Trigonometrie. Theorie & Aufgaben

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1 Trigonometrie Theorie & Aufgen

2 Version vom 8. Ferur 017

3 1 Winkelmsse 1.1 Ds Grdmss Ds trditionelle System der Winkelmessung eruht druf, dss der volle Winkel 360 entspriht , Die Unterteilung des Grdmsses erfolgt im Sexgesimlsystem (60er-System), ds seinen Ursprung in der Mthemtik der Bylonier (. 000 v. Chr.) ht. 1 Grd = 60 Winkelminuten (1 = 60 ) 1 Winkelminute = 60 Winkelsekunden (1 = 60 ) Beispiel 1.1 (sexgesiml deziml) Stelle in dezimler Form dr = Beispiel 1. (deziml sexgesiml) Stelle.531 in sexgesimler Form dr. Es genügt, jeweils den gerohenen Anteil zu untersuhen: = = = = 51.6 Insgesmt:

4 1. Ds Gon Ein nderes System der Winkelmessung, ds huptsählih im Vermessungswesen ngewendet wird, ist ds Gon ( g ). In diesem System entspriht der volle Winkel 400 g. 175 g 00 g 15 g 150 g 100g 75 g 50 g 5 g 0 g, 400 g 5 g 50 g 75 g 300 g 35g 350 g 375 g Bruhteile eines Gon werden im Dezimlsystem drgestellt. Beispiel 1.3 Rehne α = 47 in Gon um. α = 47 = g Beispiel g Stelle β = 5.4 g in Grd, Winkelminuten und Winkelsekunden dr. β = 5.4 g = 5.4g g = = = 36 β = Ds Bogenmss Wir hen im letzten Ashnitt gesehen, dss ein Winkelmss willkürlih gewählt werden knn, um dmit esondere Aufgen einfher lösen zu können. In diesem Sinne legen wir ein drittes Winkelmss fest, in dem sih die Grösse eines Winkels in der Einheit des zugrunde liegenden Koordintensystems messen lässt. Dies ist insesondere für Anwendungen in der höheren Mthemtik von Bedeutung.

5 Die Idee esteht drin, die Grösse eines Winkels durh die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis uszudrüken. Ds ist der Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0, 0) und dem Rdius r = 1. y r = 1 x Der volle Winkel entspriht dem Umfng des Einheitskreises: u = r = 1 = Umrehnungen Grdmss Bogenmss: rd = deg 360 = deg 180 Bogemss Grdmss: deg = rd 360 = rd 180 Grdmss Bogenmss Owohl ds Bogenmss keine eigentlihe Einheit esitzt sie entspriht der Einheit des zugrunde liegende Koordintensystems findet mn mnhml die Shreiweise rd. Tshenrehner Wenn wir später die Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus, Tngens) kennen lernen werden, wird es nötig sein, dss wir dem Tshenrehner mitteilen, in welhem System er die eingegeenen Zhl zu interpretieren ht: Flls Winkel im Grdmss gegeen sind oder im Grdmss usgegeen werden sollen, stellt mn den Rehner uf Degree (Deg) ein. Flls Winkel im Bogenmss gegeen sind oder im Bogenmss usgegeen werden sollen, stellt mn den Rehner uf Rdin (Rd) ein. 1.4 Aufgen Aufge 1.1 Stelle in dezimler Form dr. Flls nötig, runde uf 4 Nhkommstellen. ( ) =

6 Aufge 1. Stelle in sexgesimler Form dr = = = Aufge 1.3 Welher Länge entspriht ein Grd, eine Bogenminute und eine Bogensekunde uf einem Grosskreis der Erde. Ein Grosskreis ist ein grösstmögliher Kreis uf einer Kugel. Der Erdäqutor oder die Längenkreise sind Grosskreise der Erdkugel. Erdumfng: u = r Erde 6370 km km 360 entspriht etw km 1 entspriht etw 111 km 1 entspriht etw 1.85 km 1 entspriht etw km = 31m Aufge 1.4 Stelle in Gon dr. ( ) = g 360 = g Aufge 1.5 Rehne 1.5 g in Grd, