Grundkurs. Formelsammlung. Vorkurse der Hochschule Aalen. September 2018

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1 Vorkurse der Hohshule Alen Grundkurs Formelsmmlung Septemer 2018 Ds Grundlgenzentrum (GLZ) wird us Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forshung (BMBF) unter dem Förderkennzeihen 01PL16015 im Rhmen des Gemeinsmen Bund-Länder-Progrmms für essere Studienedingungen und mehr Qulität in der Lehre gefördert. Die Verntwortung für den Inhlt dieser Veröffentlihung liegt eim GLZ.

2 Formelsmmlung Grundkurs Inhlt Inhlt Kpitel 1: Rehenregeln... 2 Intervlle... 2 Rehnen mit Beträgen... 2 Grundgesetze der Addition und Multipliktion... 2 Multipliktion von Klmmertermen... 2 Ausmultiplizieren Fktorisieren / Ausklmmern... 3 Binomishe Formeln... 3 Bruhrehnen... 3 Kpitel 2: Potenzen, Wurzeln, Logrithmen... 4 Potenzen... 4 Wurzeln/Rdizieren... 4 Logrithmen... 5 Kpitel 3: Gleihungen... 6 Linere Gleihungen... 6 Qudrtishe Gleihungen... 6 Zerlegung in Linerfktoren... 6 Polynomdivision... 7 Regeln für ds Lösen von Gleihungen... 7 Kpitel 4: Geometrie, Trigonometrie... 8 Strhlensätze... 8 Winkel und Bogenmß... 8 Dreiekseigenshften... 8 Stz des Pythgors... 9 Winkelerehnung im Dreiek... 9 Trigonometrie... 9 Kpitel 5: Funktionen Grundegriffe Linere Funktionen (Gerden) Qudrtishe Funktionen (Preln) Potenzfunktionen Polynome Nullstellen Trnsltion und Sklierung Wurzelfunktionen Betrgsfunktion Exponentil- und Logrithmusfunktion Trigonometrishe Funktionen Index Grundlgenzentrum GLZ Seite 1

3 Formelsmmlung Grundkurs Rehenregeln Kpitel 1: Rehenregeln Intervlle: geshlossenes Intervll [, ]:={x R x } (G1.1) 6 offenes Intervll hloffene Intervlle { (, ): = {x R < x < } [, ): = {x R x < } (, ]: = {x R < x } (G1.2) (G1.3) Rehnen mit Beträgen für 0 Definition: = { (G1.4) für < 0 7 ist der Astnd von und uf der Zhlengerden. Grundgesetze der Addition und Multipliktion 9 Addition Multipliktion Kommuttivgesetz + = + = (G1.5) Assozitivgesetz ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( ) (G1.6) Distriutivgesetz ( + ) = + Wihtige Regeln: Kommuttivgesetz: Auf die Reihenfolge der Opernden kommt es niht n! Distriutivgesetz: Punktrehnung vor Strihrehnung! Klmmern zuerst! Multipliktion von Klmmertermen 10 Vorzeihenregeln: Plus Plus = Plus (G1.7) Minus Minus = Plus Minus = Minus Plus = Plus Minus Minus (G1.8) (G1.9) (G1.10) Zwei Klmmern werden miteinnder multipliziert, indem mn jedes Glied der einen Klmmer mit jedem Glied der nderen Klmmer multipliziert.

4 Formelsmmlung Vorkurs Rehenregeln Ausmultiplizieren Fktorisieren / Ausklmmern ( + )( + d) = + d + + d (G1.11) x + x + x = x ( + + ) (G1.12) 10/11 Binomishe Formeln ( + ) 2 = Binomishe Formel (G1.13) ( ) 2 = Binomishe Formel (G1.14) ( + )( ) = Binomishe Formel (G1.15) Bruhrehnen Ein Bruh esteht us Zähler und Nenner. = ( 0) (G1.16) 18 0 Sonderfälle: = ( 0), = 1, 0 ist niht definiert! (G1.17) 0 Erweitern: = (, 0) (G1.18) 19 Kürzen: = (, 0) (G1.19) 20 + ( + ) = = + ( 0) (G1.20) Merkregel: In Differenzen und in Summen kürzen nur die Dummen! Addition/Sutrktion: + d d d + = ( d 0) (G1.21) d 22 + d d + = (, d 0), (G1.22) d d heißt Huptnenner Multipliktion: d = (, d 0) (G1.23) 24 d Division: d = (,, 0) (G1.24) d = d d 25, 0 ist der des Kehrwert Bruhs, 0. Grundlgenzentrum GLZ Seite 3

5 Formelsmmlung Vorkurs Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Kpitel 2: Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Potenzen n = = p (G2.1) 3 n Fktoren heißt Bsis, n Exponent, p Potenzwert Vorrngregel: Potenzieren geht vor Multipliktion / Division (G2.2) 5 ( ) 2n = ( ) 2n+1 = 2n 2n+1 Addition/Sutrktion: r n ± s n = (r ± s) n (G2.3) 6 m+n Multipliktion: m n = (G2.4) 7 n n = ( ) n (G2.5) 8 Division: n m = n m (G2.6) 10 1 m = m (G2.7) 0 = 1 (G2.8) Der Exponent einer Potenz wehselt ds Vorzeihen, wenn mn den Kehrwert der Potenz ildet! n n = ( ) n (G2.9) 11 Potenzieren: ( n ) m = n m (G2.10) 13 Wurzeln/Rdizieren n Die n-te Wurzel us, geshrieen, ist definiert ls eindeutige Lösung x der Gleihung x n = : 20 x n n = x = mit 0 und x 0 (G2.11) n = 1 n. Wurzeln sind Potenzen mit rtionlem Exponenten. (G2.12) 21 Grundlgenzentrum GLZ Seite 4

6 Formelsmmlung Vorkurs Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Logrithmen Der Logrithmus zur Bsis, geshrieen log, ist definiert ls eindeutige Lösung x der Gleihung x = : 24 x = x = log () mit ; > 0 und 1 (G2.13) log ist der Exponent, mit dem ih potenzieren muss, um zu erhlten: log () = Sonderfälle: log () = 1, log (1) = 0, log (0) existiert niht (G2.14) 25 spezielle Bsen: Zehnerlogrithmus: log 10 () Kurzshreiweise: lg() (G2.15) 26 Ntürliher Logrithmus: log e () Kurzshreiweise: ln() (G2.16) Logrithmen von Produkten: log (u v) = log (u) + log (v) (G2.17) 28 log (u) log (v) Logrithmen von Quotienten: log ( u v ) = (G2.18) Logrithmen von Potenzen: log (u r ) = mit r R (G2.19) r log (u) 29 log () log () Bsiswehsel: log () = (G2.20) e x ln() 30 Spezilfälle: x = (G2.21) log ( r ) = r (G2.22) log ( 1 v ) = log (v) (G2.23) Grundlgenzentrum GLZ Seite 5

7 Formelsmmlung Vorkurs Gleihungen Kpitel 3: Gleihungen Linere Gleihungen Bestimmung der Lösung: x + = 0 ( 0 ) x = (G3.1) 3 Umformungen ei lineren Gleihungen (immer uf eiden Seiten!) Addition / Sutrktion Multipliktion / Division 0 Qudrtishe Gleihungen Lösung: Mitternhtsformel x 2 + x + = 0 ( 0 ), x 1,2 = ± (G3.2) Der Ausdruk 2 4 git die Anzhl der Lösungen: > 0: 2 4 = 0: 2 4 < 0: 2 reelle Lösungen 1 reelle Lösung 0 reelle Lösungen p-q-formel x 2 + p x + q = 0, x 1,2 = p (G3.3) 2 ± ( p 2 2 ) q Ahtung: Bei Anwendung der p-q-formel drf vor x 2 kein Fktor stehen! Sonderfll: x 2 + x = 0 ( 0 ), x ( x + ) = 0, x 1 = 0, x 2 = (G3.4) 9 Nullproduktstz: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Fktoren Null ist. Zerlegung in Linerfktoren Für jedes qudrtishe Polynom x 2 + x + = 0 mit den Nullstellen x 1, x 2 gilt: x 2 + x + = (x x 1 )(x x 2 ) (G3.5) 11 Grundlgenzentrum GLZ Seite 6

8 Formelsmmlung Vorkurs Gleihungen Polynomdivision Beispiel und Vorgehensweise siehe Skript 15 Regeln für ds Lösen von Gleihungen Die Lösungsmenge einer Gleihung verändert sih niht, 22 wenn mn uf eiden Seiten diesele Zhl ddiert oder sutrhiert wird. wenn eide Seiten mit derselen Zhl multipliziert oder durh diesele Zhl dividiert werden. Ausgenommen sind die Multipliktion mit Null und die Division durh Null, diese sind keine Äquivlenzumformungen. wenn mn eide Seiten zur gleihen Bsis logrithmiert oder exponiert. Grundlgenzentrum GLZ Seite 7

9 Formelsmmlung Vorkurs Geometrie, Trigonometrie Kpitel 4: Geometrie, Trigonometrie Strhlensätze 1. Strhlenstz: Werden zwei von einem Punkt P usgehenden Strhlen von zwei Prllelen geshnitten, so verhlten sih die Ashnitte uf dem einen Strhl wie die zugehörigen Ashnitte uf dem nderen Strhl. 2 = d P d (G4.1) 2. Strhlenstz: Werden zwei von einem Punkt P usgehenden Strhlen von zwei Prllelen geshnitten, so verhlten sih die Ashnitte uf den Prllelen wie die 4 vom Punkt P us gemessenen zugehörigen Ashnitte uf einem Strhl. = d P d (G4.2) Winkel und Bogenmß Umrehnung von Grdmß α in Bogenmß φ : π φ = α φ [RAD], α [Grd] (G4.3) Zusmmenhng zwishen Winkel und Bogenmß 1 r φ = = (G4.4) 1 r 12 r = φ r (G4.5) Dreiekseigenshften Die Winkelsumme der Innenwinkel im Dreiek eträgt immer 180 im Grdmß oder π im Bogenmß. (G4.6) 14 Gleihseitiges Dreiek C lle Seiten sind gleih lng: = = γ lle Winkel sind gleih: α = β = γ = 60 A α β B Grundlgenzentrum GLZ Seite 8

10 sin α sin α tn α Formelsmmlung Vorkurs Geometrie, Trigonometrie Gleihshenkliges Dreiek zwei Seiten sind zwei Winkel sind gleih lng: = gleih: β = γ A α C γ β B 14 Rehtwinkliges Dreiek esitzt einen rehten Winkel (90 ) A C B Stz des Pythgors Hypotenuse 2 = Gültigkeit nur ei Kthete 2 + Kthete 2 (G4.7) 15 rehtwinkligen Dreieken! Winkelerehnung im Dreiek Im rehtwinkligen Dreiek gilt: sin α = Gegenkthete Hypotenuse (G4.8) 17 os α = Ankthete Hypotenuse (G4.9) tn α = Gegenkthete Ankthete (G4.10) ot α = Ankthete Gegenkthete (G4.11) Trigonometrie Trigonometrie m Einheitskreis 18 r = 1 r = 1 α os α α os α sin α sin² α + os ²α = (G4.12) tn α = 1 (G4.13) os α Grundlgenzentrum GLZ Seite 9

11 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Kpitel 5: Funktionen Grundegriffe Eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlihen ist eine Vorshrift f, die x D R genu eine Zhl f(x) R zuordnet. jeder Zhl 3 : ist Teilmenge von, d.h. jedes Element der links stehenden Menge ist in der rehts stehenden Menge enthlten x: heißt Argument oder unhängige Vrile der Funktion f. f(x): heißt Funktionswert von f n der Stelle x. D R Definitionsmenge: Teilmenge der reellen Zhlen, n denen die Funktion usgewertet werden drf. W R Wertemenge: Menge der Funktionswerte Der Grph G einer Funktion ist die Punktemenge G {(x f(x)): x D, f(x) W} (G5.1) 6 Linere Funktionen (Gerden) Normlform: y = mx + (G5.2) 7 Bedeutung der Prmeter: y- Ahsenshnitt m : Steigung der Gerden Es gilt (Steigungsdreiek): m = Δy Δx = tn α (G5.3) Zwei-Punkte-Form: y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (G5.4) 8 Bedeutung der Prmeter: P 1 (x 1 y 1 ) und P 2 (x 2 y 2 ) : Koordinten von zwei Punkten uf der Kurve Es gilt: y 2 y 1 = Δy x 2 x 1 Δx = m Punkt-Steigungs-Form: y = m(x x 1 ) + y 1 (G5.5) 10 Grundlgenzentrum GLZ Seite 10

12 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Shnitt zweier Gerden: Zwei Gerden hen einen Shnittpunkt, flls m 1 m 2 Zwei Gerden hen keinen Shnittpunkt (sind prllel), flls m 1 = m 2 11 Zwei Gerden stehen senkreht (orthogonl) ufeinnder, flls m 1 m 2 = 1 Qudrtishe Funktionen (Preln) 12 Normlform einer Prel f(x) = x 2 + x + (G5.6) Produktform einer Prel: f(x) = (x x 1 )(x x 2 ) x 1, x 2 : Shnittpunkte der Prel mit der x-ahse (reelle Nullstellen) (G5.7) Sheitelpunktform einer Prel: f(x) = (x x S ) 2 + y S S(x S y S ): Koordinten des Sheitelpunktes S (G5.8) Potenzfunktionen 16 Die Funktion f(x) = x n mit n N heißt Potenzfunktion. n gerde n ungerde Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: R + Einzige Nullstelle: x N = 0 Funktionsgrph symmetrish zur y -Ahse Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: R Einzige Nullstelle: x N = 0 Funktionsgrph symmetrish zum Ursprung Grundlgenzentrum GLZ Seite 11

13 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Polynome Funktionen der Form f(x) = n x n + n 1 x n x + 0 mit n, n 1,, 1, 0 R, n N heißen Polynome. (G5.9) 17 Die höhste Potenz n heißt Grd des Polynoms. Die Zhlen n, n 1,, 1, 0 R, n N heißen Koeffizienten des Polynoms. Nullstellen x N D mit f(x N ) = 0 heißt Nullstelle von f. (G5.10) 19 Dies sind die Stellen uf der x-ahse, in denen der Grph von f die x-ahse shneidet. Nullproduktstz: (G5.11) f(x) g(x) = 0 f(x) = 0 oder g(x) = 0 Ein Produkt von Funktionen ist Null, wenn eine der Funktionen Null ist. Trnsltion und Sklierung Trnsltion in y-rihtung Trnsltion in x-rihtung 20 k > 0 Vershieung um k Einheiten nh oen k < 0 Vershieung um k Einheiten nh rehts f(x) + k: k < 0 { Vershieung um k Einheiten nh unten f(x + k): k > 0 { Vershieung um k Einheiten nh links f knn eine elieige Funktion sein! Grundlgenzentrum GLZ Seite 12

14 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Sklierung in y-rihtung Sklierung in x-rihtung 21 k > 1 vertikle Strekung um k k > 1 horizontle Stuhung um 1 k k f(x): k (0,1) vertikle Stuhung um k f(k x): k (0,1) horizontle Strekung { f knn eine elieige Funktion sein! { um 1 k Spiegelung n der y -Ahse Spiegelung n der x -Ahse 22 f(x) f( x) f(x) f(x) f knn eine elieige Funktion sein! Grundlgenzentrum GLZ Seite 13

15 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Wurzelfunktionen 25 n Die Funktion f(x) = x für n N heißt Wurzelfunktion. Eigenshften: Definitionsereih: Werteereih: R + R + n Nh Definition ist stets x Einzige Nullstelle: x N = 0 0. Betrgsfunktion 26 Die Funktion f(x) = x x für x 0 = { x für x < 0 heißt Betrgsfunktion. Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: R + Nh Definition ist stets x 0. Einzige Nullstelle: x N = 0 Exponentil- und Logrithmusfunktion 27 Die Funktion f(x) = e x heißt Exponentilfunktion. (e = 2,7182 heißt Eulershe Zhl). Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: R + \{0} e x > 0 für lle x R. e x esitzt insesondere keine Nullstellen. Grundlgenzentrum GLZ Seite 14

