Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Name, Vorname: Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 7 / 8 Prüfungsfach: Mathematik (Vorschlag ) Prüfungstag: 6. November 7 Prüfungszeit: Zugelassene Hilfsmittel: llgemeine rbeitshinweise: Spezielle rbeitshinweise:.. ( Zeitstunden) Klasse: Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Grafikdisplay, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede ufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Denken Sie an eine übersichtliche, saubere und fehlerfreie Wiedergabe, da es sonst Punktabzüge geben kann. Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der ufgabensatz Mathematik besteht aus ufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt. Besonders gute sprachliche und grafische Darstellungen, Übersichtlichkeit und Sauberkeit bei der Bearbeitung der Prüfungsaufgaben können zu einem Sonderpunkt führen (Bonusregelung). Grobe Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder Übersichtlichkeit und Sauberkeit können zu einem Punktabzug von einem Punkt führen (Malusregelung). Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte ufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Durch die / den Prüfungsvorsitzende/n festgelegt: Bonus / Maluspunkt: +/- Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Punkte Punkte Name / Kurzzeichen:

2 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabe : Kurvendiskussion Bewertungseinheiten: Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: 3 5 f ( x) = x x + 3 ; x IR.. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f... Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen..3. Bestimmen Sie die Nullstellen von f... Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Extrem - und Wendepunkte..5. Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ 5;5]. ( ) ( ).6. Ermitteln Sie die zugehörigen Tangenten in den Punkten P f ( ) und Q ( ) bestimmen Sie deren Schnittpunkt. f und ufgabe : Rekonstruktion von Funktionen Bewertungseinheiten: 9 In der Darstellung sehen Sie die Schnittzeichnung des Kelches eines Glases. Die ngaben sind in Millimeter. Sowohl die äußere als auch die innere Begrenzung des Glases sind darstellbar in der Form y = f x = ax +. ( ) c.. Legen Sie die Zeichnung in ein geeignetes Koordinatensystem... Erstellen Sie beide Funktionsgleichungen..3. Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche des Glaskelches.

3 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabe 3: Extremwertaufgabe Bewertungseinheiten: 5 Einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge cm soll ein Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang müssen die Rechteckseiten sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird? 3. Berechnen Sie die bmessungen des Rechtecks bei maximalem Flächeninhalt. 3. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. ufgabe : Integralrechnung Bewertungseinheiten: 6 Es sind die drei Funktionen f, g und h durch ihre Funktionsgleichungen gegeben: ( ) = + ; g( x) = x + x + ; x ( ) 6 ; f x x x x h x = x + x.. Ermitteln Sie die Scheitel der Parabeln und ihre Schnittpunkte... Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f, g und h im ersten Quadranten und schraffieren Sie die von allen drei Graphen eingeschlossene Fläche..3. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

4 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 b hier nicht für die Hand der Schülerin / des Schülers

5 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung. Da f ( x) = f ( x) (bzw. alle Exponenten von x gerade) ist der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-chse.. Der höchste Exponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand ax positiv ist, ergibt sich: lim f( x) = und lim f( x) =. x x ufgabe : Kurvendiskusion.3 Nullstellen: x ±, x = 8 N / = N 3 / ± 3. Extrempunkte, notw. und hinr. Bedingung HP( ), TP ( ), TP ( ) 5 Wendepunkte, notw. Und hinr. Bedingung WP ( ), WP ( ) f( ) = f() = f ( ) = ; f () = y = x+ ; y = x+ T T Schnittpunkt : y x S = ; S( ) = y T T 6

6 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung ufgabe : Rekonstruktion von Funktionen. Zeichnung: 3. äußere Begrenzung: f ( ) 8 a x y ax = = + P ( 3 ) = a + 8 f x x ( ) 5 a = a = 8 = innere Begrenzung: f ( x) y ax 6 f x i = = + P ( 3 ) = a i ( ) = 5 x Schnittfläche: a = = ( ) ( ) 5 6 x + 8 dx 5 x = [ 9 ] [ 5 ] 5 x + 8x x + 6x = ( 76,67) ( ) = 3,3 mm =,3cm 3. Hauptbedingung: = b h Nebenbedingungen: (5 b/) / 5 = h / h Dreieck h Dreieck = 5 3 h = b/ dx ufgabe 3: Extremwertaufgabe 6 3

7 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung Zielfunktion: NB in HB eingesetzt und vereinfacht (b) = 5 3 b - 3 b²/ bleitungen: (b) = b (b) = - 3 Notwendige Bedingung für Extremstellen (x) = führt auf die Lösung b max = 5. Testen mit der. bleitung: (5) < rel. Maximum Berechnen der zweiten Variablen: h max,33 bmessungen: b max = 5 cm ; h max,33 cm 3. max,65 cm². Scheitel der Parabeln: f : S ( 3) g: S ( 5) Schnittpunkte: x x + = x + x + ufgabe : Integralrechnung x y = = x y = =. 6

8 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 7 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung.3 Fläche: = [ g( x) f ( x) ] dx = ( x + x) 3 [ x x ] 3 + = ( ) = 8 = FE 3 dx 6 ( ) ( ) = g x h x dx ( 3 ) 3 3 = 3 + = x + x dx x x x 8 3 ( 3 6 ) ( 3 ) = + + = 6 FE 8 5 ges = = =,5 FE 3 6