B: Gleichung der Kugel mit Zentrum M(3, -2, 1), die den Punkt P(1, 4, 4) enthält.

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Angelika Keller
vor 7 Jahren
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1 5 0. Die Kgel 0. Die Kgelgleichng Def. Unter der Kgel k mit Mittelpnkt M nd adis verstehen wir die Menge aller Pnkte P, die vom Mittelpnkt M einen vorgegebenen abstand haben, für die also gilt: MP MP oder in Koordinaten : k: ( x x M ) ( y ym ) ( z zm ) Kgelgleichng () M(x M, y M, z M ) Kgelmittelpnkt, adis, P(x, y, z) Kgelpnkt B: Gleichng der Kgel mit Zentrm M(, -, ), die den Pnkt P(, 4, 4) enthält. MP 6 MP 7 k: (x ) + (y + ) + (z ) = 49 Zsatzfragen: a) In welchen Pnkten schneidet k die z-achse? x = y = (z ) = 49 z - = 6 führt af die Schnittpnkte S (0, 0, 7) S (0, 0, -5) b) Schneide die Kgel k mit der xy-ebene? z = 0 (x ) + (y + ) + ( ) = 49 (x ) + (y + ) = 48 k schneidet die xy-ebene in einem Kreis mit Mittelpnkt Z(,-) nd adis = 48 Drch Asmltiplizieren von Gleichng () erhält man eine Gleichng der Form: x + y + z + ax + by + cz + d = 0 () Kgel /l

2 54 Umgekehrt kann jede Gleichng der Form () drch qadratische Ergänzng af die Form () gebracht werden nd stellt somit eine Kgel dar (allenfalls mit adis 0 oder imaginärem adis). B: Die Gleichng x + y + z - x + 8y - 4z - 4 = 0 kann in der folgenden Form dargestellt werden: x - x + + y + 8y z - 4z + = = 5 bzw. (x ) + (y + 4) + (z ) = 5 Kgel mit Mittelpnkt M(, -4, ) adis = 5 Weitere Beispiele: x + y + z - 4x + 6y - z - 5 = 0 M(, -,,) adis = 7 x + y + z - 4x + y - 0z + 6 = 0 M(, -, 5) adis = x + y + z + 6x - y - 4z + 5 = 0 M(-,, ) adis = 0.. Schnitt einer Geraden mit einer Kgel, Kgeltangente Afgabe: Berechne die Koordinaten des Schnittpnkte der Geraden 4 g : r t mit der Kgel k: Mittelpnkt M(,,-), adis = 7. Setzt man die Koordinaten eines Geradenpnktes in die Kgelgleichng k: (x ) + (y - ) + (z + ) = 49 ein, so führt dies af die qadratische Gleichng t =. Die geschten Schnittpnkte sind S (5, -, 4), S (-, 4, 0). Allg. Das Problem, eine Kgel mit einer Geraden z schneiden, führt af eine qadratische Gleichng im Parameter t mit der Diskriminante D. Fälle: D > 0 D = 0 D < 0 g schneidet k in verschiedenen Pnkten g ist Kgeltangente g meidet die Kgel Kgel /l

3 55 Afgabe: Die Gerade 0 g : r t 5 ist Tangente einer Kgel k mit Mittelpnkt M(,,4). Bestimme den Kgelradis nd den Berührngspnkt B von t mit k. Das Problem ist eine Einkleidng der Grndafgabe, den kürzesten Abstand eines Pnktes von einer Geraden z bestimmen. Mögliche Lösngswege (siehe ach den Abschnitt Abstand eines Pnktes von einer Geraden ):. Variante Der Pnkt B af g ist so z bestimmen, dass der Vektor MB af der Geraden g, d.h. af dem ichtngsvektor der Geraden, senkrecht steht. t t t MB t t 5 t 4 t MB t 6t 6 0 t Berührngspnkt B(,, ) adis MB 5 t =. Variante Der Berührngspnkt B ist der Schnittpnkt der Normalebene Geraden g. Der ichtngsvektor von g ist ein Normalenvektor von Ansatz für : x + y z + d = 0 M(/ / 4) d = : x + y z + = 0 Schneidet man mit g, so führt dies af t = Berührngspnkt B(,, ), nd adis = 5 z t drch M mit der Kgel /l

4 56. Variante Ist nr der adis gescht, so kann man ach folgendermassen vorgehen: Der Vektor MA (A ist der Anfangspnkt der Geraden g) nd der ichtngsvektor von g spannen ein Parallelogramm af. Sein Flächeninhalt kann einerseits elementar (Grndlinie, Höhe ) nd andrerseits mit dem Vektorprodkt berechnet werden. Damit gilt: MA MA MA MA 5 MA Uebngsafgabe: Kgelmittelpnkt M(-, 5, -4), Tangente Lösng: Kgelradis: = 7 6 g : r 5 t 7 Kgel /l

5 Schnitt einer Kgel mit einer Ebene, Kgeltangentialebene Die Tangentialebene der Kgel k(m,r) im Kgelpnkt T steht af dem Berührngsradis senkrecht. MT ist also ein Normalenvektor von. Afgabe: Gegeben ist die Kgel k drch den Mittelpnkt M(/ -4/ ) nd den adis = 6 Bestimme eine Gleichng der Kgeltangentialebenen, die z der Ebene : x - y + z - 0 = 0 parallel sind. Bestimme znächst die Berührngspnkte der beiden Tangentialebenen. Wir tragen daz af dem Lot z drch den Kgelmittelpnkt M von M as den Kgelradis ab. Da der ichtngsvektor des Lots Berührngspnkten gehörigen Parameterwerte bzw.. die Länge hat, sind die z den Berührngspnkt T (6/ -6/ 7) Tangentialebene : x - y + z - = 0. Berührngspnkt T (-/ -/ -) Tangentialebene : x - y + z + 4 = 0. Lösngsvariante mit HNF: Ansatz für,: x - y + z + d = 0 Der Parameter d ist so z bestimmen, dass der Kgelmittelpnkt M von der Tangentialebene den Abstand hat. ( 4) d 6 d + 4 = 8 d = 4 bzw. d = - Anwendng: eflexion eines Lichtstrahls an einer Kgel Gegeben ist die Kgel drch den Mittelpnkt M(/ / 0) nd den Kgelpnkt T. Ein von L(6/ 9/ 7) asgehender Lichtstrahl wird an der Kgel in T reflektiert. Wo trifft der reflektierte Strahl die xy-ebene? eflexion an der Tangentialebene in T : x + y + z - 9 = 0 6 L an spiegeln Lot l af : l : r 9 t Der zm Lotfsspnkt F gehörige Parameterwert ist t F = - Der zm Spiegelpnkt L gehörige Parameterwert ist damit t = t F = -4 L (-//) LT ist ein ichtngsvektor des reflektierten Strahls l : r 4 5 t Der reflektierte Strahl trifft die xy-ebene in (7/ 7/ 0) t Kgel /l

58 Beim Schnitt einer Kgel k(m,) mit einer Ebene können Fälle aftreten: Sei e der Abstand des Mittelpnkts M von der Ebene e > e = e < meidet k ist Tangentialebene schneidet as der Kgel einen Kreis

6 58 Beim Schnitt einer Kgel k(m,) mit einer Ebene können Fälle aftreten: Sei e der Abstand des Mittelpnkts M von der Ebene e > e = e < meidet k ist Tangentialebene schneidet as der Kgel einen Kreis mit Mittelpnkt Z nd adis Z ist der Schnittpnkt des Lots as M af ergibt sich nach Pythagoras z e B: k: (x ) + (y + ) + (z ) = 5 : x + y + z 0 = 0 M(, -, ) hat von den Abstand e = 9 Mittelpnkt des Schnittkreis Z(6, 5, 7), = Kgel /l

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