Durch Ausmultiplizieren von Gleichung (1) erhält man eine Gleichung der Form

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Viktor Neumann
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1 9 9. Der Kreis 9. Die Koordinaten- und Paraeterfor der Kreisgleichung Def. Unter de Kreis k it Mittelpunkt M(u,v) und adius versteht an die Menge aller Punkte P(x,y) die von M den Abstand haben, für die also gilt: MP MP oder in Koordinaten : k: ( x u) ( y v) Koordinatengleichung eines Kreises () M(u,v) Kreisittelpunkt, adius, P(x,y) Kugelpunkt Spezialfall: M(/) x y B: (Skizze) Gleichung des Kreises it Zentru M(,) durch den Punkt P(6,). MP MP k: (x ) + (y - ) = Durch Ausultiplizieren von Gleichung () erhält an eine Gleichung der For x + y + ax + by + c = () Ugekehrt kann jede Gleichung der For () durch quadratische Ergänzung auf die For () gebracht werden und stellt soit eine Kugel dar (allenfalls it adius oder iaginäre adius). B: Die Gleichung x + y - x + 6y + = kann durch quadratische Ergänzung auf die For gebracht werden: ( x 7) ( y ) 6 Die Gleichung stellt also einen Kreis it Mittelpunkt M(7,-) und adius = 6 dar. Kreis 6../ul

2 5 allg. gilt der folgende Satz: Die Gleichung x + y + ax + by + c = stellt genau dann einen Kreis dar, wenn gilt: a +b - c >. Führt an als Paraeter den Zentriwinkel t ein, so erhält an die sogenannte Paraetergleichung des Kreises: x u cost y v sin t () Paraetergleichung des Kreises Eliiniert an den Paraeter t, inde an die Quadrate der beiden Gleichungen addiert, so erhält an wieder die Koordinatengleichung () des Kreises. 9.. Kreistangente. Tangente in eine vorgegebenen Punkt P (x,y ) MP ist ein Noralenvektor der Tangente t, d.h. PP steht auf MP senkrecht. I Spezialfall M(,) gilt also: x x x PP OP x x x y y y y y y x x y y x y vereinfacht t: xx yy (5) Der Spezialfall zeigt, wie die Tangentengleichung foral aus der Kreisgleichung erhalten werden kann: x y xx yy xx yy Dieser forale Vorgang heisst Polarisieren. Es kann gezeigt werden, dass dieser auch bei beliebige Mittelpunkt und auch für Kegelschnitte gilt: Kreis 6../ul

3 5. Kreistangente it vorgegebener ichtung An den Kreis k it Mittelpunkt M(,5) und adius r = sind die Tangenten zu legen, welche zur Geraden g: x y + = parallel sind. Ansatz für die gesuchten Tangenten. t: x y c c ist so zu bestien, dass der Punkt M von t den Abstand hat: x y c Lösungen: c = 7, c = - 5 Lösungsvariante: Diskriinantenethode.. Tangente von eine Punkt A an einen Kreis k Diese Aufgabe kann it den folgenden Verfahren bestit werden: a) Diskriinantenehtode b) Hesse sche Noralfor (HNF) c) Polarenethode Spezialfall A(,) a) Lösung des Tangentenprobles it der Diskriinantenethode: Das Proble eine Gerade it eine Kreis k zu schneiden führt auf eine quadratische Gleichung it der Diskriinante D. Fälle: a) D > g ist Sekante b) D = g ist Tangente c) D < g eidet k Lege vo Nullpunkt aus die Tangenten an den Kreis x + y - x + 6 =. Ansatz für t: y = x eingesetzt in die Kreisgleichung x + y - x + 6 = führt auf x ( + ) - x + 6 = () t ist genau dann Tangente, wenn die Diskriinante von () verschwindet. D = 6-6 = und daraus Beachte: Diese Methode ist in vielen Fällen sehr rechenaufwändig. Kreis 6../ul

4 5 b) Lösung it der HNF i Spezialfall A(,): Bringe die Gleichung y = x auf die Hessesche Noralfor (HNF): x y Die Steigung ist so zu wählen, dass der Kreisittelpunkt M(5,) von den Tangenten den Abstand = hat: oder und erneut: Kreis 6../ul

5 Lösung des Probles für eine beliebige Lage von A: Lege vo Punkt P(-,) die Tangenten an den Kreis k: x + y - x + y - 5 = Lösung it der Hesse schen Noralfor: Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich

5 5 Lösung des Probles für eine beliebige Lage von A: Lege vo Punkt P(-,) die Tangenten an den Kreis k: x + y - x + y - 5 = Lösung it der Hesse schen Noralfor: Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für k der Mittelpunkt M(,-) und der adius Ansatz für t: y = x + q Da P(-,) die Tangentengleichung folgt: q = +. x y HNF von t: Die gesuchten Kreistangenten haben von P(-,) den Abstand bzw. 5 it den Lösungen und Lösung der Aufgabe nach der Polarentheorie Setzt an in der Tangentengleichung statt eines Kreispunktes einen Punkt A ausserhalb des Kreises ein, so stellt die Gleichung wieder eine Gerade p dar. Es seien B und B die Berührungspunkte der Tangenten it de Kreis. Es kann gezeigt werden, dass p die Verbindungsgerade der Punkte Berührungspunkte B und B ist. Die Aufgabe ist dait darauf zurückgeführt, die Polare it de Kreis k zu schneiden. Kreisgleichung x y x y 5 polarisieren x x y y ( x x) (y y ) 5 Koordinaten von A(-,) einsetzen: x ( ) y ( x ) (y ) 5 vereinfachen y x Gleichung der Polaren it de Kreis schneiden x Berührungspunkte B (,), B (-,-) Kreis 6../ul

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