16 Formelsmmlung Vorkurs Funktionen Die Funktion g(x) = ln(x) heißt ntürliher Logrithmus (Logrithmusfunktion). Eigenshften: 27 Definitionsereih: Werteereih: Einzige Nullstelle: x N = 1 Rehenregeln: siehe Seite 5 Zusmmenhänge zwishen Exponentil- und Logrithmusfunktion: ln(e x ) = x für lle x R e ln (x) = x für lle x R + \{0} R R + \{0} Trigonometrishe Funktionen Eine Funktion heißt periodish mit der Periode T, flls gilt: f(x + T) = f(x) Die Funktion f(x) = sin(x) heißt Sinusfunktion. Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: [ 1; 1] periodish mit Periode 2π Nullstellen: x k = k π mit k Z Die Funktion g(x) = os(x) heißt Kosinusfunktion. Eigenshften: Definitionsereih: R Werteereih: [ 1; 1] periodish mit Periode 2π Nullstellen: mit k Z x k = π + k π 2 Grundlgenzentrum GLZ Seite 15

17 Formelsmmlung Vorkurs Index Index A Addtion von Brühen... 3 Addtion von Potenzen... 4 Assozitivgesetz... 2 Ausklmmern... 3 Ausmultiplizieren... 3 B Bsis... 4, 5 Bsiswehsel... 5 Betrg... 2 Betrgsfunktion Binomishe Formeln... 3 Bogenmß... 8 Bruhrehnen... 3 D Definitionsmenge Distriutivgesetz... 2 Division von Brühen... 3 Division von Potenzen... 4 Dreiekseigenshften... 8 E Einheitskreis... 9 Erweitern von Brühen... 3 Exponent... 4, 5 Exponentilfunktion F Fktorisieren... 3 Funktionen Betrgsfunktion Definitionsmenge Exponentilfunktion Funktionsvorshrift Grph Kosinusfunktion Linere Funktionen Logrithmusfunktion Nullstellen Polynome Potenzfunktionen Qudrtishe Funktionen Sinusfunktion Sklierung... 12, 13 Spiegelung Trnsltion Trigonometrishe Funktionen G Wertemenge Wurzelfunktionen Gerden... 10, 11 Gleihshenkliges Dreiek... 9 Gleihseitiges Dreiek... 8 Grph H Huptnenner... 3 I Intervlle... 2 K Kehrwert... 3 Kommuttivgesetz... 2 Kosinus... 9 Kosinusfunktion Kürzen... 3 L Linere Gleihungen... 6 Linerfktoren... 6 Logrithmen von Potenzen... 5 Logrithmen von Produkten... 5 Logrithmen von Quotienten... 5 Logrithmus... 5 Logrithmusfunktion M Mitternhtsformel... 6 Multipliktion von Brühen... 3 Multipliktion von Potenzen... 4 N Ntürliher Logrithmus... 5 Normlform einer Gerden Normlform einer Prel Nullproduktstz Nullstellen P Preln Periode Polynome Potenzen... 4 Potenzen, negtiver Exponent... 4 Potenzfunktionen Grundlgenzentrum GLZ Seite 16

18 Formelsmmlung Vorkurs Index Potenzieren... 4 Potenzieren von Potenzen... 4 p-q-formel... 6 Produktform einer Prel Punkt-Steigungs-Form Pythgors... 9 Q Qudrtishe Gleihungen... 6 R Rdizieren... 4, 5 Rehtwinkliges Dreiek... 9 S Stz des Pythgors... 9 Sheitelpunktform einer Prel Shnitt zweier Gerden Sinus... 9 Sinusfunktion Sklierung von Funktionen... 12, 13 Spiegelung von Funktionen Sutrktion von Brühen... 3 Sutrktion von Potenzen... 4 T Tngens... 9 Teilmenge Trnsltion von Funktionen Trigonometrie... 8, 9 Trigonometrishe Funktionen V Vorzeihenregeln... 2 W Wertemenge Winkelerehnung im Dreiek... 9 Winkelsumme... 8 Wurzelfunktionen Wurzeln... 4 Z Zähler... 3 Zehnerlogrithmus... 5 Zwei-Punkte-Form Grundlgenzentrum GLZ Seite 17