Gymnasium Landau Q11 Mai Extremwertprobleme. L Lx2 4x 3 2
|
|
- Klemens Bauer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Gymnasium Landau Q11 Mai 01 Etremwertprobleme 1 Ein gleihshenkliges Dreiek ABC mit der Basislänge und den Shenkellängen b wird aus einem Draht der Länge L gebogen, dh +b L b h C b A B (a) Beweise für die Dreieksflähe A die Beziehung A() L L 4 3 (b) Berehne 0 so, dass A( 0 ) die maimale Dreieksflähe ist Untersuhe, um welhes besondere Dreiek es sih im Fall 0 handelt () Drüke die maimale Flähe A( 0 ) durh L aus und vereinfahe so weit wie möglih (L Lösung: (a) b L ) L b h 4 L A() 1 h L 4 (L 4) L L (L 4) L 4 3 (b) A() ist maimal, wenn der Radikand f() L 4 3 maimal ist f () L 1 (L 6) f () oder L 6 f ( 1 ) L > 0 (Minimum), f () L 4 f ( ) L 4L 6 L < 0 (Maimum) Also: 0 L 6 () Aus 0 folgt b L L 6 L 3 und L, dh das Dreiek ist gleihseitig 3 L L A( 0 ) L (L 4 0) L L ( 6 L 4L ) L 6 L L 6 3 L L 1
2 Die Lihtgeshwindigkeit für vershiedene Medien beträgt n, wobei 3,0 108m s die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum und n die Brehungszahl des Mediums ist Zeigen Sie, dass die Aussage dasliht nimmt denweg mit der minimalen Laufzeit äquivalent zu folgenden Gesetzen der geometrishen Optik ist: (a) (b) s y α 1 s 1 s y 1 y α 1 α y 1 α 1 s 1 1 (a) Bei der Refleion von Liht ist der Einfallswinkel gleih dem Refleionswinkel (b) Bei der Brehung von Liht an Grenzflähen gilt sinα 1 sinα n n 1 Lösung: (a) t s 1 +s 1 +y 1 + (l 1 ) +y 0 dt 1 sinα 1 sinα d 1 s 1 s (b) t s 1n 1 + s n n 1 1 +y 1 α 1 α + n (l 1 ) +y 0 dt n 1 1 n n 1sinα 1 n sinα d 1 s 1 s n 1 n sinα sinα 1 3 Zerlegen Sie 15 so in eine Summe, dass das Produkt maimal ist Lösung: p() (15 ) p () ,5 Maimum, da der Graph von p() eine nah unten geöffnete Parabel ist 4 Aus einem Draht der Länge 10 m wird das Kantenmodell eines Quaders hergestell Die Seite b ist doppelt so lang wie die Seite Wie groß muss die Länge der Seite gewählt werden, damit das Volumen des Quaders maimal wird Lösung: b,a 30 3 V() (30 3) V () , Maimum, da V (6) > 0 und V (7) < 0
3 5 DiePunkte ( f())aufdemgraphender Funktionf() 4 +1erzeugen mit den Punkten X( 0), Y(0 f()) und dem Koordinatenursprung O(0 0) ein Rehtek der Flähe A() (a) Berehnen Sie die Punkte des Graphen der Funktion f() mit waagrehter Tangente (b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f() und zeihnen Sie für einen Punkt das zugehörige Rehtek ein () Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an, bei dem die Flähe des Rehteks maimal ist Lösung: (a) f () , /3 ±1 (b) () A () ( f()) / 1 10 (6± 36 0) 1 10 (6±4) 1 1, A () 0 3 1, A (1) > 0, also Minimum A ( 1 5 ) ( < 0, also Maimum Also: P 1 ) 5 5 0,64 6 Betrahten Sie ein Dreiek mit den Eken A( a b), B(a b) und C(0 1), dessen Eken auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt M(0 0) und Radius 1 liegen (a 0) Lösung: (a) (a) Zeihnen Sie die Dreieke für a 0,; 0,5; 0,7 (1 5m) (b) Berehnen Sie allgemein die Flähe A(ϕ) des Dreieks Verwenden Sie zur Beshreibung den Winkel ϕ zwishen MB und der -Ahse (ϕ < 0, wenn B oberhalb der -Ahse) () Für welhen Winkel ist die Flähe des Dreieks maimal? TIP: Verwenden Sie os ϕ 1 sin ϕ und den Satz von Vieta! (b) A(ϕ) osϕ (1+sinϕ), ϕ [ 90 ;90 ] () A (ϕ) sinϕ (1+sinϕ)+os ϕ sinϕ sin ϕ+1 sin ϕ 1 sinϕ sin ϕ (1 sinϕ)(1+sinϕ) 0 1 Fall: sinϕ 1 Für sinϕ 1 folgt A(ϕ) 0, also kein Maimum! Fall: sinϕ 1 ( ϕ 30!) Bei ϕ 30 liegt ein Maimum vor, da A(0 ) 1, A(90 ) 0 und A(30 ) ,99 7 Aus einem Baumstamm mit kreisförmiger Quershnittsflähe (Durhmesser d, Länge l) soll ein Balken (Breite b, Höhe h, Länge l) (a) mit maimalem Volumen herausgeshnitten werden Welher Prozentsatz des Balkens wird genutzt? 3
