Checkliste Sinus, Kosinus, Tangens

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1 Chekliste Sinus, Kosinus, Tngens Nr. K 1 K K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 Kompetenz Ih knn... in einem rehtwinkligen Dreiek Kthete, Gegenkthete und Hypotenuse estimmen in einem rehtwinkligen Dreiek die Seitenverhältnisse sin, os und tn ufstellen und fehlende Längen erehnen. mithilfe von Seitenverhältnissen fehlende Winkel erehnen. die oen eshrieenen Kompetenzen in Shufgen nwenden in Körpern rehtwinklige Dreieke nutzen, um Längen und Winkel zu erehnen. zeihnerishe Lösungen im geeigneten Mßst nfertigen. mit dem Sinus- und Kosinusstz fehlende Winkel und Seitenlängen in einem elieigen Dreiek erehnen. mithilfe der Seitenverhältnisse im rehtwinkligen Dreiek und dem Sinus- und Kosinusstz Vermessungsufgen im Gelände durhführen, skizzieren und erehnen Aufge -- - o + ++ L. Aufge 1,, 3 und 4 Aufge 1,, 3 und 4 Aufge 5, 6 und 7 Aufge 8, 9, 10, 11, 1, 13 und 14 Aufge 15, 16 und 17 Aufge 18, 19 und 0 Aufge 1,, 3 und 4 Aufge 1 und 13; Aufge 5,6 und 7 Liee Shülerin, lieer Shüler, reite zunähst ds Grundwissen zum Them Trigonometrie durh. Dnh ereite den Test 1 und werte ihn us. Im Anshluss solltest du deine Kompetenzen mithilfe dieser Chekliste einshätzen. Nun musst du die Inhlte üen, die du niht siher eherrsht. Zum Shluss wird mit dem Test dein Wissen getestet. Dnh ist die Wiederholungseinheit geshlossen.

2 Grundwissen Trigonometrie Seitenverhältnisse im rehtwinkligen Dreiek Dividiert mn in einem rehtwinkligen Dreiek zwei Seitenlängen durheinnder, so erhält mn eine Dezimlzhl (ohne Mßeinheit). Eine solhe Zhl nennt mn ein Seitenverhältnis. Diese Seitenverhältnisse sind für ähnlihe Dreieke gleih. Im rehtwinkligen Dreiek sind die Seitenverhältnisse in Ahängigkeit von den Winkeln (niht dem 90 Winkel) mit Hilfe der Verhältnisse sin, os und tn erfsst und mit dem Tshenrehner rufr. Die Seitenverhältnisse sin, os und tn werden usgehend von einem niht 90 Winkel wie folgt definiert: Gegenkthete Ankthete sin ( Winkel ) os( Winkel) tn ( Winkel) Hypotenuse Hypotenuse Gegenkthete Ankthete Für ds oen geildete Dreiek mit dem Winkel γ 90 ergeen sih folgende Seitenverhältnisse: sin( α) os( α) tn( α) sin( β ) os( β ) tn( β ) Mn sollte sih die oen ufgeführten Seitenverhältnisse merken. Die links stehenden Formeln gelten nur für ds oen geildete Dreiek mit der speziellen Lge des 90 Winkels. Berehnung von fehlenden Seiten im rehtwinkligen Dreiek: Sind in einem rehtwinkligen Dreiek drei voneinnder unhängige Größen gegeen, so knn ds Dreiek konstruiert werden. Mithilfe der Trigonometrie können die fehlenden Seiten erehnet werden. Beispiel: Gegeen: 7m, α 65, γ 90 Berehnung von : sin( α) sin(65 ) 7 7 sin(65 ) 7 6,344 Berehnung von : os( α) os(65 ) 7 7 os(65 ) 7,96 Bei der Areit mit dem Tshenrehner muss sihergestellt werden, dss der Tshenrehner uf Winkeleinge (degree) eingestellt ist.

