Kapitel 2 Elastische Stoßprozesse

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1 Kapitel Elastische Stoßprozesse In diesem Kapitel untersuchen wir die Auswirkungen von elastischen Kollisionen auf die Bewegungen der Kollisionspartner.. Kollision mit gleichen Massen Elastische Stöße zwischen Kugeln, Teilchen etc. können wir mit den Konzepten der Energie- und Impulserhaltung verstehen. Bei einem elastischen Stoß zweier Kugeln muss der Gesamtimpuls des Systems aus den beiden Kugeln vor der Kollision P = p + p (.) genauso groß sein, wie der Gesamtimpuls nach der Kollision P = p + p. (.) Da die Kugel mit der Masse m anfangs ruht, vereinfacht sich die Impulserhaltung zu M. Erdmann, Experimentalphysik, Springer-Lehrbuch, DOI 0.007/ _, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 0 3

2 4 Elastische Stoßprozesse P = P (.3) p + p }{{} = p + p. (.4) =0 Ebenso muss die Energieerhaltung gelten. Die Gesamtenergien vor und nach der Kollision müssen gleich groß sein: E = E (.5) Die Kugeln sollen sich auf einem Tisch reibungsfrei mit Energien E kin bewegen und außer der direkten Kollision keine zusätzliche Wechselwirkung austauschen (E pot = 0). Die Gesamtenergie des Systems aus beiden Kugeln können wir aus dem Anfangszustand berechnen, bei dem nur die erste Kugel Bewegungsenergie besitzt: E = E kin, + E pot }{{} hier =0 = p m (.6) (.7) Mit der anfangs ruhenden Kugel (E kin, = 0) ist die Energieerhaltung (.5) E = E + E. (.8) Betrachten wir zunächst den Fall, dass beide Massen gleich groß sind (m = m = m). Quadrieren wir die Gleichung der Impulserhaltung (.4), so ergibt sich Aus der Energieerhaltung (.8) folgt: p p ) (.9) = p + p + p. (.0) p m = p m + p m (.) p + p (.) Aus den Gl. (.0) und (.) erhalten wir, dass abgesehen von trivialen Lösungen im Allgemeinen das Skalarprodukt p (.3) p ) = 0 (.4)

3 . Kollision mit verschiedenen Massen 5 Null sein muss. Die Bedingung ist dann erfüllt, wenn cos (θ ) = 0ist,alsowenn der Winkel der beiden Flugrichtungen der Kugeln im Endzustand θ = 90 beträgt. Ein Spezialfall ist das zentrale Auftreffen der ersten Kugel auf die zweite Kugel (zentraler Stoß). Für θ = 0 ist cos (θ ) =. Die Bedingung (.4) ist dann erfüllt, wenn p = 0 ist, d.h. die erste Kugel nach dem Stoß liegen bleibt. Experiment: Stoß zweier Kugeln Lässt man eine Kugel über eine schräg gestellte Schiene auf eine zweite, ruhende Kugel treffen, die anschließend beide in einen mit Sand gefüllten Kasten fallen, so kann man die Differenz der Flugwinkel von 90 sehr schön nachweisen. Für verschiedene Stoßparameter (Abweichung vom zentralen Auftreffen auf die zweite Kugel) lässt sich die Kreisform (Thaleskreis) demonstrieren.. Kollision mit verschiedenen Massen Wählen wir Kugeln mit ungleichen Massen, so lassen sich die Massenterme in der Energieerhaltung (.) p = p m + p (.5) m m nicht einfach eliminieren. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass sich die erste, einlaufende Kugel in der x-richtung auf die zweite, ruhende Kugel zubewegt. Im Allgemeinen haben

4 6 Elastische Stoßprozesse beide Kugeln nach der Kollision einen von Null verschiedenen Impuls, den wir in seine p x - und p y - Komponenten zerlegen. Da vor der Kollision keine Impulskomponente in der p y -Richtung vorhanden war, impliziert die Impulserhaltung, dass die p y -Komponenten der Kugelimpulse nach dem Stoß entgegengesetzt gleich groß sind: p y = p y (.6) In Abhängigkeit der Impulskomponenten sind dann die Quadrate der Impulse nach dem Stoß p = p x + p p = ( p p x y (.7) ) + p y. (.8) Durch Einsetzen in die Energieerhaltungsgleichung (.5) und Umsortieren der Terme nach p x und p y erhalten wir: ( p p p ) x + p y = m m + p x + p y (.9) m 0 = p x + p y p p x + p x + p y (.0) m m m m m [ 0 = p x + ] [ p x m m v + p y + ] (.) m m [ m + m 0 = p x p x v m m Wir definieren die sogenannte reduzierte Masse μ durch Damit vereinfacht sich die Gleichung (.) zu ] + p y (.) μ m m m + m. (.3) p x p x v μ + p y = 0. (.4)

5 . Kollision mit verschiedenen Massen 7 Die Interpretation der Gleichung können wir durch quadratische Ergänzung erleichtern: ( ) p x μv + p y (μv ) = 0 (.5) ( ) p x μv + p y = (μv ) (.6) Diese Gleichung hat die Form einer Kreisgleichung (x + y = R ). Auch beim Stoß zweier Kugeln ungleicher Massen liegen die Impulskomponenten der zweiten Kugel auf einem Kreis, dessen Radius R = μv beträgt und dessen Mittelpunkt um μv = R verschoben ist: Der Impuls der ersten Kugel nach dem Stoß lässt sich aus (.6) und der Impulserhaltung berechnen. p = p p (.7)

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