Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 2010/2011. Mathematik A. 24. Mai :00 Uhr

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Gerda Bader
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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fahhohshulreife im Shuljahr / Mathematik 4. Mai 9: Uhr

2 Mathematik - Lösungsexemplar. ufgabe Differential- und Integralrehnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f vierten Grades in der allgemeinen Form 4 f(x) = ax + bx + x + dx + e mit a, b,, d, e, x R ; (a ). a) Zeigen Sie, dass die dritte bleitung der Funktion durh den Funktionsterm f (x) = 4ax 6b beshrieben werden kann. b) Berehnen Sie die Koeffizienten a, b,, d und e für eine gesuhte Funktion f, die folgenden Bedingungen genügt:. Die Punkte ( ) und B ( ) liegen auf dem Graphen von f.. Die erste bleitung der Funktion f an der Stelle x = ist gleih.. Die zweite bleitung der Funktion f an der Stelle x = ist gleih. 4. Die dritte bleitung der Funktion f an der Stelle x =, 5 ist gleih 6. Geben Sie den entsprehenden Funktionsterm für f an. 4 (zur Kontrolle: f(x) = x x x + x + ) ) Berehnen Sie die Koordinaten der Hoh-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f. d) Zeigen Sie durh Rehnung, dass x = und x = zwei der insgesamt drei Nullstellen der Funktion f sind. Zeihnen Sie den Graphen von f im Intervall x,5 in ein kartesishes Koordinatensystem. e) Berehnen Sie die Maßzahlen der Fläheninhalte der Flähen, die vom Graphen der Funktion f und der x-hse vollständig begrenzt werden. Geben Sie diese als Gesamtflähe in Fläheneinheiten (FE) an. ufgabenteil a) b) ) d) e) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite von Shuljahr /

3 Mathematik - Lösungsexemplar a) f(x) = ax 4 + bx + x + dx + e; f (x) = 4ax + bx + x + d f (x) = ax + 6bx + ; f (x) = 4ax + 6b b) ( ) e = B ( ) = 6a + 8b d f ( ) = = 4a + b + d f () = = a + 6b + f (,5) = 6 6 = a + 6b = 4a + b + 8 = 48a 4b 8 = 4a b = 4a + b = b b = a = = d = 4 f(x) = x x x + x + ) Extrempunkte: f (x) = 4x x 6x + ; f (x) = x 6x 6; f (x) = 4x 6 f (x) = 7 aus b) x E = ; 4x 7x + = ; x x + = 4 4 xe,59; xe,6 f ( ) = > TP; f (,59) 4,8 > TP; f (,6) 6,65 < HP T( ); T (,59,6); H(,6,8) Wendepunkte: x 6x 6 = ; x x = ; x W = ; x W = f () = 8 ; f ( ) = 8 5 W( ); W ( ) (,5,94) Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite von Shuljahr /

4 Mathematik - Lösungsexemplar d) Nahweis der Nullstellen: f ( ) = + + = ; f() = + + = Skizze: e) = (x x x + x + )dx = x x x x x = ( ) =, = (x x x + x + )dx = x x x x x = = =, 5 5 ges =,45 Die Gesamtflähe beträgt,45 FE. Summe 5 Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 4 von Shuljahr /

5 Mathematik - Lösungsexemplar. ufgabe Zahlenfolgen 8n Gegeben ist eine Zahlenfolge ( a n ) durh an = ; n N *. 4n + a) Ermitteln Sie die ersten fünf Folgeglieder von ( a n ) und stellen Sie diese in einem geeigneten Koordinatensystem graphish dar. b) Weisen Sie das Monotonieverhalten der Folge ( a n ) nah. ) Bestimmen Sie den Grenzwert g der Folge ( a n ). Zeihnen Sie g in das Koordinatensystem aus ufgabe a) ein. d) Berehnen Sie, von welhem Folgeglied ab alle weiteren Glieder in der ε -Umgebung des Grenzwertes g liegen, wenn ε = ist. e) Berehnen Sie, welhes Glied der Folge ( a n ) den Wert f) Gegeben ist eine weitere konvergente Zahlenfolge ( b n ) mit b n 6n + * = ; n N und, d R. n + d 9 hat. 98 Wählen Sie zwei Zahlen für und d derart aus, dass die dadurh entstehende Folge streng monoton fallend wird. ufgabenteil a) b) ) d) e) f) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 5 von Shuljahr /

