Mathematik I für MB/ME

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Reinhardt Raske
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1 Mathematik I für MB/ME Fahbereih Grundlagenwissenshaften Prof. Dr. Viola Weiÿ Wintersemester /6 Übungsaufgaben Serie : Vektorrehnung. Gegeben seien die Vektoren a =, b =, = (a) Berehnen Sie a + b und a + b. (b) Welhe der Vektoren stehen senkreht aufeinander? () Bestimmen Sie die Einheitsvektoren von a und. (d) Bestimmen Sie λ R so, daÿ a + λ b b + ist. Bestimmen Sie µ R so, daÿ ( a + µ b) ist.. Von einem Vektor a = (a ; a ; a ) T sei bekannt, daÿ a =, a = und a = 7. Bestimmen Sie alle Vektoren, die diese Vorgaben erfüllen. Welhe Winkel shlieÿen diese Vektoren mit den Koordinatenahsen ein?. Gegeben sei das Dreiek mit den Ekpunkten A = ( ; ; ), B = ( 6; ; ) und C = (; ; ). Bestimmen Sie den Fläheninhalt des Dreieks und den Winkel zwishen Seite AB und Seite AC.. Berehnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das durh die Vektoren P P, P P und P P aufgespannt wird mit P = (; ; ), P = (; ; ), P = (; ; ) und P = (; 8; ).. Berehnen Sie den Vektor p b ( a), der durh orthogonale Projektion des Vektors a = ( ; ; ) T auf die Rihtung des Vektors b = (; ; ) T entsteht. 6. Im Punkt D = (; ; ) ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nah den Punkten A = (; ; ), B = ( 7; ; ) und C = ( ; 9; ) gespannt sind. Die entsprehenden Zugkräfte in den Seilen haben folgende Beträge: F A = F A = N, F B = F B = 9 N, F C = F C = N. Berehnen Sie Komponenten und Betrag der in D angreifenden Gesamtkraft F. 7. Berehnen Sie a R derart, daÿ die Punkte P = (; ; ), P = ( ; ; ) und P = (6, ; a ; a) auf einer gemeinsamen Geraden liegen. 8. Gegeben seien die beiden Geraden g : r (t) = + t und g : r (s) = + s Für welhe R sind die beiden Geraden parallel, wann shneiden sie sih und wann sind sie windshief? Können beide Geraden auh identish sein?

2 9. Im Punkt Q = (; 7; ) bendet sih eine Lihtquelle. Wie groÿ ist der Fläheninhalt des Shattens, der vom Dreiek mit den Ekpunkten P = (7; 8; ), P = (6; ; ) und P = (; ; ) auf der Ebene x + x x = erzeugt wird?. Wir betrahten das Dreiek mit den Ekpunkten A = (; ; ), B = (8; ; 6) und C = (6; ; ). (a) Berehnen Sie die Koordinaten des Shwerpunktes S, der zugleih der Shnittpunkt der drei Seitenhalbierenden ist. Prüfen Sie dabei, daÿ sih diese drei Geraden in einem Punkt shneiden. (b) Berehnen Sie einen Punkt D, so daÿ ABCD ein Parallelogramm ergibt. () Bestimmen Sie den Fläheninhalt des Parallelogramms ABCD.. Welhe Koordinate z muÿ der Punkt P = (; ; z) haben, damit er mit den Punkten P = (; ; ), P = ( ; ; ) und P = (; ; 9) in einer Ebene liegt?. Geben Sie jeweils sowohl die Parameterdarstellung als auh die parameterfreie Form der Ebenengleihung an für folgende Ebenen, die gegeben sind durh (a) den Punkt P = (; ; ) und die Vektoren u = (; ; ) T und v = (; ; ) T, (b) den Punkt P = (; ; ) und den Normalenvektor n = (; ; ) T.. Es ist zu untersuhen, ob die Punkte P = (; ; 6) und Q = (; ; ) jeweils auf der Ebene (a) E : r(s, t) = + s + t, (b) E : x + y z = liegen.. Es ist jeweils die Lage der Geraden (a) g : r (s) = + s () g : r (u) = + u, (b) g : r (t) = zur Ebene E : x y + z = 8 zu untersuhen. + t,. Gegeben sei die Ebene E durh die Punkte A = (; ; ), B = (; ; ) und C = (; ; ). Berehnen Sie den Fuÿpunkt des Lotes, welhes vom Punkt P = (; ; ) auf E gefällt wird. Welhen Abstand hat P von E? In welhem Punkt und unter welhem Winkel durhstöÿt die Gerade r(t) = + t,, die Ebene E? 6. Die Ebene E sei gegeben durh die Punkte P = ( ; ; ), P = (; 6; ) und P = (; ; ) und die Ebene E durh die Gleihung x y + z + =. Berehnen Sie den Shnittwinkel der beiden Ebenen.