4 (b) mit maimaler Tragfähigkeit herausgeshnitten werden Die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportionalzubh Welher Prozentsatz desbalkens wirdgenutzt? Lösung: (a) b +h d V(b) b d b l Da das Volumen immer positiv ist, ist V(b) genau dann maimal, wenn V (b) b (d b ) l maimal ist b 1 d 64% des Baumes werden genutzt (b) bh b (d b ) ist maimal, wenn b 1 3 d 60% des Baumes werden genutzt 8 Shwerpunkt einer Limonadendose (a) Wo liegt der Shwerpunkt einer vollen und einer leeren Dose? (b) Bis zu welher Höhe muss man die Dose austrinken, damit der Shwerpunkt möglihst niedrig liegt und daher die Dose am besten stehen bleibt () Welher Wert ergibt sih für die Shwerpunktshöhe, wenn die Dose eine Höhe von 16m und eine Masse von 100g hat Die ganze Limonade soll eine Masse von 500g haben Lösung: (a) Shwerpunkt jeweils bei H (H: Dosenhöhe) (b) S(h) m D H +m L h H h m D +m L H h m DH +m L h m D H +m L h S (h) 0 m L h +m D Hh m D H 0 h 1 m L ( m D H ±H ) m D (m D +m L ) Da der Term unter der Wurzel größer als m D ist und für h nur positive Werte sinnvoll sind, folgt h 1 ( m D H +H ) m D (m D +m L ) m L () h 0,8989H 4,6m 9 (a) Wann wird das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe maimal? (b) Wann wird die Summe zweier Zahlen mit konstantem Produkt minimal? Lösung: (a) a+b konst a b a a f(a) 1 Lösungsweg: f (a) a 0 a 1, f (a) < 0 Also: Produkt maimal für a 1 Lösungsweg: f(a) ist eine nah unten geöffnete Parabel f(a) maimal am Sheitel ( ) (b) a b konst a+b a+ a f(a) f (a) 1 a 0 a ±, f (a) a 3 1 Fall: > 0, d h a und b haben gleihes Vorzeihen Für a,b > 0 ist f (a) > 0 und damit erhält man für a b ein Minimum Für a,b < 0 ist f (a) < 0 und damit erhält man für a b ein Maimum Fall: < 0 f (a) > 1, also kein Etremum 4
5 10 Legen Sie die Punkte M und N auf den Shenkeln eines Winkels α mit Sheitel S so fest, dass bei konstanter Flähe des Dreieks SMN die Länge MN minimal ist Lösung: Mit m SM > 0 und n SN > 0 folgt A 1 mnsinα mn A sinα und m A nsinα MN m +n mnosα 4A n sin α +n 4A f (n) 0 n 4 4A sin α n A sinα, m tanα f(n) A sinα 11 Wie muss man einen Stab der Länge l in zwei Stüke zerbrehen, damit das aus den Teilstüken gebildete Dreiek maimale Flähe hat? Lösung: l a + b Die Dreieksflähe A absinα ist bei festem a und b maimal, wenn die Teilstüke einen Winkel von 90 einshließen A(a) ab al a 1 Lösungsweg: A (a) l a 0 a 1 l, A (a) < 0, also Maimum für a b 1 l Lösungsweg: A(a) ist eine nah unten geöffnete Parabel Damit wird das Maimum am Sheitel ( 1 l 1 4 l ) angenommen 3 Lösungsweg: Das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe ist maimal, wenn die zwei Zahlen gleih groß sind 1 In welhem Rehtek mit gegebenem Fläheninhalt A hat die Diagonale minimale Länge? Lösung: Seitenlängen des Rehteks: a, b A ab d (a) a + A a Minimum von d bei ( A,A) Minimum für a b A, dh Quadrat 13 Welher Punkt des Graphen der Funktion f() minimalen Abstand? 1+ 1 hat vom Punkt P(0 3) Lösung: ( ) d() (0 ) gibt den Abstand eines Punktes A( f()) von P an d() und damit auh d() (da d() 0) hat nur ein Minimum bei P(0 1) 5
