,x, z 1,y, 1) d(x, y) D xy + (0, 0, R(Φ 2 (x, y))) ( z 2,x z 2,y,1)d(x, y) D xy = D xy [R(x, y, z 2 (x, y)) R(x, y, z 1 (x, y))] d(x, y) = D xy z 2 (x,y) z 1 (x,y) R(x, y, z) z Durch eine analoge Rechnung erhalten wir (P,0,0) dσ P(x, y, z) = d(x, y, z), x (0, Q,0) dσ = V V Q(x, y, z) y d(x, y, z). Durch Addition der drei Gleichungen ergibt sich (P, Q, R) dσ = V ( P x + Q y + R z dz d(x, y) = ) d(x, y, z). V R(x, y, z) z d(x, y, z). Man kann sich leicht überlegen, dass eine entsprechende Beziehung auch für räumliche Bereiche V gilt, die sich aus endlich vielen Normalbereichen zusammensetzen. Es genügt auch vorauszusetzen, dass V von endlich vielen stückweise glatten, nach außen orientierten lächen i (i = 1,, m) begrenzt wird. Die Oberfläche = m von V heißt dann stückweise glatt. Wir fassen unsere Betrachtungen zusammen in i i=1 Satz 3.1 (Integralsatz von Gauß) Es seien B R 3 ein Gebiet, V B ein räumlicher Bereich, der von einer stückweise glatten, nach außen orientierten läche B begrenzt wird und v : B R 3 mit v := (P, Q, R) T, P, Q, R C 1 (B, R) gegeben. Dann gilt ( v dσ P = x + Q y + R ) d(x, y, z). (3.1) z V Bevor wir zur physikalischen Interpretation der Beziehung (3.1) kommen, wollen wir dem Ausdruck P x + Q y + R z eine Deutung verleihen. Wir beschränken uns dabei auf eine heuristische Betrachtungsweise. Das Oberflächenintegral 2. Art (vgl. Definition 2.30) lässt sich als luss von v durch die läche deuten. D. h. der Wert des Integrals v dσ gibt die lüssigkeitsmenge (Volumen) an, die pro Zeiteinheit durch die läche fließt (siehe Abb. 3.2). 122

6 3.1 Der Integralsatz von Gauß B v Q Abbildung 3.2: Quader Q in einer Strömung v Jetzt sei V der Quader Q und die geschlossene Oberfläche, also alle 6 Seitenflächen des Quaders Q. Deuten wir v als Geschwindigkeitsfeld einer stationären lüssigkeitsströmung, das den gedachten Quader durchströmt, dann strömt durch einen Teil der Oberfläche des Quaders lüssigkeit hinein und durch einen anderen wieder heraus. Wir interessieren uns für den Überschuss, d. h. herausfließendes Volumen minus hineinfließendes Volumen pro Zeiteinheit. Dieser Überschuss U (kurz luss genannt) wird durch U := v dσ gemessen ( ist die (geschlossene) Oberfläche des Quaders Q). U ist größer als Null, wenn im Inneren von Q stets ein Überschuss an ausströmender lüssigkeit vorhanden ist (Quelle); negativ wenn in Q lüssigkeit abgeführt wird (Senke). Sei Δτ = ΔxΔyΔz das Volumen des Quaders Q, so ergibt sich die mittlere Ergiebigkeit bzgl. Q aus der Beziehung E Q := 1 Δτ = Q v dσ (mittlere Ergiebigkeit). Wir führen nun einen Grenzübergang durch, bei dem sich Q auf einen Punkt (x 0, y 0, z 0 ) zusammenzieht. Definition 3.2 Divergenz, Quelle, Senke Es sei v : B R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf der kompakten und Jordan-messbaren Menge B R 3. Als Divergenz von v in (x 0, y 0, z 0 ) B, Symbol div v(x 0, y 0, z 0 ), bezeichnet man den Grenzwert 1 div v(x 0, y 0, z 0 ) := lim B 0 Δτ B v(x, y, z) dσ. (3.2) 123

7 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS Mit B wird der Durchmesser und mit Δτ das Volumen von B bezeichnet. Im all div v(x 0, y 0, z 0 ) > 0heißt(x 0, y 0, z 0 ) eine Quelle, für div v(x 0, y 0, z 0 ) < 0heißt (x 0, y 0, z 0 ) eine Senke und falls div v(x 0, y 0, z 0 ) = 0, so heißt (x 0, y 0, z 0 ) quellenfrei. Es stellt sich nun heraus, dass sich die Divergenz, also der Grenzwert (3.2), unter den gemachten Voraussetzungen leicht berechnen lässt. Satz 3.3 (Berechnung der Divergenz) Es sei v : B R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf B. Dann berechnet sich die Divergenz nach der ormel div v = P x + Q y + R z. (3.3) Beweis ür den Beweis der ormel (3.3) verwenden wir die ormel (3.1) und den Mittelwertsatz für Mehrfachintegrale. Damit ergibt sich E B = 1 (P x (x, y, z) + Q y (x, y, z) + R z (x, y, z)) d(x, y, z) Δτ B = 1 Δτ (P x(x, y, z ) + Q y (x, y, z ) + R z (x, y, z )) Δτ mit einem (x, y, z ) B. Die Volumina Δτ kürzen sich weg und die B werden auf den Punkt (x, y, z ) zusammengezogen. Dies liefert (3.3). Mit dem symbolischen Vektor ( := x, y, ) T, (3.4) z genannt Nabla-Operator, schreibt sich div v =, v v = v 1 x + v 2 y + v 3 z. Der Gaußsche Satz in Divergenzschreibweise lautet nun: v dσ = div vd(x, y, z). (3.5) B Beispiel 3.4 Wir verifizieren nun die Gaußsche Integralformel für die Einheitskugel B := { r := (x, y, z) R 3 r 2 1} und gegebenem Vektorfeld v( r) := r 2 r. Zunächst geben wir die Parameterdarstellung für die Kugeloberfläche an: [ Φ(ϕ, ϑ) = (cos ϕ cos ϑ,sinϕ cos ϑ,sinϑ) T, ϕ [0, 2π], ϑ π 2, π ]

8 3.1 Der Integralsatz von Gauß Der nach außen zeigende Normalenvektor ist Φ ϕ (ϕ, ϑ) Φ ϑ (ϕ, ϑ) = (cos ϕ cos 2 ϑ,sinϕ cos 2 ϑ,sinϑ cos ϑ) T = cos ϑφ(ϕ, ϑ) und das Vektorfeld auf der Kugeloberfläche r =1 v(φ(ϕ, ϑ)) = r 2 } {{ } r = (cos ϕ cos ϑ,sinϕ cos ϑ,sinϑ) T. 1. Die Berechnung des Oberflächenintegrals liefert B v( r) dσ = = π/2 π/2 0 2π (cos ϕ cos ϑ,sinϕ cos ϑ,sinϑ) T (cos ϕ cos 2 ϑ,sinϕ cos 2 ϑ,sinϑ cos ϑ) T dϕ dϑ π/2 2π π/2 0 cos ϑ dϕ dϑ = 4π. 2. Zur Berechnung mit Hilfe des Gaußschen Satzes (über das entsprechende Volumenintegral) benötigen wir zunächst div v( r) = div ( r 2 r) = 5(x 2 + y 2 + z 2 ) = 5 r 2. Die Auswertung des Volumenintegrals ergibt B div v( r) d(x, y, z) = 5 = 5 = 2π r 1 2π π/2 0 π/2 0 π/2 π/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) d(x, y, z) 1 r 2 r 2 cos ϑ dr dϑ dϕ cos ϑ dϑ = 4π. Die Greenschen ormeln Der Bereich V genüge wieder den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes 3.1 und die reellwertigen unktionen u und v seien aus C 2 (V, R). Der Ausdruck Δu := u xx + u yy + u zz (kurz: Δu = div grad u (u x, u y, u z )) heißt Laplacescher Differenzialausdruck. Dann gelten die beiden Greenschen ormeln (uδv + grad u,gradv ) d(x, y, z) = u v dσ, (3.6) n V V 125

9 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS V (uδv vδu) d(x, y, z) = V ( u v n v u ) dσ. (3.7) n In diesen ormeln ist n die äußere Einheitsnormale von V und u = grad u, n die n Richtungsableitung von u in Richtung n. Die erste ormel ergibt sich, indem wir den Gaußschen Satz auf = u grad v anwenden und die Divergenz von berechnen: div = div (u grad u) = uδv + grad u,gradv. Die zweite ormel ergibt sich, indem von der ersten ormel die entsprechende ormel für das Paar (v, u) subtrahiert wird. Die ormel (3.6) verallgemeinert die ormel für die partielle Integration aus der eindimensionalen Analysis. Im Spezialfall v(x, y, z) 1 gewinnen wir aus (3.7) die ormel V Δud(x, y, z) = V u dσ, (3.8) n die nichts anderes besagt, als dass Raumintegrale über Laplacesche Differenzialausdrücke Δu in lächenintegrale umgeformt werden können. Die Greenschen ormeln leisten gute Dienste für Eindeutigkeitsbeweise bei gewissen partiellen Differenzialgleichungen der mathematischen Physik. Obwohl wir uns bis jetzt noch nicht mit Differenzialgleichungen beschäftigt haben, wollen wir die beiden folgenden Randwertaufgaben betrachten, wobei V die Voraussetzungen, wie im Satz von Gauß formuliert, erfüllt. 1 Randwertaufgabe (Dirichlet-Problem): Gesucht ist eine C 2 -unktion u auf V R 3, die im Inneren von V die so genannte Laplacesche Differenzialgleichung Δu = 0 erfüllt und auf dem Rand von V mit einer vorgegebenen stetigen unktion h übereinstimmt: Δu(x, y, z) = 0, (x, y, z) V (Inneres von V) u(x, y, z) = h(x, y, z), (x, y, z) V (Rand von V). (3.9) 2 Randwertaufgabe (Neumann-Problem): Gesucht ist eine C 2 -unktion u auf V R 3 mit vorgegebener stetiger unktion g auf V mit Δu(x, y, z) = 0, (x, y, z) V (Inneres von V) u n (x, y, z) = g(x, y, z), (x, y, z) V (Rand von V), (3.10) wobei u die Ableitung nach der äußeren Normalen auf V bezeichnet. n Lösungen für diese Randwertaufgaben werden später noch berechnet. Hier soll demonstriert werden, wie wir mit Hilfe der Greenschen ormeln Eindeutigkeitsaussagen für die Lösung dieser Randwertaufgaben erhalten. Wir nehmen an, dass u 1 und u 2 zwei Lösungen der beiden Randwertaufgaben (3.9) und (3.10) sind. Mit u = v = u 1 u 2 folgt aus der ersten Greenschen ormel (3.6) 126

10 3.2 Der Integralsatz von Stokes wegen Δv = 0 grad u 2 d(x, y, z) = V V u u dσ = 0. n Dass das Oberflächenintegral verschwindet, liegt daran, dass u auf dem Rand von V verschwindet, denn beide Lösungen u 1 und u 2 besitzen die Eigenschaft u 1 (x, y, z) = u 2 (x, y, z) = h(x, y, z), (x, y, z) V. Somit verschwindet grad u auf V und es ist wegen der Stetigkeit von u in V die unktion u konstant auf V. ür die erste Randwertaufgabe verschwindet u auf V (wegen u = u 1 u 2 = 0 auf dem Rand) und somit ist u(x, y, z) = 0 für alle (x, y, z) V. ür die zweite Randwertaufgabe lässt sich lediglich u 1 (x, y, z) = u 2 (x, y, z) + c, c = const zeigen, was bedeutet, dass eine Lösung dieser Randwertaufgabe nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt ist. Jedenfalls ist gezeigt: Die beiden Randwertprobleme haben höchstens eine Lösung u. 3.2 Der Integralsatz von Stokes Wir leiten zunächst aus dem Gaußschen Satz den Satz von Green 1 her. Er ist die ebene Variante des Satzes von Gauß und stellt einen Zusammenhang zwischen einem Kurvenintegral über eine geschlossene C 1 -Kurve in der Ebene R 2 und dem Doppelintegral über den von eingeschlossenen Bereich her. Dieses Resultat wiederum kann ausgenutzt werden, um den Stokesschen 2 Satz zu beweisen, der dem Greenschen Satz sehr ähnlich ist. Er stellt nämlich eine Beziehung zwischen dem Kurvenintegral eines Vektorfeldes über eine (stückweise) C 1 -Kurve im R 3 und dem Integral über eine läche, die von berandet wird, her. Die Idee, aus dem Gaußschen Integralsatz im R 3 den Greenschen Satz zu folgern, besteht darin, das Vektorfeld v um eine Koordinate zu reduzieren. Es wird sich dann herausstellen, dass der Greensche Satz nichts anderes als der Gaußsche Satz für die Ebene ist. Es sei D ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet im R 2, das von einer geschlossenen, stückweise glatten Kurve :[a, b] R 2 berandet wird. D wird von der Kurve positiv umlaufen, d. h., dass ein Beobachter, der auf der Kurve läuft, das Gebiet D stets zu seiner Linken hat (siehe Abb. 3.3). Auf D definieren wir ein stetig differenzierbares Vektorfeld v = (v 1, v 2 ) T : D R 2.DerBereich D wird in eine Scheibe der Dicke 1 verwandelt (siehe Abb. 3.3): { } B := D [0, 1] := (x, y, z) R 3 (x, y) D, z [0, 1]. Um den Gaußschen Satz anwenden zu können, erweitern wir v um die Komponente v 3 = 0: ṽ := (v 1, v 2,0) T : B R 3. Nun können wir den Gaußschen Integralsatz anwenden. Die lächenintegrale über dem Boden und dem Deckel heben sich auf, da 1 George Green ( ). 2 Georg Gabriel Stokes ( ), er leistete bedeutende Beiträge zur Hydrodynamik. In diesem Wissensgebiet fand er auch seinen Integralsatz, mit dem er ganz konkrete physikalische Vorstellungen verband. 127

11 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS D n B = D Abbildung 3.3: Zu den Bereichen D und B. Boden und Deckel von B haben die orm der Scheibe D die zugehörigen Normalenvektoren entgegengesetzt gerichtet sind. Die Mantelfläche der Scheibe B hat die Parameterdarstellung 1 (t) a t b Φ(t, z) := 2 (t), 0 z 1 z und es gilt Φ t Φ z = n(t, z) = ( 2 (t), 1 (t), 0) T = n(t). Somit ist ṽ dσ = ṽ dσ = ṽ ( (t), z) n(t) d(t, z) B 1 b = [v 1 ( (t)) 2 (t) v 2 ( (t)) 1 (t)] dt dz 0 a b = (v 1 2 v 2 1 ) dt = v 1 dy v 2 dx a mit dx = 1 dt und dy = 2 dt. Andererseits gilt div ṽdτ = (v 1,x + v 2,y + 0) d(x, y, z) B B = 1 (v 1,x + v 2,y ) dz d(x, y) = D 0 D (v 1,x + v 2,y ) d(x, y). Nach dem Gaußschen Satz ergibt sich somit ṽ dσ = v 1 dy v 2 dx (Gauß) = div ṽdτ = (v 1,x + v 2,y ) d(x, y). B B Wir setzen noch v 2 := P und v 1 := Q und erhalten den Gaußschen Integralsatz für die Ebene. D 128

12 3.2 Der Integralsatz von Stokes Satz 3.5 (Green) Es seien P und Q stetig differenzierbare unktionen, die auf D R 2 definiert sind, D ein einfach zusammenhängendes Gebiet, das durch eine stückweise glatte Kurve berandet wird und D positiv umläuft. Dann gilt = D Pdx+ Qdy = D (Q x P y ) d(x, y). (3.11) Setzen wir in der Gleichung (3.11) P(x, y) := y und Q(x, y) := x, so erhalten wir eine ormel zur Berechnung des Inhaltes von D. Dazu sei wieder D ein Normalbereich bezüglich der x-achse und der y-achse und D sei positiv orientierter Rand. Dann wird der Inhalt von D durch D = 1 2 D xdy ydx (3.12) gegeben. Es sei hier angemerkt, dass die beiden ormeln (3.11) und (3.12) bereits unter schwächeren Annahmen über D gelten. Es genügt D als beschränkt und D = als eine rektifizierbare Jordan-Kurve vorauszusetzen. Dann wird die Jordan-Messbarkeit von D bereits garantiert. Nun werden wir die dreidimensionale Variante des Greenschen Satzes beweisen. Zur besseren Handhabung der ormel führen wir (formal) den Begriff der Rotation eines Vektorfeldes ein. Definition 3.6 Rotation eines Vektorfeldes ür ein partiell differenzierbares Vektorfeld v = (v 1, v 2, v 3 ) T : D R 3, D R 3 offen, definiert man die Rotation durch ( v3 rot v(x 0, y 0, z 0 ) = y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v ) T 1. y (x0,y 0,z 0 ) i j k ormale Schreibweise: rot v = v = x y z. v 1 v 2 v 3 Der Nabla-Operator wurde bereits in (3.4) erklärt. Die Operation rot ist eine lineare Abbildung. Es gelten nämlich für differenzierbare Vektorfelder v, v 1 und v 2 und λ R die folgenden Rechenregeln rot ( v 1 + v 2 ) = rot v 1 + rot v 2, rot(λ v) = λ rot v. Eine physikalische Interpretation des Begriffes der Rotation eines Vektorfeldes erfolgt nach dem 129

13 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS v K Φ z n (t) u y x δ = (Φ )(t) Abbildung 3.4: Zum Integralsatz von Stokes und der Orientierung der läche Satz 3.7 (Stokesscher Integralsatz) Es mögen folgende Voraussetzungen gelten: (i) (ii) (iii) Φ sei eine Parameterdarstellung der läche mit Parameterbereich K und K ein Normalbereich bzgl. beider Achsen. Außerdem ist Φ eine C 2 -unktion auf einer K enthaltenden offenen Menge; der positiv orientierte Rand K von K sei durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve :[a, b] R 2 parametrisiert (siehe Abb. 3.4); das Vektorfeld v = (P, Q, R) sei stetig differenzierbar auf einer offenen Menge, die Φ(K) enthält. Dann ist rot v dσ = v ds. (3.13) Beweis Die Komponentenfunktionen von Φ seien X, Y und Z, die von bezeichnen wir mit 1 und 2. Wir betrachten das Kurvenintegral Pdx. Mit der Abkürzung p(u, v) := P(X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) und der Ableitung folgt dx( (t)) dt = X( (t)) u 1 (t) + X( (t)) v 2 (t) Pdx= b a = p ( (t)) dx( (t)) dt dt = p X X du + p u v dv. b a [ ] X( (t)) X( (t)) p ( (t)) 1 (t) + 2 (t) dt u v (3.14) 130

14 3.2 Der Integralsatz von Stokes Nach dem Greenschen Integralsatz (Satz 3.5) ist p X X du + p u v dv = K [ ( p X ) ( p X )] d(u, v). (3.15) u v v u Die Auswertung des Integranden im zweiten Integral liefert (beachte X C 2 ): ( u p X v ) ( v p X u ) = p X u v + p 2 X u v p v = p X u v p X v u. X u p 2 X v u Die Auswertung der Ausdrücke p p u und v nach der Kettenregel ergibt die Beziehungen p u = P X x u + P Y y u + P Z z u, p v = P X x v + P Y y v + P Z z v. Damit folgt p X u v p X v u = P [ Y X y u v Y v = P (X, Y) y (u, v) + P (Z, X) z (u, v). (X, Y) Zusammengefasst ergibt dies mit (u, v) := ( u p X v ) ( v p X u ] X + P [ Z X u z u v Z v X u Y u X v Y v usw. ) = P (X, Y) y (u, v) + P (Z, X) z (u, v) und mit den Gleichungen (3.14) und (3.15) die Beziehung Pdx= K ( P (X, Y) y (u, v) + P z Eine analoge Rechnung führt auf Qdy = K Rdz= K ( Q (Y, Z) z (u, v) + Q x ( R (Z, X) x (u, v) + R y ) (Z, X) d(u, v). (u, v) ) (X, Y) d(u, v), (u, v) ) (Y, Z) d(u, v). (u, v) Des Weiteren verifiziert man nun die Beziehung Φ u Φ v = ( (Y, Z) (u, v), (Z, X) (u, v) ) (X, Y) T,. (u, v) ] X u 131

15 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS Addiert man die letzten drei Integrale, dann ist [ (Y, Z) Pdx+ Qdy+ Rdz= (R y Q z ) (u, v) + (P (Z, X) z R x ) (u, v) K ] (X, Y) + (Q x P y ) d(u, v) (u, v) = rot v, Φ u Φ v d(u, v) = K rot v dσ. Bemerkung Die im Stokesschen Satz verwendete läche kann auch Löcher haben. Darunter verstehen wir beispielsweise die in Abb. 3.5 angegebene läche. Bei geeigneter Orientierung der Löcher und des Randes behält der Stokessche Satz seine Gültigkeit. Auch hier ist zu beachten, dass bei Umlaufung der Ränder der läche die läche stets zur Linken liegt und die Normale in die in der Abb. 3.5 dargestellten Richtung zeigt. 2. Aus dem Stokesschen Satz im R 3 kann durch Nullsetzen der dritten Koordinate, also v = (P, Q, 0), der Greensche Satz gewonnen werden. Wir haben lediglich zu beachten, dass die verbleibenden unktionen P und Q nur noch von x und y und nicht von z abhängen. Im Ergebnis entsteht wieder (3.11). ist jetzt ein einfach zusammenhängendes Gebiet D R 2 mit Randkurve D und D liegt stets links von D bei der Durchlaufung. Der Leser möge die leichte Rechnung selbst durchführen. Somit haben wir den Sachverhalt gezeigt: In der Ebene sind die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes identisch. 3. Die Bedingungen für die Wegunabhängigkeit der jeweiligen Kurvenintegrale für n = 2bzw. n = 3 (Integrabilitätsbedingung: siehe (2.10)) ergeben sich nun leicht mittels der Sätze von Green und Stokes: Mittels Green lautet die Bedingung nun in angepasster orm P y = Q x und mittels Gauß R y = Q z, P z = R x, Q x = P y. Die nachfolgende Überlegung zeigt, dass für eine umfangreiche Auswahl von lächen zur Verfügung stehen, entscheidend ist, dass sie alle die gleiche (geschlossene) Randkurve besitzen. Dazu sei v : V R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf dem kompakten Bereich V R 3 mit stückweise glattem Rand V. Dann gilt der Gaußsche Satz (ormel (3.5) in Divergenzschreibweise). Wir denken uns eine geschlossene läche (= V) in zwei sich nicht schneidende lächen 1 und 2 mit gemeinsamer Randkurve so zerlegt, dass bzgl. der lächen 1 und 2 positiv orientiert ist (d. h. 1 und 2 haben nach außen gerichtet Normalenvektoren, siehe Abb. 3.6). Wegen div rot v = 0 gilt nach Gauß: rot v dσ = V div rot v d(x, y, z) = 0. Andererseits ist rot v dσ = rot v dσ rot v dσ = 0,

16 3.2 Der Integralsatz von Stokes v z K u Φ n n n x y Abbildung 3.5: Der Rand von K ist so orientiert, dass beim Umlaufen des Randes die Normale n in aufrechte Richtung zeigt und die läche zur Linken liegt 1 = 1 ( 2 ) 2 Abbildung 3.6: Zerlegung einer geschlossenen läche durch in zwei nach außen orientierte lächen 1 und 2 ( 2 also nach innen orientiert) also: rot v dσ = rot v dσ. (3.16) 1 2 Da die geschlossene läche beliebig gewählt werden kann, besagt (3.16), dass die Oberflächenintegrale über alle orientierbaren lächen mit derselben Randkurve denselben Wert haben. Mit anderen Worten: Die Kenntnis der unktionswerte des Vektorfeldes v allein auf der Kurve genügt, um den Wert des Oberflächenintegrals rot v dσ zu berechnen. Beispiel 3.9 Berechne a) das Kurvenintegral v ds bei gegebenem Vektorfeld v : R 3 R 3, v(x, y, z) := (y(1 + z), z(2 + x), x( 1 + y)) T und parametrisierter Kurve 133

17 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS ( ) a 2 :[0, 2π] R 3, (t) := cos t, a T 2 cos t, a sin t und b) mit Hilfe des Stokesschen Satzes. Zu a): Wir berechnen ( ( a v( (t)), (t) = cos t (1 + a sin t), a sin t 2 + a ) cos t, 2 2 cos t ( 1 + a 2 a T ( cos t)), a sin t, a ) T sin t, a cos t = a2 4 sin 2t + a3 sin 2 t cos t a2 2 ( 2sin 2 + cos 2 t ) + a3 2 cos3 t. Nach Definition des Kurvenintegrals ergibt sich somit v ds = 2π 0 = 2π 0 v( (t)), (t) ds = ( ( a2 4 sin 2t + a3 cos t sin 2 t + 1 ) 2 cos2 t ) a2 (2 sin 2 t + cos 2 t) dt 2 = a2 2π (2 sin 2 t + cos 2 t)dt = 3πa Zu b) Nach dem Stokesschen Satz gilt v ds = rot v dσ. Wir berechnen i j k rot v = / x / y / z = ( 2, 1, 1) T. (y(1 + z) z(2 + x) x( 1 + y) Als Nächstes müssen wir eine läche auswählen, die ([0, 2π]) als Randkurve besitzt. Prinzipiell haben wir freie Auswahl (im Sinne der orderungen, die an eine läche zu stellen sind). Nahe liegend ist die Ellipsenscheibe, wie sie in Abb. 3.7 zu sehen ist. Ihre Parameterdarstellung lautet Φ(r, ϕ) := ( a 2 r cos t, a 2 r cos t, arsin t) T, r [0, 1], ϕ [0, 2π]. 134

18 3.2 Der Integralsatz von Stokes Zur Berechnung des lächenintegrals wird außerdem noch Φ r Φ ϕ benötigt. Der nach außen zeigende Normalenvektor lautet: (Φ r Φ ϕ )(r, ϕ) = a2 2 r (1, 1, 0) T. Nun lässt sich das lächenintegral auswerten (für das Skalarprodukt werden jetzt eckige Klammern benutzt): rot v dσ = = 2π π rot v(φ(r, ϕ)), Φ r Φ ϕ dr dϕ ) ( 2 a2 r a2 r dr dϕ = 3πa Es folgen einige physikalische Anwendungen. Wir betrachten ein stetig differenzierbares Vektorfeld v : B R 3 auf der offenen Menge B R 3 (vorstellbar als ein Geschwindigkeitsfeld einer strömenden lüssigkeit). In B ist eine stückweise glatte, orientierte und geschlossene Jordan-Kurve Γ := ([a, b]) gegeben. Unter der Zirkulation von v längs der Kurve Γ verstehen wir das Kurvenintegral Z := Γ v ds. (3.17) Der Begriff wird klar, wenn wir uns das Integral (3.17) durch die dazugehörigen Riemannschen Summen approximiert denken (siehe Abb. 3.8): n v(x i, y i, z i ) Δs i. i=1 z x y = x (0,0,a) 01 (t) n = a2 r (i j) S y 01 01( a a,, (0,0, a) ( Abbildung 3.7: Zur Parameterdarstellung der läche Φ(r, ϕ) := 2 a, ) ) T a r cos t, ar sin t 2 135

19 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS B s v Γ Abbildung 3.8: Zur Zirkulation Jeder Summand ist eine Geschwindigkeitskomponente in der Durchlaufrichtung der Kurve. Die Summierung ergibt ein Maß, wie stark die Kurve umströmt wird, d. h. wie stark die lüssigkeit längs der Kurve zirkuliert. In dieser Strömung mit dem Geschwindigkeitsfeld v : B R 3 betrachten wir ein einfaches lächenstück B (d. h. stückweise glatt berandet und einfach zusammenhängend) und sei der lächeninhalt des lächenstückes. Unter der mittleren Wirbelstärke von v bezüglich verstehen wir den Ausdruck 1 v ds. (3.18) Ist v : B R 3 stetig differenzierbar und x 0 B dann heißt W n (x 0 ) := lim d() 0 x 0 1 v dσ (3.19) die Wirbelstärke von v in x 0.Mitd() wird der Durchmesser der ebenen einfachen lächenstücke bezeichnet, die alle die gleiche lächennormale n haben. Ohne Beweis geben wir an, dass sich der Grenzwert (3.19) aus der Beziehung W n (x 0 ) = n,rot v(x 0 ) (3.20) errechnet. Auf die Herleitung verzichten wir. Vielmehr wollen wir damit die folgende Interpretation geben. Der Ausdruck rot v(x 0 ) gibt die Richtung der Rotationsachse für lokale Wirbel um x 0 an. W n (x 0 ) ist am größten, wenn n rot v ist, d. h. die lokalen Zirkulationen um x 0 verlaufen dann um kleine ebene lächenstücke herum, die rechtwinklig zu rot v(x 0 ) liegen. Mit Hilfe der Begriffe luss eines Vektorfeldes v durch die läche und der Zirkulation eines Vektorfeldes v längs des geschlossenen Jordan-Weges lautet der Satz von Stokes in dieser Sprechweise: Die Zirkulation des eldes v längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem luss des eldes rot v durch eine in die Kurve (beliebig) eingespannte läche. Wir können es auch noch so formulieren: Die Umströmung einer läche (Zirkulation) berechnet sich aus der Summation über die Wirbel in den Punkten der läche. Ist v ein Kraftfeld, so misst die Zirkulation die bei der Verschiebung eines Massenpunktes längs des Weges verrichtete Arbeit. Ist das eld rotationsfrei (d. h. rot v = 0), so ergibt sich für diese Arbeit der Wert Null. Die Bedingung rot v = 0 ist lediglich eine andere Schreibweise der Integrabilitätsbedingung (2.10) für n = 3. Danach 136

20 3.2 Der Integralsatz von Stokes gibt es ein Gradientenfeld ϕ C 1 (B, R) mit v = grad ϕ. Mitϕ C 2 (B, R) gilt stets rot grad ϕ(x, y, z) = 0. Im all rot v = 0 folgt für jede beliebige stückweise glatte läche sofort rot v dσ = 0. Nach dem Integralsatz von Stokes folgt weiter v ds = 0 mit als Randkurve von. Da eine beliebige läche ist, heißt dies für das Kurvenintegral v ds, dass es wegunabhängig ist. Physikalisch bedeutet dies, dass der Wirbelfluss des eldes v durch die läche Null ist bzw. die Zirkulation des Vektorfeldes längs der geschlossenen Kurve verschwindet. Der Stokessche Satz findet vielfach Anwendung in der eldtheorie. Dies wird anhand der Maxwellschen Gleichungen demonstriert. Beispiel 3.10 Die bekannten Maxwellschen Gleichungen 3 der Elektrodynamik heißen in integraler Schreibweise E ds = ( ) B dσ, B = B, t H ds = ( ( D + J) dσ, ) D = D. t Darin bedeuten E die elektrische eldstärke, H die magnetische eldstärke, B die magnetische Induktion, D die dielektrische Verschiebung, J die elektrische Stromdichte. Wir zeigen (ohne auf die elektrischen Größen selbst einzugehen), wie diese Gleichungen in ein differenzielles Gesetz überführt werden können. Mit dem Stokesschen Satz gelten die Beziehungen E ds = rot E dσ = B dσ und H ds = rot H dσ = ( D + J) dσ für alle lächen. Daraus folgt (rot E + B) dσ = 0 und [ rot H ( D + J) ] dσ = 0. Da diese Beziehung für alle lächen gilt, muss der Integrand verschwinden. Diese Überlegung liefert uns das differenzielle Induktionsgesetz rot E + B = 0 bzw. das differenzielle Durchflutungsgesetz rot H D J = 0. 3 James Clerk Maxwell ( ), englischer Mathematiker und Physiker; wurde berühmt durch seine mathematische ormulierung der elektromagnetischen eldbewegung, wobei er den von M. araday eingeführten eldbegriff als Basis seiner mathematischen Berechnungen nahm. Damit bewies er den Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen eldern und führte den Begriff Elektromagnetismus ein. 137

21 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS 3.3 Nabla-Kalkül, Quellen- und Wirbelfreiheit In den beiden voranstehenden Abschnitten haben wir uns mit der Integration von Vektorfeldern entlang Kurven bzw. lächen beschäftigt. Bei der Herleitung der Integralsätze sind die Differenzialoperatoren div und rot aufgetreten. Diese Differenzialoperatoren lassen sich nebst grad mit Hilfe eines einzigen Operators darstellen. Der symbolische Vektor := i x + j y + k z (3.21) wird Nabla-Operator 4 genannt. Man rechnet mit ihm formal wie mit jedem Vektor des R 3. Mit dieser Definition kommt für stetig differenzierbare Vektorfelder := ( 1, 2, 3 ) T bzw. Skalarfelder ϕ folgendes heraus: grad ϕ = ϕ = i ϕ x + j ϕ y + k ϕ z, div = = 1 x + 2 y + 3 z, (3.22) i j k rot = = / x / y / z Da stets zweifelsfrei zu erkennen ist, wie die Anwendung des Nabla-Operators erfolgt (auf ein Vektorfeld bzw. Skalarfeld), wird der Pfeil über dem Vektorfeld weggelassen. Man rechnet ohne Mühe nach, dass der Nabla-Operator bzgl. seiner Operationen linear ist (λ, μ R, ϕ, ψ Skalarfelder,, G Vektorfelder): (λϕ 1 + μϕ 2 ) = λ ϕ 1 + μ ϕ 2, (λ 1 + μ 2 ) = λ 1 + μ 2, (λ 1 + μ 2 ) = λ 1 + μ 2. ür ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld ϕ ergibt sich ( ϕ) = ( ) ϕ = 2 ϕ = ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz. Dieser Ausdruck lässt sich mit dem Laplace-Operator 5 Δ := 2 in der orm Δ ϕ := div grad ϕ = 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 (3.23) schreiben. Er kann auch auf Vektorfelder = ( 1, 2, 3 ) T angewandt werden: Δ = (Δ 1, Δ 2, Δ 3 ) T. 4 Das Zeichen verdankt seinen Namen einem hebräischen Saiteninstrument, das etwa die orm dieses Zeichens hatte. 5 Pierre Simon Marquis de Laplace ( ), französischer Astronom, Physiker und Mathematiker. Er zählt zu den größten Astronomen aller Zeiten; in der Mathematik begründete er die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 138

22 3.3 Nabla-Kalkül, Quellen- und Wirbelfreiheit Es lassen sich eine Reihe von Beziehungen mit grad, div und rot aufstellen, die vom Leser leicht nachgerechnet werden können. (i) grad(ϕ 1 ϕ 2 ) = ϕ 1 grad ϕ 2 + ϕ 2 grad ϕ 1, (ii) div(ϕ) = ϕ div + grad ϕ, (iii) div grad ϕ = Δϕ (kurz: div grad = Δ), (iv) graddiv = Δ + rot rot, (v) divrot = 0, (vi) rot grad ϕ = 0. (3.24) Es sei wenigstens erwähnt, dass der Gradient, die Divergenz und die Rotation eines eldes Bildungen sind, die unabhängig vom benutzten Koordinationssystem gelten. Man sagt, dass diese Größen invariant gegenüber Koordinatentransformationen seien. Wir wollen nun die Integralsätze von Gauß und Stokes unter Benutzung der Differenzialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation erneut betrachten. Wir hatten gesagt, dass ein Vektorfeld quellenfrei heißt, falls div = 0 ist. Gilt = rot G, so nennt man das eld G ein Vektorpotenzial von und heißt Wirbelfeld bzgl. G. Man kann nun fragen, unter welchen Voraussetzungen ein gegebenes Vektorfeld ein Vektorpotenzial G besitzt. Auskunft darüber gibt Satz 3.11 (Existenz eines Vektorpotenzials) Es sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem sternförmigen Gebiet D R n. hat genau dann ein Vektorpotenzial G, wenndiv = 0 gilt. In Kurzform kann man diesen Satz wie folgt formulieren: div = 0 G : = rot G. (3.25) In Worten: Jedes quellenfreie Vektorfeld ist ein Wirbelfeld. Die Umkehrung gilt auch. Wir verzichten auf diesen Beweis. Wir fragen jedoch, wie viele Vektorpotenziale es zu einem Vektorfeld gibt. Zwei Vektorpotenziale von unterscheiden sich nur durch ein Gradientenfeld. Dies sieht man so: Es sei G ein gegebenes Vektorpotenzial von. Dann ist auch G + grad ϕ ein Vektorpotenzial von, denn es gilt rot grad ϕ = 0. Umgekehrt sei jetzt G 0 ein beliebiges Vektorpotenzial von. Dann gilt mit einem vorgegebenen Vektorpotenzial G die Beziehung rot (G 0 G) = rot G 0 rot G = 0. Somit existiert ein Skalarfeld ϕ mit G 0 G = grad ϕ, was nichts anderes als G 0 = G + grad ϕ bedeutet. Damit haben wir eine gewisse Eindeutigkeitsaussage bewiesen: Das Vektorpotenzial eines quellenfreien eldes ist bis auf ein additives Gradientenfeld eindeutig bestimmt. Einen entsprechenden Sachverhalt haben wir bei Kurvenintegralen kennen gelernt, kurz: rot = 0 ϕ : grad ϕ =. 139

23 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS Nennen wir ein Vektorfeld mit rot = 0 wirbelfrei, dann besitzt jedes wirbelfreie Vektorfeld ein Gradientenfeld (auch Potenzialfeld). Die Umkehrung dieses Sachverhaltes ist ebenfalls richtig. Das Potenzialfeld ϕ ergibt sich aus der ormel (2.8), wenn man sie in der orm ϕ(x) = x x 0 ds + ϕ(x 0 ) schreibt. Hier ist x 0 beliebig, aber fest in D gewählt, die Integration kann wegen der Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals auf einer beliebigen, stückweise glatten Kurve, die x 0 mit x D verbindet, ausgeführt werden. Unsere nächste Betrachtung führt uns auf partielle Differenzialgleichungen. Die Aufgabe besteht darin, ein gegebenes Vektorfeld : D R 3 in einen wirbelfreien Anteil G 1 und einen quellenfreien Anteil G 2 zu zerlegen: = G 1 + G 2. Ohne näher darauf einzugehen, soll es sich bei D um einen gutartigen Bereich handeln, so dass wir G 1 = grad ϕ und G 2 = rot H schreiben können. Die gestellte Aufgabe löst nun ein von Helmholtz 6 aufgestellter Satz 3.12 (Helmholtzscher Zerlegungssatz) Jedes stetig differenzierbare Vektorfeld lässt sich auf einem kompakten und gutartigen Bereich D in die Summe aus einem wirbelfreien und einem quellenfreien Vektorfeld zerlegen: = grad ϕ + rot H, (3.26) wobei ϕ ein Skalarfeld und H ein Vektorfeld auf D sind. Beweis alls es eine solche Darstellung (3.26) gibt, dann führt die Divergenzbildung in (3.26) zu div = Δϕ, dadivroth = 0 ist. Die Gleichung Δ ϕ = div (3.27) stellt für ein gegebenes Vektorfeld eine partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung dar, für die im Beispiel 5.67 eine spezielle Lösung hergeleitet wird. Um die Darstellungsformel (3.26) zu zeigen, starten wir mit einer Lösung ϕ der Gleichung (3.27). Die Beziehung (3.27) lässt sich wegen Δ = div grad umformen: div Δϕ = div ( grad ϕ) = 0. Nach Satz 3.11 gibt es ein stetig differenzierbares Vektorpotenzial H mit grad ϕ = rot H, was unseren Satz beweist. 6 Hermann von Helmholtz ( ), deutscher Physiker und Physiologe. Die Physik verdankt ihm die erste exakte Begründung des von R. Mayer entdeckten Gesetzes von der Erhaltung der Energie sowie viele andere Erkenntnisse, vor allem auf den Gebieten der Mechanik und der Erforschung elektrischer Vorgänge. Am bedeutendsten jedoch war die Erfindung des Augenspiegels. Das genial erdachte Instrument schuf die Voraussetzung zur Entwicklung der modernen Augenheilkunde. 140

