Übungen zur Experimentalphysik 3

Transkript

1 Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester 21/ Übungsblatt Januar 211 Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe 1 ( ) (2 Punkte) Der Mensch kann mit bloßem Auge gelbes Licht wahrnehmen, wenn die Netzhaut eine Lichtleistung von W empfängt. Die Wellenlänge des gelben Lichts beträgt ca. 6 nm. Wie viele Photonen müssen je Sekunden auf die Netzhaut treffen? Die Energie eines einzelnen Photons beträgt: = hc λ = J (1) Die Lichtleistung beträgt P = W, somit ist der Photonenstrom dn dt = P = 5.4s 1 (2) Aufgabe 2 ( ) (9 Punkte) Unter dem Compton-Effekt versteht man die inelastische Streuung eines Photons an einem freien Elektron. Der Streuwinkel θ des gestreuten Photons wird gegen die Richtung des einfallenden Photons gemessen. Hinweis: Rechnen Sie relativistisch. a) Berechnen Sie die kinetische Energie der gestreuten Elektronen in Abhängigkeit vom Streuwinkel θ der Photonen und der Energie der einfallenden Photonen E = hν. 1

2 Zur kompakten Formulierung verwenden wir Vierervektoren. Zur Erinnerung: Vierervektoren in der Relativistik sind der Form (E, p x, p y, p z ). Im Folgenden seien E γ die Energie des gestreuten Photons, p e der Impuls des Elektrons nach der Streuung und m e die Ruhemasse des Elektrons. Das Photon vor der Streuung fliege in z-richtung und streue mit dem Elektron in der x-z-ebene. Dann gilt: + m e c 2 /c = E γ E γ sin θ/c E γ cos θ/c + m 2 e c 4 + p e 2 c 2 E γ sin θ/c ( Eγ E γ cos θ ) /c (3) Die Beschreibung des Impulses ist so gewählt, dass die Impulserhaltung garantiert ist, es bleibt also nur die Energieerhaltung zu lösen. + m e c 2 = + m 2 ec 4 + p 2 e c 2 (4) = + m 2 ec 4 + ( sin θ ) 2 ( + Eγ cos θ ) 2 (5) Hierbei wurde verwendet, dass der Elektronenimpuls nach der Streuung wie folgt ist: p e = ( E p 2 x + p 2 y + p 2 z = γ sin θ ) 2 /c2 + ( cos θ ) 2 /c 2 (6) = 1 c (E γ sin θ ) 2 + ( Eγ E γ cos θ ) 2 Quadrieren und Auflösen nach E ergibt: (7) E γ = 1 + Eγ m ec 2 (1 cos θ) (8) b) Berechnen Sie die maximale Energie eines gestreuten Elektrons und die minimale Energie eines gestreuten Photons. 2

3 Aufgrund der Energieerhaltung hat das Elektron genau dann maximale Energie, wenn das Photon minimale Energie behält, was offensichtlich für cos θ = 1 der Fall ist, also: E γ,min = 1 + 2Eγ m ec 2 (9) E e,max = E γ,min = 1 + mec2 2 (1) c) Ein Festkörper wird mit Lichtquanten der Energie 21.2eV bestrahlt. Wie groß wäre der maximale Energieübertrag auf die Elektronen beim Compton-Effekt? Vergleichen Sie dies mit dem Energieübertrag auf die Photoelektronen beim Photoeffekt. Einsetzen der Werte in Gleichung (1) ergibt: E e,max =.176eV (11) Diese Energie reicht nicht aus, um das Elektron vom Atom zu lösen (Bindungsenergie in der Grössenordnung ev ). Beim Photoeffekt würden die vollen 21.2eV absorbiert werden. 3

4 Aufgabe 3 ( ) (13 Punkte) a) Skizzieren Sie die Streuung eines Röntgenstrahls an einem ruhenden Elektron. Was passiert mit der Wellenlänge des gestreuten Photons? Welche Bedeutung hat die Größe h m? Diskutieren Sie den Streuprozess im Zusammenhang mit dem Welle-Teilchen ec Dualismus! Die Skizze zeigt die Compton-Streuung eines Röntgenphotons an einem Elektron. Das gestreute Photon besitzt eine geringere Energie als das einfallende Photon, da Energie in den Rückstoß des Elektrons fließt. Die Wellenlängendifferenz der Photonen kann aus Energie- und Impulserhaltung berechnet werden. Vor und nach der Streuung liegt eine h unterschiedliche Wellenlänge vor. m ec ist von der Dimension her eine Länge. Es ist die Compton-Wellenlänge λ C. Sie hängt nicht von der Wellenlänge des einfallenden Lichtquants ab, sondern ist nur eine Eigenschaft der Masse m e des streuenden Elektrons. Die Compton- Wellenlänge geht wesentlich in die Wellenlängendifferenz des einfallenden und gestreuten Photons ein: λ 1 λ 2 = λ C [1 cos(θ)] (12) Das Teilchenbild wird hier stark unterstützt, da man ja hier einfache Stoßgesetze anwendet, d.h. man hat die gleiche Physik wie bei Billiardkugeln. b) Silber wird mit Licht der Wellenlänge λ=15nm bestrahlt. Dabei treten Photoelektronen aus. Die Grenzwellenlänge des photoelektrischen Effekts bei Silber beträgt =261nm. Berechnen Sie die Geschwindigkeit v der ausgelösten Elektronen. Man muss zunächst eine Gleichung für die Energiebilanz aufstellen: E Photon = E Elektron + W Austritt hν = 1 2 m ev 2 + W A (13) 4

5 Die Austrittsarbeit W A ist natürlich gerade durch die Grenzwellenlänge ν G bestimmt: W A = hν G (14) Weiterhin kennen wir die Gleichung νλ = c. Nun können wir die obige Energiebilanz so umformen, dass wir v als Funktion der bekannten Größen erhalten: h c λ = 1 2 m ev 2 + h c 1 ( 1 2 m ev 2 = hc λ 1 ) Nach Auflösen nach v erhalten wir als Ergebnis: (15) v = ( 2hc 1 m e λ 1 ) ( 1 = c 2λC λ 1 ) m/s (16) c) Ein Röntgenquant der Wellenlänge λ 1 = m überträgt auf ein Elektron die Energie E = 13.8keV. Wie groß ist die Wellenlänge λ 2 des gestreuten Röntgenquants? Die Energie muss erhalten bleiben: E Photon = E Elektron + E gestreutes Photon hν 1 = E + hν 2 (17) Man formt um, um die Wellenlänge explizit zu haben: 1 = 1 E λ 2 λ 1 hc λ λ 2 = 1 λ E hc m (18) d) Unter welcher Bedingung wird die Wellenlänge des gestreuten Röntgenquants maximal? Die Wellenlänge des gestreuten Röntgenquants wird minimal, wenn der Energieübertrag auf das Elektron maximal ist. Dies ist natürlich genau bei Rückärtsstreuung des Photons der Fall. 5