Quantenmechanikvorlesung, Prof. Lang, SS04. Comptoneffekt. Christine Krasser - Tanja Sinkovic - Sibylle Gratt - Stefan Schausberger - Klaus Passler

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1 Quantenmehanikvorlesung, Prof. Lang, SS04 Comptoneffekt Christine Krasser - Tanja Sinkovi - Sibylle Gratt - Stefan Shausberger - Klaus Passler

2 Einleitung Unter dem Comptoneffekt versteht man die Streuung von Liht an freien oder shwah gebundenen Elektronen. Dieser Effekt ist im Spektralbereih der Röntgenstrahlung besonders ausgeprägt. Die einfallende Lihtwelle (Röntgenstrahlung) regt Elektronen in den Atomen zu erzwungenen Shwingungen an. Die Elektronen im Feld der positiven Kerne werden als klassishe Oszillatoren behandelt, die ihrerseits Strahlung mit der Frequenz aussenden, mit der sie zur Shwingung angeregt worden sind. Diese Strahlung bezeihnet man als Rayleighshe Streustrahlung. Die Theorie der Rayleigh-Streuung wurde zunähst für das sihtbare Liht entwikelt. Mit ihr konnte man die blaue Farbe des Himmels erklären. Kurzwelliges Liht (blau) wird stärker gestreut als langwelliges Liht (rot). Die Streustrahlung hat die gleihe Frequenz wie die Primärstrahlung. Sie ist polarisiert. Bereits 1909 zeigte Barkla, dass diese Art der Streuung auh für Röntgenstrahlung gilt. Um 1922 untersuhte Arthur Holly Compton die Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit und anderen leihten Elementen, d.h. an Elementen, bei denen die Elektronen shwah gebunden sind. Er beobahtete bei der Streuung von Röntgenstrahlen eine Wellenlängenvershiebung, die eine weitere Bestätigung der Quanten-Natur der Röntgenstrahlen darstellt. Arthur Holly Compton erhielt 1927 fur diese Entdekung den Nobelpreis für Physik. Compton beobahtete, dass zusätzlih zu spektral unvershobener Streustrahlung der ursprünglihen Wellenlänge λ 1, noh eine spektral vershobene Komponente der Wellenlänge λ 2 auftritt. Im Photonenmodell wird der Compton-Effekt als direkter elasitsher Stoß zwishen einem Photon mit der Energie h ν und dem Impuls P = h k und einem shwah gebundenen Elektron des Streumaterials gedeutet. Arthur Holly Compton wurde am 10.September 1892 in Wooster, Ohio geboren. Er starb am 15.März 1962 in Berkeley, Kalifornien. Compton war 1923 bis 1945 Professor an der Universität Chiago und von 1945 bis 1954 Kanzler der Washington University in St. Louis. Sein Hauptarbeitsgebiet war die Röntgenspektroskopie entdekte er den Compton-Effekt, der von ihm kurz darauf theoretish gedeutet wurde. Er erhielt dafür 1927 den Nobelpreis. 1

3 Experiment Shema der Messanordnung: Das am Streukörper (z.b. Graphit) gestreute Röntgenliht wird als Funktion des Streuwinkels θ gemessen. Gemessene Streustrahlung für vershiedene Streuwinkel θ, nimmt von oben (0 ) nah unten (180 ) zu. Man sieht die vershobene Rayleigh- und die spektral vershobene Compton-Streustrahlung beobahtete Compton, dass zusätzlih zu der spektral unvershobenen Streustrahlung noh eine spektral vershobene Komponente auftritt (siehe Grafik oben). Für die Wellenlängenvershiebung λ besteht ein einfaher Zusammenhang mit dem Streuwinkel θ. Unabhängig vom Streumaterial gilt: λ = λ C (1 osθ) mit der sogenannten Comptonwellenlänge: λ C = h m e = m Die Wellenlängenvershiebung λ ist auh völlig unabhängig von der Primär- Wellenlänge. Vom Streumaterial hängt nur die Intensität der Compton-Streuung 2

4 ab. Für leihte Materialien z ist sie besonders groß wegen der geringeren Absorption (Maximal bei θ = 180 ) Die Erklärung dieses Experiments war im Wellenbild für das Liht niht möglih. Mit der Lihtquantenhypothese war das Experiment als Zusammenstoß zwishen zwei Teilhen beshrieben, dem Photon und dem Elektron. Dabei wird Impuls und Energie übertragen.genauer gesagt handelt es sih um einen elastishen Stoß zwishen Lihtquanten und in äußeren Shalen von Atomen shwah gebundenen Elektronen mit der Anfangsgeshwindigkeit v 0. Die Bindungsenergie der Elektronen wird bei der Ableitung der Comptonvershiebung als so klein vorausgesetzt, dass sie gegenüber der Photonenenergie zu vernahlässigen ist. Herleitung der Compton Streuung Wir betrahten den Comptoneffekt wie einen elastishen Stoß zwishen Photon und Elektron. Energie- und Impulssatz müssen beide erfüllt sein. Impuls und kinetishe Energie des Elektrons vor dem Stoß sind praktish gleih Null. Wir rehnen relativistish. Das führt zu folgenden Gleihungen. Es gilt der Energiesatz vor und nah dem Stoß, also hν + m 0 2 = hν + m 2 Dabei ist m 0 die Ruhemasse und m die Masse des Elektrons nah dem Stoß, ν und ν sind die Frequenzen des Lihtes vor bzw. nah dem Stoß. Für den Impuls in y-rihtung vor und nah dem Stoß gilt 0 = hν und für den Impuls in x-rihtung sin(ϑ) + mvsin(ϕ) hν = hν sin(ϑ) + mvos(ϕ) 3