24 3.3 Nabla-Kalkül, Quellen- und Wirbelfreiheit Anwendungen dieses Satzes finden sich in der Strömungsmechanik sowie in der Elektrodynamik und dort insbesondere im Zusammenhang mit den Maxwellschen Gleichungen. Beispiel 3.13: Maxwellsche Gleichungen Die Vektoroperationen div und rot erlauben eine elegante ormulierung der Maxwellschen Gleichungen für das elektrische eld E und das magnetische eld H im Vakuum bei Anwesenheit elektrischer Ladungen und Ströme: div E = ρ, rot E = H, div H = 0, rot H = J + E (3.28) (ρ = elektrische Ladungsdichte, J = elektrischer Stromdichtevektor). Anschaulich beinhalten diese Gleichungen Aussagen über die Quellen und Wirbel des elektrischen und magnetischen eldes. Beispielsweise ist der in rot E = H auftretende Term H verantwortlich für die Existenz elektromagnetischer Wellen (Licht, Radiowellen). Gegeben sei nun die C 1 -unktion ρ : D R auf dem Gebiet D R 3.Dann existiert stets ein C 2 -eld E, dass der Gleichung div E = ρ auf D genügt. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung besitzt die orm E = E spez + rot A, wobei E spez eine spezielle Lösung und A ein beliebiges C 3 -Vektorfeld auf D ist. Das C 1 -eld J sei ebenfalls auf dem Gebiet D R 3 gegeben. Es existiert genau dann ein C 2 -Vektorfeld H mit rot H = J auf D, falls die Bedingung div J = 0aufD erfüllt ist. Die allgemeine Lösung besitzt die orm H = H spez + grad u, wobei H spez eine spezielle Lösung und u: D R eine beliebige C 3 -unktion ist. Aus der Vorgabe der Quellen für E (div E = ρ) und der Vorgabe der Wirbel für H (rot H = J) wollen wir jetzt eine Lösung des vereinfachten Systems (3.28) aufbauen: div E = ρ, rot H = J. (3.29) Es sei D R 3 ein Gebiet und ρ sowie J vom Typ C 1 auf R 3 und außerhalb einer gewissen Kugel gleich Null. erner sei div J = 0aufR 3. Wir führen das so genannte Volumenpotenzial ρ( ξ) dξ u( x) = 4π x ξ R 3 141

25 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS (siehe Beispiel 5.67) und das Vektorpotenzial C( x) = R 3 J( ξ) dξ 4π x ξ ein. erner setzen wir E spez := grad u, H spez := rot C. Dann gilt (mit den ormeln aus (3.24)) div E spez = ρ, rot E spez = 0 und div H spez = 0, rot H spez = J auf R 3. Somitlöstdaseld v := E spez + H spez die beiden Gleichungen div v = ρ, rot v = J auf R 3. Unter bestimmten Randbedingungen, auf die hier nicht weiter eingegangen werden soll, gibt es sogar eine einzige Lösung v vom Typ C 2 auf D. Physikalisch bedeutet das: Ein Vektorfeld v (z. B. ein Geschwindigkeitsfeld) ist durch die Vorgabe seiner Quellen und Wirbel und durch Randwerte (z. B. v n = 0auf D, n Normaleneinheitsvektor auf dem Rand) eindeutig bestimmt. Z U S A M M E N A S S U N G Die Integralsätze der Vektoranalysis stellen ein sehr gutes Beispiel dafür dar, wie die Physik durch die Entdeckung einer Menge elektrischer und magnetischer Phänomene Einfluss auf die Mathematik genommen hat. ür die gefundenen physikalischen Gesetzmäßigkeiten wurde eine mathematische Beschreibung gesucht erscheint eine für die Potenzialtheorie grundlegende Arbeit von C.. Gauß. Hier und auch bei anderen orschern finden sich viele der von G. Green ( ) gefundenen Resultate wieder. Seine wichtigste Arbeit erschien 1828 und enthält den Begriff der Potenzialfunktion, die später so genannte Greensche unktion und die Greenschen ormeln (siehe (3.6) und (3.7)). Die wesentlichen Ergebnisse von Green und Gauß gehören in das Gebiet der partiellen Differenzialgleichungen, die in diesem Band in bescheidenem Umfang noch behandelt werden. Der Integralsatz von Gauß verwandelt ein Oberflächenintegral über eine geschlossene Oberfläche in ein Volumenintegral, dessen Integrationsbereich das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen ist. Er stellt ein wesentliches Hilfsmittel für die Potenzialtheorie dar. Die Beweisidee des Gaußschen Satzes besteht darin, eine Ableitung nach einer entsprechenden Variablen zu integrieren. Dies ist nicht sehr tief liegend, jedoch bestand damals die eigentliche Schwierigkeit darin, das notwendige Instrumentarium für eine solide ormulierung und einen strengen Beweis bereitzustellen. Dafür musste der Begriff läche und ihre Orientierung mathematisch gefasst werden. 142

26 Zusammenfassung Der Satz von Stokes verwandelt ein lächenintegral in ein Wegintegral über die Berandung einer dazugehörigen läche. Mit dem Stokesschen Satz ist der Begriff der Rotation eines Vektorfeldes eng verbunden. Damit waren die Werkzeuge zur Behandlung von Strömungen von lüssigkeiten und Gasen und auch zur Beschreibung der Wechselwirkung zwischen veränderlichen elektrischen und magnetischen eldern bereitgestellt. James Clark Maxwell ( , britischer Physiker) formulierte um 1860 die Maxwellschen Gleichungen und entwickelte auf dieser Grundlage eine Theorie des elektromagnetischen eldes. Im Jahr 1887 gelang Heinrich Hertz 7 durch seine Entdeckung der elektromagnetischen Wellen, die Maxwellsche Theorie zu rechtfertigen. Will man den abstrakten Kern der bisher behandelten Integralsätze herausschälen, dann muss man den hierfür notwendigen algebraischen und analytischen Apparat aufbauen. Dazu gehört ein Abriss der Theorie der Differenzialformen und ihrer Integrale, der hier jedoch nicht durchgeführt wird. Diese Theorie gestattet es, die bewiesenen Integralsätze auf den R n zu übertragen und sie elegant zu vereinheitlichen. In der Tat zeigt diese ormulierung, dass die genannten Sätze dieselbe mathematische Grundlage haben. Höhepunkt dieser Theorie ist dann der allgemeine Stokessche Satz, der formelmäßig die folgende Aussage macht: ω = dω. Es ist nicht möglich, die in dem Stokesschen Satz vorkommenden Symbole exakt zu erklären. Geht man mit den Begriffen etwas locker um, dann können wir den Satz wie folgt verstehen: Unter stellen wir uns eine beschränkte Kurve, eine beschränkte m-dimensionale läche (m = 2, 3, ) oder den Abschluss einer beschränkten Menge des R n vor. Man beschaffe sich eine Parameterdarstellung für und, der Berandung von.mitω bezeichnen wir eine Differenzialform. Z. B. ist der im Kurvenintegral 2. Art auftretende Integrand der orm ω = Pdx+ Qdy + Rdz eine Differenzialform ersten Grades und η = dxdy + Gdydz + Hdzdx eine Differenzialform zweiten Grades, die bei geeigneter Interpretation dem Integranden im Oberflächenintegral zweiter Art entsprechen usw. Die reelle Zahl, die ω der Kurve zuordnet, ist gegeben durch ω = Pdx+ Qdy+ Rdz. Die Berechnung für dieses Kurvenintegral 2. Art ist bekannt. Die reelle Zahl ω ist eindeutig bestimmt, da der Wert des Integrals nicht von der Parameterdarstellung der Kurve abhängt. Wir können also eine 1-orm ω als eine unktion auffassen, die jeder Kurve eine reelle Zahl zuordnet. Entsprechend lässt sich jede 2-orm η als eine unktion, die jeder orientierten läche eine reelle Zahl zuordnet, auffassen. Diese Zuordnungen zwischen reellen Zahlen und Kurven, lächen, 7 Heinrich Hertz ( ), deutscher Physiker, der sich als Assistent von Helmholtz mit ragen der Verdunstung und Kondensation von lüssigkeiten und mit der Natur der Kathodenstrahlen beschäftigte. Sein bedeutendstes Verdienst war die Entdeckung der Radiowellen. Er erkannte, dass sich elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Seine Entdeckung war die Voraussetzung für die Entwicklung der Nachrichtentechnik. 143

27 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS sind durch formale Ausdrücke vollständig beschrieben. Der wichtige Schritt in der Entwicklung dieser Theorie der noch fehlt ist die Differentiation der Differenzialformen, auf die in dieser Zusammenfassung nicht eingegangen werden kann. Es sei hier nur so viel gesagt: Die Ableitung einer k-orm ist eine (k + 1)- orm. Die Ableitung einer k-orm wird mit dω bezeichnet. Ein Blick auf die obige ormel besagt nun in lockerer Sprechweise: Das Randintegral über eine (k 1)-orm ω ist gleich dem lächenintegral über die k-orm dω. Zum Schluss schauen wir noch einmal auf alle Integralsätze der Vektoranalysis, um den prinzipiellen Aufbau und den Inhalt der Sätze zu erkennen. Wir beginnen mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Intgralrechnung aus Bd. 1, Abschnitt Wir formulieren ihn in der orm d(x) = (x) dx = (x). (3.30) [a,b] [a,b] [a,b] Berücksichtigt man noch die Orientierung von [a, b] (in a zeigt die Normale nach innen und in b nach außen), dann lautet die Auswertung des rechts stehenden Integrals (b) (a). Stokesscher Satz: rot v dσ = v ds. Gaußscher Satz: div vd(x, y, z) = V V v dσ. In jedem all steht links des Gleichheitszeichens eine Art Ableitung des Vektorfeldes über ein Gebiet und rechts ein Vektorfeld, das über den (gesamten) Rand des Gebietes integriert wird. Wenn ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ϕ besitzt, d. h. es ist = grad ϕ, dann gilt nach ormel (2.9) grad ϕ ds = ϕ( (b)) ϕ( (a)), wobei :[a, b] R n eine parametrisierte Kurve und ϕ eine (skalare) C 1 -unktion ist. Der Rand von besteht aus dem Anfangspunkt (a) und dem Endpunkt (b). Unter Berücksichtigung der Orientierung der Kurve ( (b) positive Orientierung, (a) negative Orientierung) kann obige ormel (3.30) auch in der orm d ϕ(x, y, z) = grad ϕ, ds = ϕ geschrieben werden. Wir hoffen, dass wir mit diesem kurzen Ausblick auf den allgemeinen Stokesschen Satz einige Leser motivieren können, sich etwas ausführlicher mit der 144

28 Aufgaben Theorie der Differenzialformen zu beschäftigen. Leicht verständlich geführte Beweise für den allgemeinen Stokesschen Satz findet der Leser in den Büchern [37] und [58]. Z U S A M M E N A S S U N G Aufgaben 1. Der Körper V werde durch eine Oberfläche Φ begrenzt, die sich aus dem Kreis x 2 + y 2 4inderx-y-Ebene und dem Paraboloid z = 4 x 2 y 2 zusammensetzt, und n sei die äußere Normale von S. Berechnen Sie das Oberflächenintegral Φ dσ für gegebenes (x, y, z) := (x +y, y +z, x +z) T mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes. 2. Berechnen Sie W dσ, wobei (x, y, z) := i + j + z(x 2 + y 2 ) 2 k und W der Vollzylinder x 2 + y 2 1, 0 z 1ist. 3. Es sei S die Oberfläche des Körpers W. Zeigen Sie: S r dσ = 3Volume(W), r := (x, y, z). 4. Bestimmen Sie von den nachfolgenden Vektorfeldern diejenigen, die sich als Gradientenfeld einer skalaren Ortsfunktion ϕ schreiben lassen. In diesen ällen gebe man ϕ an. a) (x, y) := x i + y j, b) (x, y) := xy i + xy j, c) (x, y) := (x 2 + y 2 ) i + 2xy j, d) (x, y) := (2x cos y + cos y) i (x 2 sin y + x sin y) j. 5. Berechnen Sie Φ rot dσ, wobei Φ die läche x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 und das Vektorfeld := (y,2z,3x) T ist. 6. Es seien Φ(u, v) := cos u cos v i + sin u cos v j + sin v k,(u, v) [0, 2π] [0, π 2 ] und das Vektorfeld (x, y, z) := i + xz j + xy k gegeben. Berechnen Sie das Oberflächenintegral Φ rot dσ mittels Stokesschen Satzes. 7. Berechnen Sie die Zirkulation des Vektorfeldes = (5x + y,0,0) T längs der Kurve, die aus dem vertikalen Durchmesser und der linken Hälfte der in der x-y-ebene liegenden Ellipse x 2 /36 + y 2 = 1 gebildet wird. 8. Berechnen Sie die Rotation folgender Vektorfelder auf R 3 : a) xy i + x 2 z j + y k, b) 2 i + xz 2 j + x sin y k, c) e xy i + xyz j + x 2 ye z k, d) x i + y j + z k. 145

29 3 INTEGRALSÄTZE DER VEKTORANALYSIS 9. Das Vektorfeld und das Skalarfeld ϕ seien differenzierbar auf einer offenen Menge D des R 3. Berechnen Sie: rot (ϕ ), div(ϕ ), divgrad(ϕ), divrot(), rot grad (ϕ). Schreiben Sie das Ergebnis mittels der Differenzialoperatoren grad, div, rot (wo es möglich ist). Geben Sie div grad (ϕ) = ϕ in Zylinderkoordinaten an. 10. Es sei (x, y, z) := xe y i (x cos z) j ze y k gegeben. Bestimmen Sie ein Vektorfeld G derart, dass = rot G gilt. (Hinweis: Im all, dass div = 0 ist, überlege man sich, dass G in der orm G(x, y, z) = G 1 (x, y, z) i + G 2 (x, y, z) j angesetzt werden kann. Aus den Gleichungen G 2 z = 1, G 1 z = 2, G 2 x G 1 y = 3 können dann G 1 und G 2 aus G 1 (x, y, z) = z G 2 (x, y, z) = 0 z 2 (x, y, t) dt 0 1 (x, y, t) dt y 0 3 (x, t,0)dt bestimmt werden. G ist bis auf eine additive Größe der orm grad ϕ bestimmt.) 11. Berechnen Sie die Arbeit, die von der Kraft (x, y) = (x 2 y 2 ) i + 2xy j verrichtet wird, um ein Teilchen entgegen dem Uhrzeigersinn um ein Quadrat herum zu bewegen, das die Eckpunkte (0, 0), (a,0), (a, a), (0, a), a>0hat. Lösungshinweise zu allen geradzahligen Übungsaufgaben finden Sie auf der buchbegleitenden Companion Website (CWS) unter 146