6 Mathematik - Lösungsexemplar a) Folgeglieder: 7 7 a = =,5; a =,9; a =,54; a4 =,7; a =,8 Graphishe Darstellung b) Vermutung: streng monoton steigend: b n < b n + 8n 8(n + ) < ; 4n + 4(n + ) + 8n 8n + 6n + 7 < 4n + 4n + 8n + 4 (8n )(4n + 8n + 4) < (8n + 6n + 7)(4n + ) 84 < 68n < n Die Vermutung wurde bestätigt. 4 ) Grenzwert g lim 8n 8 = n = 4n + 4 Gerade g = zeihnen Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 6 von Shuljahr /

7 Mathematik - Lösungsexemplar d) 8n < 4n + < 4n + 4n + > 4n > 9; n > 5,5; n >,86 (negativer Wert entfällt) ntwort: b n = liegen alle weiteren Glieder in der ε - Umgebung des Grenzwertes für ε =. 4 e) 8n 9 = 4n n² 98 = 77n² + 9 n ² = 69 n = (negativer Wert entfällt) f) Shüler wählen Zahlen für und d derart, dass gilt: > d. Summe Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 7 von Shuljahr /

8 Mathematik - Lösungsexemplar. ufgabe Extremwertaufgabe Im Fahunterriht wurden zur Prüfungsvorbereitung Lernhilfen als Karteikärthen der Größe m x 7 m angefertigt. Diese Sammlung soll in mehreren Shahteln den nahfolgenden Shülerjahrgängen zur Verfügung gestellt und eventuell ergänzt werden. Shülergruppen fertigen dafür nah oben offene quaderförmige Shahteln aus Pappe an. Höhe Skizze niht maßstäblih Länge a Breite b a) Die Shüler der Gruppe shlagen folgende Maße für eine Shahtel vor: Länge: m, Breite: m, Höhe: 5,5 m. Berehnen Sie den Materialverbrauh für 5 dieser Shahteln, wenn für Vershnitt und Klebefalze pro Shahtel ein Mehrverbrauh von 8 % einkalkuliert werden muss. Wie viele Shahteln ließen sih theoretish aus m² Pappe herstellen? b) Um die Karten auh nebeneinander anordnen zu können überlegen die Shüler der Gruppe nun, die Shahtel jeweils doppelt so lang und nur halb so breit wie von Gruppe vorgeshlagen zu bauen. Die Höhe bleibt unverändert. Um wie viel Prozent verändert sih der Materialverbrauh bei gleihem Mehrbedarf von 8 % für Vershnitt und Falze? In welhem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Shahtelvarianten der Gruppen und zueinander? ) Die Mathematiker der Gruppe legen für die Shahtel ein Volumen von 64 m³ fest. Sie wollen die Shahteln mit geringstem Materialverbrauh herstellen. Berehnen Sie die Maße einer Shahtel, wenn deren Länge a doppelt so groß wie die Höhe sein soll. Falze und Vershnitt bleiben hierbei unberüksihtigt. (zur Kontrolle: 8 () = + 4 ) ufgabenteil a) b) ) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 8 von Shuljahr /

9 Mathematik - Lösungsexemplar a) geg.: a = b = m ges.: = 5,5 m Lös.: = ab + b + a = + + = 6 8 % = ˆ 9,4 + 9,4 = 9,4 Der Verbrauh für 5 Shahteln beträgt 588,6 m. m = m : 9,4 = 5,5 Theoretish reiht das Material für 5 Shahteln. b) geg.: a = m ges.:, V b = = 5,5 m Lös.: = ab + b + a = ,5 = 4,5 8 % = ˆ,88 +,88 = 457,8 Der Materialmehrverbrauh beträgt 6,67 %. Volumen: V = 5,5 V = 5,5 5, 5 V = 665,5 V = 665, 5 Man erhält ein Verhältnis der beiden Volumina von V : V = :. Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite 9 von Shuljahr /

10 Mathematik - Lösungsexemplar ) Minimaler Oberfläheninhalt O = a + b + ab NB : a = ; 64 = a b = b ; b = 8 O () = O () = 8 ; O () = = ; 8 = 8; = 56 O (5,4) = 8 + =,99 > ; 5,4 für a = =,86; b =, ; = 5,4 wird minimal Die Länge beträgt,86 m, die Breite,85 m und die Höhe 5,4 m. (Ohne Rundung wären die Seiten a und b gleih lang). Summe Mathematik Zentrale Fahhohshulreifeprüfung Seite von Shuljahr /

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