5 Wir bringen hν auf die linke Seite und kürzen ab: ν = ν ν. Sodann drüken wir die bewegte Masse m durh die Ruhemasse m 0 aus: m = m 0 (1 v 2 / 2 ) ( 1/2). Dann quadrieren wir die Gleihung und mittels: und daraus folgt: hν + m 0 2 = hν + m 2 hν hν + m 0 2 = m v2 2 h 2 ( ν) 2 + 2m 0 2 h ν + m = m v2 2 h 2 ( ν) 2 + 2m 0 2 h ν = m v 2 m2 0 4 h 2 ( ν) 2 + 2m 0 2 h ν = m 0 4 v 2 2 v 2 Wir eliminieren den Winkel ϕ, indem wir die Gleihungen nah sinϕ und osϕ lösen und die Beziehung sin 2 (ϕ) + os 2 (ϕ) = 1 anwenden. Wir setzten nun die aus den vorherigen Gleihungen sih ergebenden Ausdrüke für sinϕ und osϕ ein, formen die Gleihung um und kommen auf sinϕ = hν sinϑ mv osϕ = ( hν hν osϑ) 1 mv ( hν da: sin 2 (ϕ) + os 2 (ϕ) = 1 sinϑ mv )2 + [ hν hν (osϑ) 1 mv ]2 = 1 ( hν sinϑ h mv )2 + [ mv (ν ν osϑ)] 2 = 1 (hν sinϑ) 2 + [h(ν ν )osϑ)] 2 = 2 m 2 v 2 mit: m = m 0 (1 v 2 / 2 ) ( 1/2) und: ν = ν ν folgt: h 2 ν 2 sin 2 ϑ + (hν hν osϑ) 2 = m v v2 2 4

6 h 2 ν 2 sin 2 ϑ + h 2 ν 2 + h 2 ν 2 os 2 ϑ h 2 νν osϑ = m v 2 1 h 2 (ν 2 + ν 2 2νν osϑ) = m v 2 2 v 2 h 2 (( ν ) 2 + 2νν 2νν osϑ) = m v 2 2 v 2 h 2 [( ν) 2 + 2ν(ν ν)(1 osϑ)] = m v 2 2 v 2 1 v2 2 Wir setzten die entsprehenden linken Seiten gleih, da die rehten Seiten übereinstimmen: m 0 2 h ν = h 2 ν(ν ν)(1 osϑ) Es gilt für die Umrehnung in Wellenlängen: λ = ν ν = ν ν + ν = ν ν λ = ν ν ν = Aus den letzten beiden Gleihungen folgt also: ν ν(ν ν) m 0 2 ν ν(ν ν) = h(1 osϑ) λ = h m 0 (1 osϑ) = λ (1 osϑ) λ = 2h m 0 (sinϑ 2 )2 wobei wir die Abkürzung λ C = h(m 0 ) 1 ( Comptonwellenlänge ) benutzten. 5

7 Compton Gleihung mittels Vierer-Vektor: Der Stoßvorgang lässt sih auh elegant als Vierer-Vektor anshreiben. Bei diese Methode ist der Rehenaufwand um vieles kleiner. Der Vierer-Vektor wird wie folgt definiert: P = (Energieanteil, Impuls in x, Impuls in y, Impuls in z Rihtung) Damit lässt sih der Stoßvorgang nun wie folgt anshreiben: vor Stoß: p e = (m e 2, 0, 0, 0) p γ = (E, E, 0, 0) nah Stoß: p γ = (E, E E os(ϑ), sin(ϑ), 0) p e = (E + m e 2 E, E E E os(ϑ), sin(ϑ), 0) Impulserhaltung gilt: ( p e ) 2 = E 2 2 (p x 2 + p y 2 + p z 2 ) = m 2 4 ( p e ) 2 = (E + m e 2 E ) 2 2 [( E E os(ϑ))2 + ( E sin(ϑ)2 )] = m 2 4 E 2 + m 2 e 4 + E 2 + 2Em e 2 2EE 2m e 2 E 2 [ E2 2 +( E 2 2 )os2 (ϑ) + ( E 2 )sin2 (ϑ)] = (2EE 2 )os(ϑ)+ m 2 e 4 + E 2 + 2Em e 2 2EE 2E m e 2 + 2EE os(ϑ) E 2 = m e 4 m e 2 (E E ) + 2EE (os(ϑ) 1) = 0 m e 2 ( 1 E 1 E ) = 1 os(ϑ) 1 m e 2 (1 os(ϑ)) = ( 1 E 1 E ) 1 E = 1 (hν) = λ h ; 1 E = λ h 6

8 bzw. mit: 1 m e 2 (1 os(ϑ)) = 1 h (λ λ) λ λ = h (1 os(ϑ)) m e (1 osϑ) = 2sin 2 ( ϑ 2 ) bzw. λ... Comptonwellenlänge λ λ = 2h m e sin2 ( ϑ 2 ) λ λ = λ h m e = λ λ = λ (1 os(ϑ)) Der Compton Effekt auh Compton Streuung genannt, gilt neben Photoelektishen Effekt, dem Stern Gerlah Versuh, dem Doppelspaltexperiment und dem Frank-Hertz-Versuh, als einer der wihtigsten Versuhe in der Quantenmehanik. Literaturliste Tipler Paul A. 2000, Physik,Berlin:Spektrum Akademisher Verlag Haken Herman ; Wolf Hans Christian 2004, Atom und Quantenphysik, Berlin:Springer Fließbah Thorsten, 2000, Quantenmehanik, Berlin:Spektrum Akademisher Verlag 7