3 7. Für welhe a, b R sind die Ebenen E : 6x z + = und E : ax + by + z = parallel? Für welhe a, b R sind sie orthogonal zueinander? 8. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises, der gegeben ist durh die Gleihung x + y + 8x y 6 =. 9. Welhe Lage haben die Geraden g : x + y =, g : x + y =, g : x + y = jeweils zum Kreis (x ) + (y ) =?. Bestimmen Sie m so, daÿ die Gerade y = mx + den Kreis x + y = berührt. Welhe Koordinaten hat der jeweils zugehörige Berührungspunkt? Zusätzlihe Aufgaben zum Selbststudium:. Berehnen Sie λ derart, daÿ der Abstand der Punkte A = (; ; λ) und B = (; ; ) gleih 9 ist.. Wie groÿ müssen a und b sein, damit die Vektoren a = (a; ; ) T und b = ( ; b; ) T senkreht auf dem Vektor d = (; ; ) T stehen?. Es seien a = x y und b = x + λ y mit x = ( ; ; ; ) T und y = (; ; ; ) T. Berehnen Sie λ so, daÿ die Vektoren a und b orthogonal sind.. Von einem Ekpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten gezogen. Bestimmen Sie den Winkel zwishen diesen Geraden.. Geben Sie jeweils die Parameterdarstellung der Geraden an, die durh den Punkt P = (; ; ) gehen und (a) parallel zur z-ahse verlaufen, (b) durh den Ursprung gehen, () orthogonal zur y-zebene verlaufen, (d) parallel zur x-yebene verlaufen. 6. Gegeben ist das Dreiek mit den Ekpunkten A = ( ; ), B = (6; ) und C = (; 6). (a) Berehnen Sie die Koordinaten der Seitenmittelpunkte. (b) Stellen Sie die Gleihungen der Seitenhalbierenden auf. 7. In welhem Punkt und unter welhem Winkel shneiden sih die beiden Geraden 9 g : r (t) = + t und g : r (s) = + s Geben Sie sowohl die Parameterdarstellung als auh die parameterfreie Form der Ebenengleihung an der Ebene, die gegeben ist durh die Punkte P = (; ; ), P = (; ; ) und P = (7; 9; ).

4 9. Gegeben seien die folgenden beiden Ebenen: E : r (s, t) = + s + t E : r (u, v) = + u 7 + v a und Für welhes a R sind die Ebenen identish, für welhes a R stehen sie orthogonal zueinander?. Geben Sie die parameterfreie Darstellung der Ebene E : ax+by+z = d an, bezüglih der die Punkte P = (; ; ) und Q = ( ; ; ) spiegelsymmetrish liegen. Welhen Abstand haben diese Punkte zur Ebene E?. Wie lautet die Gleihung des Kreises mit Mittelpunkt (; ) auf dem der Punkt P = (6; ) liegt?. Der Kreis um den Ursprung mit Radius r = wird von der Geraden y = x geshnitten. Berehnen Sie die Länge s und den Mittelpunkt S der herausgeshnittenen Sehne.

5 Shriftlihe Aufgaben: Abgabe in den Übungen der 7. Semesterwohe: 7. Gegeben seien die Vektoren a = (; ; ) T und b = (; ; ) T. a) Bestimmen Sie die Summe und das Skalarprodukt dieser Vektoren. b) Ermitteln Sie einen Vektor, der sowohl auf a als auh auf b senkreht steht. ) Berehnen Sie den Fläheninhalt des Dreieks, das von a und b aufgespannt wird. d) Berehnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, welhes von a, b und dem Vektor d = ( ; ; ) T aufgespannt wird. 7. Die Punkte A = (; ; ), B = (; 6; ) und C = (; ; ) seien die Ekpunkte eines Dreieks im R. Berehnen Sie den Umfang des Dreieks. Ist das Dreiek rehtwinklig? (Begründung!) Abgabe in den Übungen der 8. Semesterwohe: 8. Gegeben seien die Punkte P = ( ; ; ) und P = (; ; ) im Raum. Bestimmen Sie alle Punkte P = (x; y; z) des Raumes, die von P und P den gleihen Abstand haben, d.h. für die gilt P P = P P. 8. Gegeben seien die drei Punkte P = (; ; ), P = (; ; ) und P = (; ; ). a) Zeigen Sie, daÿ diese drei Punkte niht auf einer Geraden liegen. b) Welhen Winkel shlieÿen die Vektoren OP und OP ein? 8. Die Geraden g und g seien gegeben durh g : r(t) = + t b g : r(s) = + s a t R s, a, b R. a) Ist es möglih, a und b so zu wählen, daÿ die Geraden parallel sind? (Begründung!) b) Ist es möglih, a und b so zu wählen, daÿ sih die Geraden shneiden. Wenn ja, dann geben Sie a und b sowie die Koordinaten vom Shnittpunkt an. Abgabe in den Übungen der 9. Semesterwohe: 9. Gegeben seien die Gerade g : r(t) = + t 7 und die drei Punkte P = (; ; ), P = (; ; ) und P = (; ; ). a) Geben Sie die parameterfreie Gleihung der Ebene E an, in der diese drei Punkte liegen. b) Ermitteln Sie den Durhstoÿpunkt der Geraden g durh die Ebene E. ) Geben Sie die Gerade an, die durh den Durhstoÿpunkt verläuft und senkreht auf E steht.

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