6 14 Wie muss ein kegelförmiges Sektglas gestaltet werden, damit bei gegebenem Volumen V möglihst wenig Material benötigt wird? Lösung: Mantelflähe: A(r) rsπ r 4 π + 9V r A(r) minimal g(r) r 4 π + 9V r minimal g (r) 4π r 3 18V 3V r 3 0 r r 0 3 π g (r) 1π r + 54V h 0 3V r0 π r 0 r 4 > 0 A hat bei r 0 ein Minimum 15 Zwei Kanäle mit den Breiten a und b stoßen rehtwinklig zusammen Wir suhen die maimale Länge L, die ein Baumstamm haben kann, damit er gerade noh um die Eke gebraht werden kann Wir rehnen mit einem idealisierten Stamm der Dike null a A p (a) Drüken Sie r AB p+q durh aus und berehnen Sie L y q (b) Berehnen Sie L speziell für die Fälle a b, a b und b a () Zeihnen Sie r() für a 1 und b Beweisen Sie für diesen Fall, dass g() + eine Asymptote von r() ist b B Lösung: (a) r() ( 1+ b ) a +, r () 3 ba a + r () 0 0 a 3 b 1 3 r () < 0 für < 0 und r () > 0 für > 0 rel Min von r bei 0 L r( 0 ) ( )3 a 3 +b 3 (b) a b L a () r() a b L b b a L 4,16a ( 1+ ) 1+ (+)
7 lim [r() (+)] lim lim [ Hospital lim (+) ( )] (+) In einer Gemeinde gilt aus gestalterishen und wärmetehnishen Gründen für die Maße eines Hauses folgende Verordnung (siehe Abbildung): V sei das Volumen des Hauses (umbauter Raum ohne Keller) und Adie gesamte Oberflähe einshließlih Dah aber ohne die Grundflähe Die Breite, die Wandhöhe h, die Giebelhöhe g und die Länge y müssen so gewählt werden, dass h s g g 3 8 ; h 5 8 und A bei gegebenem V minimal ist y (a) Drüken Sie V durh und y aus und lösen Sie das Ergebnis nah V auf Drüken Sie s durh aus und beweisen Sie dann mit einer detaillierten Rehnung folgende Beziehung: A() V 13 (b) Für welhes, ausgedrükt durh V, ist die Bauordnung erfüllt? Nahweis der ArtdesEtremums niht vergessen! Berehnen SieauhdasVerhältnis k y für ein Haus, das den Forderungen der Bauordnung genügt () Berehnen Sie, y, h und g für ein der Bauordnung genügendes Haus mit dem Volumen V 540,8m 3 und zeihnen Sie die Vorderfront des Hauses im Maßstab 1 : 00 Lösung: (a) V y, y 16V 13, s 5 8 7
8 (b) A () V V A () , k y () 8m, y 10,4m, h 5m und g 3m 17 Wir betrahten alle möglihen Quader mit den Kantenlängen, y und z und dem konstanten Volumen V Gesuht ist der Quader mit der kleinsten Oberflähe (a) Drüken Sie die Oberflähe A eines Quaders durh, y und V aus (b) A kann als Funktion von mit dem Parameter y aufgefasst werden, dh A A y () Für welhes y ist A y () minimal? () Die Funktion F(y) ist definiert durh F(y) A y ( y ) F(y) ist also die Oberflähe des Quaders mit der Kante y, dessen Oberflähe minimal ist Den Quader mit der insgesamt kleinsten Oberflähe bei gegebenem Volumen V findet man durh Minimieren von F Um welhen Quader handelt es sih dabei? Lösung: (a) A y () [ y + V y + V ] (b) A y () [ y V ] 0 y () F(y) A y ( y ) F (y) [ V y + V ] y V y [ V y V y ] 0 y 3 V Damit gilt auh y 3 V und z V y 3 V, Würfel!! Pa / Ki 8
In dieser Aufgabenserie wollen wir die Lösungswege diskutieren bei. Extremalwertaufgaben (mit Nebenbedingungen)
Analysis-Aufgaben: Differentialrechnung 8 In dieser Aufgabenserie wollen wir die Lösungswege diskutieren bei Extremalwertaufgaben (mit Nebenbedingungen) Theoretische Grundlagen: Beispiel zur Vorgehensweise:
Mehr6. Trigonometrie. sin α = b c. cos α = a c. tan α = b a. 6.1 Rechtwinklige Dreiecke
6. Trigonometrie Trigonometrie bedeutet dem Wortsinn nah Dreieksmessung. Mit Hilfe von trigonometrishen Funktionen lassen sih alle Probleme, die man im Prinzip zeihnerish lösen kann, auh rehnerish bewältigen.
MehrVORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN. Dienstag
Übungen Dienstag -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN Dienstag Blk (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vrkurs-Hmepage aufgeshaltet!). Lösen Sie die flgenden linearen Gleihungssysteme
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fahbereih Grundlagenwissenshaften Prof. Dr. Viola Weiÿ Wintersemester /6 Übungsaufgaben Serie : Vektorrehnung. Gegeben seien die Vektoren a =, b =, = (a) Berehnen Sie a + b und a
Mehr1. Überlege, ob die gegebenen Körper mit einem geometrischen Grundkörper
1 Anwendungsaufgaen Geh ei Anwendungsaufgaen zu Körpererehnungen folgendermaßen vor: 1. Üerlege, o die gegeenen Körper mit einem geometrishen Grundkörper üereinstimmen.. Findest du keine Üereinstimmung,
Mehr12. Lagrange-Formalismus III
Übungen zur T: Theoretishe Mehanik, SoSe3 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45. Lagrange-Formalismus III Dr. James Gray James.Gray@hysik.uni-muenhen.de Übung.: Eine Gitarrensaite Wir betrahten
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 45: Gesucht ist die Schnittmenge der beiden Zylinder
Übungen ur Ingenieur-Mathematik III WS 2/2 Blatt..22 Aufgabe 45: Gesuht ist die Shnittmenge der beiden Zlinder 2 + 2 =, 2 + 2 =. (i Zeigen Sie, dass die Shnittmenge aus wei geshlossenen Kurven besteht
MehrVektoren werden addiert, bzw. subtrahiert, indem man die einander entsprechenden Komponenten addiert bzw. subtrahiert.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.9. Vektoren im kartesishen Koordinatensystem Rehengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion von Vektoren: Vektoren werden addiert,
MehrMathematik - Oberstufe
Mathematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu linearen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gmnasium Shwerpunkt: Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aleander Shwarz www.mathe-aufgaben.om
MehrDownload. Mathe an Stationen. Mathe an Stationen. Das Kreisgeobrett in der Sekundarstufe I. Marco Bettner, Erik Dinges
Download Maro Bettner, Erik Dinges Mathe an Stationen Das in der Sekundarstufe I Downloadauszug aus dem Originaltitel: Sekundarstufe I Maro Bettner Erik Dinges Mathe an Stationen Umgang mit dem Geobrett
MehrPrinzipiell die gleichen Regeln wie bei Bruchzahlen! z.b. zum Addieren und Subtrahieren: Erweitern auf den Hauptnenner
Gmnasium Stein Grundwissenkatalog Mathematik Jahrgangsstufe 8 Wissen/Können Rehnen mit Bruhtermen (Grundrehenarten) Lösen von Bruhgleihungen Einfaher Spezialfall: Auflösen von Formeln Funktionen Zur Angabe
Mehr2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8
MehrDas gefaltete Quadrat
=.? @ / - + Das gefaltete Quadrat Eine Aufgabe aus der Japanishen Tempelgeometrie 21. September 2004 Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Entlang der Linie EF wird das Quadrat gefaltet,
MehrCheckliste Sinus, Kosinus, Tangens
Chekliste Sinus, Kosinus, Tngens Nr. K 1 K K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 Kompetenz Ih knn... in einem rehtwinkligen Dreiek Kthete, Gegenkthete und Hypotenuse estimmen in einem rehtwinkligen Dreiek die Seitenverhältnisse
Mehr6. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 6 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen
6. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Shulolympiade) Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 6. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Shulolympiade) Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrehnungen
MehrWir fragen nun, wie die Faltlinie die senkrechten Rechtecksseiten teilt. 1 b
Hans Walser, [0005a], [050] Falten im Rehtek Anregungen: E.-R. M., S. und H. S., S. Eke hinauffalten In einem Hohformat-Rehtek falten wir die rehte untere Eke auf die obere Kante. Dann falten wir wieder
MehrWir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.
Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.
MehrAchtung: Im Nenner eines Bruches darf nie die Null stehen!!