3 Berehnung von fehlenden Winkeln im rehtwinkligen Dreiek: Die Winkelsumme im eenen Dreiek eträgt 180. Vie le fehlenden Winkel können mit dem Winkelsummenstz erehnet werden. Auh wenn von einem rehtwinkligen Dreiek nur der rehte Winkel und zwei Seiten gegeen sind, können Winkel erehnet werden. Der Tshenrehner liefert zu einem gegeenen Winkel ein entsprehendes Seitenverhältnis (Tsten sin, os oder tn) und uh umgekehrt zu einem Seitenverhältnis (Dezimlzhl) einen Winkel (Tsten nd sin, nd os oder nd tn ) Beispiel: osα 5,01 osα 7,45 osα 0,674 α 47,74 Berehnungen in eenen Figuren: Viele geometrishe Figuren können nur dnn mithilfe der Trigonometrie erehnet werden, wenn mn sie so zerlegt, dss rehtwinklige Dreieke entstehen, in denen gerehnet werden knn (in denen drei Größen gegeen sind). Häufig werden die folgenden Figuren zerlegt: Gleihshenkliges Dreiek, gleihseitiges Dreiek, symmetrishes und unsymmetrishes Trpez, Prllelogrmm, usw.. Auh ds llgemeine Dreiek knn durh eine Höhe in zwei rehtwinklige Dreieke zerlegt werden. Berehnungen im llgemeinen Dreiek: Im llgemeinen Dreiek können sin, os und tn niht ngewndt werden. Hier knn mit dem Sinus- und dem Kosinusstz gerehnet werden. Sinusstz: sinα sin β sin β sin γ Kosinusstz: osα os β osγ Zwei Seiten verhlten sih im elieigen Dreiek wie die Sinus Werte.

4 Üungen zu den Kompetenzen K 1 und K Aufge 1: Stelle für die drgestellten rehtwinkligen Dreieke die Seitenverhältnisse sind, os und tn für den eingezeihneten Winkel uf. ) ) ) Aufge : Berehne die gesuhten Größen. Fertige für jede Teilufge eine Plnungsskizze n. ) Gegeen: 7,8m α 48 γ 90 ) Gegeen: β 90 γ 7 1m ) Gegeen: α 90 6,7 m γ 38 Gesuht:? Gesuht:? Gesuht: und? Aufge 3: Berehne die fehlenden Seiten im rehtwinkligen Dreiek. Seite 1,5 km Seite 7,5 m 7,4 m Seite 5,8 m 4,35 dm Winkel α Winkel β ,5 90 Winkel γ Aufge 4: Berehne fehlende Seiten. Wähle seler eine sinnvolle Bezeihnung für die Eken und Seiten und nutze die Vrilen ei der Berehnung.

5 Üungen zu den Kompetenzen K 3 Aufge 5: Berehne die fehlenden Winkel in den gegeenen rehtwinkligen Dreieken. Aufge 6: Berehne die fehlenden Seiten und Winkel in den folgenden rehtwinkligen Dreieken. Fertige zu jeder Teilufge eine entsprehende Plnfigur n. Teilufge ) ) ) d) Winkel α 90 Winkel β Winkel γ 90 Seite 1,5 m,3 km 1 dm 5, m Seite 5,6 km 5,8 dm Seite 10, m 3,4 m Aufge 7: Fülle die Telle us. Teilufge ) ) ) d) e) f) Winkel 30 sin α 0,6 0, os α 0,33 tn α,56 0,95 Üungen zur Kompetenz K 4 Aufge 8: Ein gleihseitiges Dreiek ht eine Seitenlänge von 7,5 m. Berehne die Höhe und den Fläheninhlt dieses Dreieks. Aufge 9: Ein gleihseitiges Dreiek ht eine Höhe von 10 m. ) Fertige eine Skizze n. ) Berehne die Seitenlänge dieses gleihseitigen Dreieks. ) Berehne den Fläheninhlt des Dreieks.

6 Aufge 10: In einem gleihshenkligen Dreiek sind die Seiten 8, m lng. Der Winkel γ eträgt 5. ) Fertige eine Skizze dieses Dreieks n. ) Berehne die Seite. ) Berehne Umfng und Fläheninhlt dieses Dreieks. Aufge 11: Ein senkreht stehender St mit einer Länge von,80 m wirft einen Shtten von,50 m. ) Skizziere die Sitution. ) Unter welhem Winkel treffen die Sonnenstrhlen uf der Erdoerflähe uf? Aufge 1: Wie reit ist der Fluss? Aufge 13: Um die Breite eines Flusses zu estimmen, wird eine Hilfslinie AH festgelegt und gemessen. Mit einem Theodolit (Gerät zum genuen Messen von Winkeln) werden vom Stndpunkt S us die Winkel in Rihtung A und B gemessen. Wie reit ist der Fluss?

7 Aufge 14: Ein Kreis mit dem Rdius von 7 m enthält ein regelmäßiges Fünfek. ) Fertige eine Skizze n. ) Berehne den Umfng und den Fläheninhlt. ) Mithilfe desselen Kreises wird ein regelmäßiges 10 Ek konstruiert. Jutt ehuptet, der Fläheninhlt und der umfng dieses regelmäßiges 10 Eks ist genuso groß wie der Umfng und der Fläheninhlt des regelmäßigen Fünfeks. Nimm zu dieser Meinung egründet Stellung. Üungen zur Kompetenz K 5 Aufge 15: Ein Würfel esitzt eine Seitenlänge von 6 m. Berehne die Länge der Rumdigonlen und verdeutlihe deine Berehnungen durh eine Skizze. 5 m Aufge 16: Ageildet ist ds Netz einer Pyrmide mit qudrtisher Grundflähe. ) Berehne die Höhe der Seitenflähe h s ) Berehne die Körperhöhe der Pyrmide h k. ) Berehne die Oerflähe der Pyrmide (O). d) Berehne ds Volumen der Pyrmide (V P ). 4, m 4, m 5 m Aufge 17: Ds geildete Netz ergit ein Prism. ) Beshreie den Körper, der durh den Zusmmenu des Netzes entstehen knn. ) Berehne die eingezeihnete Höhe im Trpez. ) Berehne den Fläheninhlt der Rehteke A,B und C. Ermittle dzu lle notwendigen Mße im Trpez.,8 m d) Berehne Oerflähe und Volumen des Körpers. B 65 C Trpez 7, m 45 A, m

8 Üungen zur Kompetenz K 6 Aufge 18: Konstruiere ds Dreiek mit 1,5 m, 4,8 m und γ 90 im Mßst 1:100. Berehne lle niht ngegeenen Winkel und Seiten. Vergleihe die erehneten mit den gemessenen Werten. Aufge 19: ) Konstruiere ein regelmäßiges Fünfek in einem Kreis mit einem Rdius von 8 m. ) Miss und erehne die Höhe h eines Dreieks im regelmäßigen Fünfek. ) Berehne den Fläheninhlt dieses regelmäßigen Fünfeks. Aufge 0: Ein Tennisll ht einen Durhmesser von 8 m. Die Firm Tennisss stellt diese Bälle her und verkuft sie in einer Pkung, in die sehs Bälle verpkt sind. Die Verpkung ist ein Prism mit einem regelmäßigen Ahtek ls Grundflähe. ) Skizziere die Grundflähe einer solhen Verpkung. Die Tennisälle sollen gerde hineinpssen. ) Konstruiere die Grundflähe einer 1:1 und führe lle notwendigen Berehnungen durh. Üungen zur Kompetenz K 7 Aufge 1: Berehne die fehlenden Größen in den geildeten Dreieken. C 4,9 m D ,4 m E H 4,1 m K A 38 8 m B F G Aufge : Berehne im spitzwinkligen Dreiek ABC die fehlenden Stüke. Fertige jeweils eine Plnfigur n. ) 5,6m 0,9m γ 8 ),5m,4m β 47 ) 5,6m 3,4m γ 78

9 Aufge 3: Berehne die fehlenden Größen in den geildeten Dreieken. C E 105 B 37 H 4,1 m 4,7 m 6 m ,4 m A F D G K Aufge 4: Berehne in den folgenden niht rehtwinkligen Dreieken die fehlenden Stüke m; α 13 ; 1, 5m. 7dm; 8,dm; γ ,5m; β 78 ; 9, 5m Üungen zur Kompetenz K 8 Aufge 5: Ein Heißluftllon wird von zwei Stndpunkten us, die 45 m useinnder liegen, unter den Höhenwinkeln 38 und 5 ngepeilt. Welhe Höhe ht die Gondel des Heißluftllons üer dem Gelände? Aufge 6: Um die Entfernung zwishen zwei Geländepunkte A und B zu estimmen, wird im Geländepunkt B eine Messltte ufgestellt. Am Theodoliten wird der Winkel α, 7 gemessen. Der Theodolit ht eine Stndhöhe von 1,70 m. An der Messltte wird die Entfernung BH, 5m gemessen. Bestimme die horizontle Entfernung vom Punkt A nh B. 45 m Aufge 7: Um die Länge eines Sees zu estimmen wird uf einer grdlinigen Strße eine Streke AB 340m gestekt. Von den Messpunkt A und B werden jeweils zwei Winkel zu den Peilpunkten C und D estimmt. ) Trge die gemessenen Winkel in die Skizze ein. ) Zeihne die zu estimmende Streke CD ein ) Bestimme mit diesem Messungen die Länge des Sees in mehreren Rehenshritten

10 C D BAD 3 BAC 9 ABC 8 ABD 95 A 340 m B

11 Test 1: Aufge 1: Berehne die fehlenden Größen in den drgestellten Dreieken. Aufge : Aufge 3:

12 Test : Aufge 1: Berehne die fehlenden Größen in den drgestellten Dreieken. Aufge : Aufge 3: