Ferienkurs Experimentalphysik 2

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommersemester 25 Gabriele Semino, Alexander Wolf, Thomas Maier sblatt 4 Elektromagnetishe Wellen und spezielle Relativitätstheorie Aufgabe : Leistung eines Herzshen Dipols In Kugelkoordinaten stellt die sphärishe Welle E t, r) = α r sin θ os ωt kr) e θ B t, r) = β r sin θ os ωt kr) e φ ) mit α = β das Fernfeld eines Hertzshen Dipols dar. Berehnen Sie die mittlere Leistung, die von diesem Dipol durh die Halbsphäre θ π 2 mit r = km gestrahlt wird, wenn α den Wert V hat. Die elektrishe Feldkonstante ist ɛ = 8, 85 2 C 2 /Jm. Hinweis: π/2 dθ sin 3 θ = 2/3 Die momentane Strahlungsintensität an einem bestimmten Ort ist durh den Poynting-Vektor gegeben. Im vorliegenden Fall sieht er wie folgt aus: S = ɛ 2 E B 2) S t, r) = ɛ 2 αβ r 2 sin2 θ os 2 ωt kr) e r = ɛ α2 r 2 sin2 θ os 2 ωt kr) e r 3) Er zeigt also in radialer Rihtung vom Ursprung weg und sein Betrag oszilliert zwishen und dem ortsabhängigen Maximalwert ɛ α2 r sin 2 θ. Die momentane Strahlungsleistung durh die Halbsphäre 2 ist das Oberflähenintegral Man erhält: P = HS d A S = P t) = 2πɛ α 2 os 2 ωt kr) π/2 π/2 dθ 2π dφ r 2 sin θ e r S. 4) dθ sin 3 θ = 4π 3 ɛ α 2 os 2 ωt kr). 5) Dies ist die momentane Strahlungsleistung zur Zeit t durh die Halbsphäre mit Radius r. Das zeitlihe Mittel davon ist P = T dt P t), 6) T

2 also im Wesentlihen durh das Zeitmittel des os 2 -Terms gegeben, welhes bekanntlih den Wert /2 besitzt. Man erhält also P = 2π 3 ɛ α 2, 7) unabhängig von r. Als Zahlenwert ergibt sih dann P = 55, 6 W. 8) Aufgabe 2: Polarisation elektromagnetisher Wellen Beshreiben Sie die Art der Polarisation für die ebenen elektromagnetishen Wellen, die durh die folgenden Gleihungen für das E-Feld beshrieben werden: a) E y = E sin kx ωt), E z = 4E sin kx ωt) b) E y = E os kx + ωt), E z = E sin kx + ωt) ) E y = 2E os kx ωt + π/2), E z = 2E sin kx ωt) Für x = ist die Art der Polarisation leiht zu erkennen: a) E y = E sin ωt), E z = 4E sin ωt) b) E y = E os ωt), E z = E sin ωt) ) E y = 2E sin ωt), E z = 2E sin ωt) Dann kann das E-Feld als eine Funktion der Zeit skizziert werden und die Polarisation einfah abgelesen werden: a) linear b) zirkular ) linear Aufgabe 3: Supernovaexplosion Ein Raumshiff fliegt mit 6% der Lihtgeshwindigkeit an einem Stern vorbei. Nahdem das Raumshiff den Stern passiert und sih vom Intertialsystem des Sterns betrahtet) 6 Lihtminuten entfernt hat, briht eine Supernovaexplosion aus. a) Zeihnen und beshriften Sie ein Minkowski-Diagramm, das die Situation bezüglih des Inertialsystems des Sterns darstellt. Im Nullpunkt des Diagramms soll sih dabei das Ereignis Das Raumshiff passiert den Stern befinden. b) Welhe Koordinaten hat die Supernovaexplosion im Inertialsystem des Sterns? ) Berehnen Sie mit Hilfe der Lorentz-Transformation, welhe Zeit auf der Raumshiffsuhr zwishen dem Vorbeiflug am Stern und dessen Explosion verstreiht. d) In welher Entfernung ereignet sih die Supernova vom Raumshiff aus betrahtet? 2

3 a) E : Das Raumshiff passiert den Stern E 2 : Das Raumshiff ist im Inertialsystem des Sterns) 6 lmin vom Stern entfernt E 3 : Die Supernova briht aus b) Die Ortskoordinate von E 3 im Inertialsystem des Sterns ist x 3 = 9) E 3 ist laut Angabe im Inertialsystem des Sterns gleihzeitig mit E 2. Da sih das Raumshiff mit v =.6 bewegt, ist die Zeitkoordinate von E 2 t 2 = x 2 v = 6 lmin = min ), 6 also t 3 = min ) ) Gefragt ist nah der Zeitkoordinate von E 3 bezüglih dem bewegten System des Raumshiffs. Die Lorentz-Transformation t 3 = γ t 3 v ) 2 x 3 2) liefert mit den Koordinaten aus b): t 3 = 2, 5 min 3) d) Gefragt ist nah der Ortskoordinate von E 3 bezüglih dem bewegten System des Raumshiffs. Die Lorentz-Transformation x 3 = γx 3 vt 3 ) = γ x 3 v ) t 3 4) liefert mit den Koordinaten aus b) Die Entfernung ist also x 3 = 7, 5 lmin. x 3 = 7.5 lmin 5) 3

4 Aufgabe 4: Bewegte Teilhen In einem Raumshiff, dass sih mit 5 3 von der Erde weg bewegt werden vershiedene Experimente durhgeführt. In einem ersten Experiment wird der Zerfall eines π + -Mesons untersuht. Ein ruhendes π + -Meson zerfällt innerhalb von 2, 5 8 s in ein µ + -Meson und ein Neutrino. Die kinetishe Energie des π + -Mesons sei gleih 2/3 seiner Ruheenergie. a) Geben Sie die Geshwindigkeit des π + -Mesongs bezüglih des Raumshiffs an. b) Berehnen Sie die Streke, welhe das Meson im Raumshiff zurüklegt, bevor es zerfällt. In einem zweiten Experiment werden in einem elektrishen Feld Elektronen Ruheenergie E = 5keV) aus der Ruhe auf v = 5 3 relativ zum Raumshiff entgegen der Flugrihtung beshleunigt. ) Berehnen Sie die Spannung, welhe zum Beshleunigen der Elektronen notwendig ist. a) Gesamtenergie des π + -Mesons: E = E + E kin = Vergleih mit der relativistishen Energie: + 2 ) E = E 6) E = m 2 v2 / 2 = γe γ = 5 3 7) Berehnung von v aus γ: γ = v = v2 / 2 γ 2 = 4 5 8) b) Ein ruhendes Meson hat eine Lebenszeit von T = 2, 5 8 s. Bewegt sih dieses jedoh mit der oben berehneten Geshwindigkeit von v = 4 5 bezüglih des Raumshiffes, so ist seine Lebenszeit für einen im Bezugsystem des Raumshiffes ruhenden Beobahter um einen Faktor γ = 5 3 länger. T R = γt = 4, 7 8 s 9) Die zurükgelegte Streke ist also: ) Gesamtenergie eines Elektrons: Berehnung von γ: Berehnung von U: x R = v T R = T = m 2) 3 E = E + E kin = E + eu = γe U = γ E 2) e γ = = v ) 2 = ) U = γ E = 42, 6kV 23) e 4

5 Aufgabe 5: Nahriht an bewegtes Raumshiff Zum Zeitpunkt t = startet von der Erde Ursprung des Bezugssystems S) ein Raumshiff mit der Geshwindigkeit v = 3 5. Die Erde funkt zum Zeitpunkt τ = d eine Nahriht an das Shiff. a) Zeigen Sie: Wenn der Funkspruh empfangen wird, hat das Raumshiff im System S den Ort erreiht und es ist die Zeit auf der Erde vergangen. x = vτ v t = τ v b) Bestimmen sie die Ankunftszeit des Funkspruhs, die von einer Uhr an Board des Shiffs gemessen wird. 24) 25) a) Im System S hat das Raumshiff den Ort Der Funkspruh hat dagegen den Ort natürlih nur für t > τ): x R = vt 26) x F = t τ) 27) Damit der Funkspruh das Shiff erreiht, muss x R = x F gelten. Gleihsetzen der beiden Ausdrüken und auflösen nah t liefert: Einsetzen in der ersten Gleihung liefert: t = τ v = 5 2 d 28) x = vτ v = 3, m 29) b) Die Ankunftszeit t ist gemäß der Lorentz-Transformation t = γ t v ) 2 x 3) τ v 2 ) τ = γ v 2 v ) 3) = γτ v 2 2 v 32) = γτ + v ) = 5 8 τ = 2τ = 2d 33) 4 5 Aufgabe 6: Erde, Rakete, Meteor Die Erde, eine bemannte Rakete und ein Meteor bewegen sih zufallig in die gleihe Rihtung. An der Erde fliegt die Rakete mit einer von der Erde beobahteten Geshwindigkeit von v E,R = 3 4 vorbei. An der Rakete fliegt der Meteor mit einer von der Raketenmannshaft beobahteten Geshwindigkeit von v R,M = 2 vorbei. a) Welhe Geshwindigkeit hat der Meteor von der Erde aus beobahtet? b) Zeihnen Sie ein Minkowski-Diagramm für diese Situation aus der Siht der Raketenbesatzung. 5

6 a) Die Geshwindigkeiten v E,R und v R,M müssen relativistish) addiert werden, da die jeweiligen Beobahter positive Geshwindigkeiten sehen, also v E,M = v E,R + v R,M + v E,Rv R,M = 34) 2 b) Die Winkel im Minkowski-Diagramm ergeben sih zu vr,m ) α M = artan = 26, 6 und α E = artan v ) E,R = 36, 9 35) Da v für den Meteor positiv und für die Erde negativ ist, bewegen sih die Ahsen auf die Winkelhalbierende zu, bzw. von ihr weg. 6