Grundwissen 6. Jahrgangsstufe Im Folgenden werden wir an Hand von einigen uns selbst gestellten Fragen, die wir auh gleih beantworten wollen, die wihtigsten Grundbegriffe zu Brühen wiederholen, die du
MehrZentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 2010/2011. Mathematik A. 24. Mai :00 Uhr
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fahhohshulreife im Shuljahr / Mathematik 4. Mai 9: Uhr Mathematik - Lösungsexemplar. ufgabe Differential- und Integralrehnung Gegeben
Mehr2 Sehnen, Sekanten und Chordalen
Sehnen, Seanten und Chordalen Übersiht.1 Sehnen- und Seantensatz................................................... 7. Chordalen.................................................................. 3 Weitere
MehrTag der Mathematik 2010
Zentrum für Mathematik Tag der Mathematik 2010 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt
Mehr4. a b c p q h (a) 3 cm 4 cm. (c) 8 cm 10 cm (d) 5 cm 6 cm (e) 3 cm 4 cm (f) 9 cm 4 cm (g) 8 cm 4 cm (h) 6 cm 4 cm
Flähensätze im ehtwinkligen Deiek Die Resultate sind, falls nötig, auf Nahkommastellen zu unden. Wiedeholungsaufgaben 1. Wiedehole den Inhalt de dei Sätze zum ehtwinkligen Deiek, ohne eine algebaishe Fomel
Mehr1.4 Trigonometrie I. 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2. 2 Die trigonometrischen Funktionen 4
1.4 Trigonometrie I Inhaltsverzeichnis 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2 2 Die trigonometrischen Funktionen 4 2.1 Was sind trigonometrischen Funktionen?........................... 4 2.2
Mehra) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.
0.05.0 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z.. + 80 0 ) Stufenwinkel sind gleih (z..
Mehr9 Pythagoras Tripel. Nach Pythagoras gilt: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheden a und b und der Hypothenuse c ist.
9 Pthagoras Tripel Nah Pthagoras gilt: In einem rehtwinkligen Dreiek mit den Katheden a und b und der Hpothenuse ist Speziell gilt die sogenannte a + b = Zimmermannsregel. Drei Latten der Länge 3, 4 und
Mehr3. Mathematikschulaufgabe
Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne
MehrP 2. Bemerkung 3: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise überlassen wir dem der Lust hat.
Hans Walser, [20150318] Brennpunkte der Ellipse 1 Worum geht es? Eine Ellipse sei durh fünf Punkte,...,P 5 gegeben (Abb. 1). P5 P 4 P 3 Abb. 1: Eine Ellipse durh fünf Punkte Gesuht sind die Brennpunkte
MehrPythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs
Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den
MehrGrundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren
MehrFit in Mathe. Mai Klassenstufe 9. Körper ohne π
Thema Musterlösungen 1 Körper ohne π Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus den Seiten a, b und c, wobei der Seite c ein rechter Winkel gegenüberliegt. Berechne jeweils die Länge der fehlenden Seite(n).
MehrPotenzen mit gleichen Grundzahlen werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert und die Grundzahlen beibehält. a n a m = a m+n. a...
Mathematikskript: Steven Passmore Potenzgesetze Einleitung Einen Ausdruk mit einer Hohzahl nennt man Potenz Beispiele: 3 5,9 x, a n ). Zunähst ist eine Potenz eine vereinfahte Shreibweise für die vielfahe
MehrGeometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
MehrI. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE
I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen
MehrÜbungsblatt 11. PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, und
Übungsblatt 11 PHYS11 Grundkurs I Physik, Wirtshaftsphysik, Physik Lehramt Othmar Marti, othmar.marti@uni-ulm.de. 1. 6 und 3. 1. 6 1 Aufgaben 1. In Röhrenfernsehgeräten werden Elektronen typisherweise
MehrMuss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
9 Rettungsring Umfng und Fläheninhlt von Figuren Begriffe: Umfng und Fläheninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Fläheninhlt () erehnet werden? Kreuze n! u B C D E F G H Zun eines Grundstüks Rsenflähe eines
Mehr10. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum.
10. Grassmannshe Vektoren und die Drehungen im Raum. Wir haen in der vorigen Vorlesung gesehen wie man Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion als Figuren in der Eene perspektivish genau darstellen
MehrRheinische Fachhochschule Köln
Rheinishe Fahhohshule Köln Matrikel-Nr. Nahname Dozent Ianniello Semester Klausur Datum Fah Urteil BM3 I, WS11 K8 März 12 Kinetik+Kinematik Genehmigte Hilfsmittel: Ergebnis: Punkte Tashenrehner Literatur
MehrDOWNLOAD. Vertretungsstunde Mathematik Klasse: Figuren und Körper. Marco Bettner/Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
DOWNLOAD Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunde Mathematik 3 5. Klasse: auszug aus dem Originaltitel: Rechtecke 1 1. Konstruiere ein Rechteck mit a = 8 cm und b = 5 cm. 2. Notiere alle Eigenschaften
MehrKlausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
Studiengang Modul Art der Leistung Klausur-Kennzeihen Betriebswirtshat Wirtshatsmathematik Prüungsleistung Datum.6.8 BB-WMT-P 86 Bezüglih der Anertigung Ihrer Arbeit sind olgende Hinweise verbindlih: Verwenden
MehrRaumgeometrie - schiefe Pyramide
1.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Seite [AC]. Die Höhe [MS] ist 6 cm lang. 1.1 Zeichne ein Schrägbild
MehrWellen und Dipolstrahlung
Wellen und Dipolstrahlung Florian Hrubesh 7. März 200 Inhaltsverzeihnis Wellen. Wellen im Vakuum........................... 2.. Lösung der Wellengleihung................. 2..2 Energietransport / Impuls
MehrSymmetrien und Winkel
5-04 1 10 mthuh 1 LU reitsheft + weitere ufgen «Grundnforderungen» Symmetrien 301 Zeihne Grossuhsten des lphets, sortiert nh vier Typen: hsensymmetrish punktsymmetrish hsen- und punktsymmetrish weder hsen-
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen
Mehr1.4 Trigonometrie. 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2. 2 Die trigonometrischen Funktionen 3
1.4 Trigonometrie Inhaltsverzeichnis 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2 2 Die trigonometrischen Funktionen 3 2.1 Was sind trigonometrischen Funktionen?.......................... 3 2.2 Die
MehrKlasse ST13a FrSe 14 ungr. Serie 16 (Potenz und Taylorreihen) a) Bestimmen Sie die Grenzen des Konvergenzbereichs der Potenzreihe: 3 k (x 4) k (3k 2)2
Klasse STa FrSe 4 ungr MAE Serie 6 Potenz und Taylorreihen Aufgabe a Bestimmen Sie die Grenzen des Konvergenzbereihs der Potenzreihe: p b Entwikeln Sie die Funktion f vier Summanden. k k 4 k k k in eine
Mehr7. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum.
7. Grassmannshe Vektoren und die Drehungen im Raum. Wir haen im vorigen Kapitel gesehen, wie man Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion als Figuren in der Eene perspektivish genau darstellen
MehrDOWNLOAD. Geometrie 7./8. Klasse: Das Dreieck. Mathetraining in 3 Kompetenzstufen. Brigitte Penzenstadler. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
DOWNLOD rigitte Penzenstadler 7./8. Klasse: Das Dreiek Mathetraining in 3 Kompetenzstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutshen Urheberreht.
MehrMathematik Lösung KA Nr Seite 1
9.11.17 Seite 1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der TR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Es ist
MehrQuadratische Funktionen
Quadratische Funktionen Aufgabe 1 Verschieben Sie die gegebenen Parabeln so, dass ihr Scheitelpunkt in S liegt. Gesucht sind die Scheitelpunktsform und die allgemeine Form der Parabelgleichung a) y = x²,
MehrMathematik 2 SS 2016
Mathematik 2 SS 2016 2. Übungsblatt Gruppe 1 18. Man zeige, dass die Gleichung f(x, y) = y 5 e y (2x 2 + 3) sin y + x 2 y 2 x cos x = 0 in einer Umgebung des Punktes P (0, 0) nach y aufgelöst werden kann,
MehrQuadratische Funktionen
Quadratische Funktionen Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Funktionsgleichung =. Die graphische Darstellung der quadratischen Funktion ergibt eine Kurve, welche Normalparabel heisst und folgendes
MehrEin Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.
Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks
Mehr6 Rotation und der Satz von Stokes
$Id: rotation.tex,v 1.8 216/1/11 13:46:38 hk Exp $ 6 Rotation und der Satz von Stokes 6.3 Vektorpotentiale und harmonishe Funktionen In 4.Satz 2 hatten wir gesehen das ein auf einem einfah zusammenhängenden
MehrÄnderungen in Zweitauflagen von Buch, Arbeits- und Theorieheft und Begleitordner
Änderungen in Zweituflgen von uh, reits- und Theorieheft und egleitordner lle uflgen des Shüleruhes, des reits- und Theorieheftes und des egleitordners lssen sih prolemlos neeneinnder verwenden. Shüleruh
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
Mehr10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
MehrSerie 4: Flächeninhalt und Integration
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
Mehr2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke
MehrDreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:
gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines
MehrDownload. Hausaufgaben Geometrie 1. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
ownlod Otto Myr Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ownloduszug us dem Originltitel: Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ieser ownlod ist ein uszug us dem Originltitel
MehrDie Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac.
Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nah der relativistishen Dynamik von Dira. Von 0. Klein in Kopenhagen. (Eingegangen am 24. Dezember 1928.) Es wird die Reflexion von Elektronen an einem
MehrPhysik. Lichtgeschwindigkeit
hysik Lihtgeshwindigkeit Messung der Lihtgeshwindigkeit in Versuhsaufbau Empfänger s Spiegel Sender l osition 0 d Abb. Versuhsdurhführung Die Spiegel werden auf die osition 0 m geshoben und die hase mit
MehrMathematik Trigonometrie Einführung
Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek'
MehrMathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/19 14:39:24 hk Exp $
$Id: dreie.tex,v 1.37 2017/06/19 14:39:24 h Exp $ 2 Dreiee 2.3 Einige spezielle Punte im Dreie In der letzten Sitzung haben wir drei unserer speziellen Punte eines Dreies behandelt, es steht nur noh der
MehrErkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
MehrAufgaben für die Klassenstufen 11/12
Aufgaben für die Klassenstufen /2 Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE, OE2, OE3 Aufgaben OG, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe OE: (a) 64 kleine
MehrWürde man nun versuchen die Aufgabe 6.2 des vorigen Abschnittes rechnerisch zu lösen, so stößt man auf folgende noch unlösbare Gleichung: h 1
0 Die Logarithmusfunktion Würde man nun versuhen die Aufgae 6. des vorigen Ashnittes rehnerish zu lösen, so stößt man auf folgende noh unlösare Gleihung: h 0,88 www.etremstark.de 0,88 h Gesuht ist also
Mehr1. Berechnen Sie in den folgenden Strahlensatzfiguren die unbekannten Stücke! z y 23
Trigonometrie 1: Strhlensätze 1. Berehnen Sie in den folgenden Strhlenstzfiguren die uneknnten Stüke! ) 2.5 4 5 9 ) 4 3 5 10 z w 7 9 7 z 23 11 w 13 15 d) 18 3 e) 8 6 8 4 3 z 2. Welhe der folgenden Verhältnisse
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrMittlerer Schulabschluss 2013
Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Bildung, Jugend und Sport Brandenburg und der Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und
MehrBerufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste
MehrRepetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
Mehr1 Integration im R Das Volumen im R 3
1 Integrtion im 2 1.1 s Volumen im 3 Wir wollen ds Volumen zwishen dem Grphen einer Funktion f : und der x y Ebene bestimmen. bei werden, wie bei univriten Funktionen, die Teile oberhlb der x y Ebene positiv
MehrDownload. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Downlod Mro Bettner, Erik Dinges Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Downloduszug us dem Originltitel: Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Dieser Downlod
MehrMusterlösung Nachholsemestrale Ex
Musterlösung Nahholsemestrale Ex 2.4.2008 Musterlösung Nahholsemestrale Ex 2.4.2008 2 Aufgabe Wir berehnen zuerst den Ort des abarishen Punktes, d.h. seinen Abstand r a vom Erdmittelpunkt. Das von Erde
MehrFerienkurs Experimentalphysik 2
Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommersemester 25 Gabriele Semino, Alexander Wolf, Thomas Maier sblatt 4 Elektromagnetishe Wellen und spezielle Relativitätstheorie Aufgabe : Leistung eines Herzshen Dipols
MehrMITTLERER SCHULABSCHLUSS AN DER MITTELSCHULE 2015 MATHEMATIK. 24. Juni :30 Uhr 11:00 Uhr. Platzziffer (ggf. Name/Klasse):
MITTLERER SCHULABSCHLUSS AN DER MITTELSCHULE 2015 MATHEMATIK 24. Juni 2015 8:30 Uhr 11:00 Uhr Pltzziffer (ggf. Nme/Klsse): Die Benutzung von für den Gebruh n der Mittelshule zugelssenen Formelsmmlungen
MehrM 2 - Übungen zur 2. Schularbeit
M - Üungen zur. hulreit ) erehne ds Ergenis! ) ( ) + ) ( ) ) ( ) ( ) + 0 ) erehne! )( ) + ( ) ) ( + ) )( ) ( ) + ) hreie ds Ergenis ls gemishte Zhl! (Kürze ereits vor dem Multiplizieren!) ) ) ) Löse die
MehrAufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten
Ausgewählte Aufgaben zur Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten Lehrplanabschnitt M 9.6 Fortführung der Raumgeometrie Ausführliche Hinweise zur Verwendung der folgenden
MehrTrigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht. 1 Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Seite 36 39 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht II Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht Sinus und Kosinus am Einheitskreis S. 36 a) P 3 ) β = 50 S. 38
MehrDas geteilte Quadrat
1 Ds geteilte Qudrt Puzzles from round the world by Dik Hess 19. Juli 001 Gegeben sei ein Qudrt mit der Seitenlänge. Ds Qudrt soll in zwei untershiedlihe Rehteke geteilt werden, wobei ds kleine Rehtek
MehrMusterlösung zur Probeklausur zur Geometrie
UNIVERSITÄT ULM Institut für Zhlentheorie un Whrsheinlihkeitstheorie Musterlösung zur Proeklusur zur Geometrie Prof. Dr. Helmut Mier, Hns- Peter Rek Gesmtpunktzhl: 3 Punkte, Punkte= % keine Age. Gi Definitionen
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
MehrAufgaben zur Vorbereitung auf die Landesrunde der Mathematik-Olympiade für Klasse 7 - Teil 2
Bezirkskomitee Chemnitz zur Förderung mthemtish-nturwissenshftlih begbter und interessierter Shüler www.bezirkskomitee.de Aufgben zur orbereitung uf die Lndesrunde der Mthemtik-Olympide für Klsse 7 - Teil
MehrMagnetostatik Aufgabe Abb
78 3. Magnetostatik 3.2.2 Aufgabe 3.2.2 Abb. 3.. Eine stromdurhflossene, ebene Leitershleife erzeugt eine magnetishe Induktion B(r). Das Stromelement bei P wehselwirkt mit dem von anderen Stromelementen
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrDie Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1
edeutung+winkelsumme 1 Winkelsumme Kpitel 5: Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke
MehrTrigonometrie und Planimetrie
Trigonometrie und Planimetrie Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben (F): Fortgeschritten mittelschwere Aufgaben (E): Experten schwere Aufgaben
MehrLösungen zu delta 10. Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7
Lösungen zu delta 0 Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) L = {} b) L = {0; } c) L = { } d) L = { 6; } e) L = {,; } f) L = { } g) L = {,; } h) L = {7; 0} i) L = { } Summenwert aller Lösungen:.
MehrDer Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
MehrQuantenmechanikvorlesung, Prof. Lang, SS04. Comptoneffekt. Christine Krasser - Tanja Sinkovic - Sibylle Gratt - Stefan Schausberger - Klaus Passler
Quantenmehanikvorlesung, Prof. Lang, SS04 Comptoneffekt Christine Krasser - Tanja Sinkovi - Sibylle Gratt - Stefan Shausberger - Klaus Passler Einleitung Unter dem Comptoneffekt versteht man die Streuung
MehrSpezielle Relativitätstheorie
Spezielle Relativitätstheorie Fabian Gundlah 13. Oktober 2010 Die spezielle Relativitätstheorie untersuht die vershiedenen Sihtweisen von Beobahtern in Inertialsystemen. Ein Inertialsystem ist dabei ein
Mehr112 C.1 Aufbau der Blasenkammer. ˆ Aufgabe 1: Funktionsweise einer Blasenkammer Erkläre die Aufgaben der einzelnen Bestandteile.
112 C.1 Aufbau der Blasenkammer C Arbeitsblätter C.1 Aufbau der Blasenkammer Der Aufbau der Blasenkammer Abbildung 1: Aufbau der Blasenkammer ˆ Aufgabe 1: Funktionsweise einer Blasenkammer Erkläre die
MehrLichtgeschwindigkeit
Vorbereitung Lihtgeshwindigkeit Carsten Röttele 2. Dezember 20 Inhaltsverzeihnis Drehspiegelmethode 2. Vorbereitung auf den Versuh......................... 2.2 Justierung der Apparatur und Messung...................
Mehr5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen
.. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Etrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild
Mehr19.2 Kurvenintegrale. c a. wobei die euklidische Norm bezeichnet. Weiterhin heißt
Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler 19.2 Kurvenintegrale Für eine stükweise C 1 -Kurve : [a, b] D, D R n, und eine stetige skalare Funktion f : D R hatten wir das Kurvenintegral 1. Art definiert
MehrRaumgeometrie - gerade Pyramide
1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne
MehrAufgaben für die Klassenstufen 11/12
Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe
MehrM 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)
M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier
Mehr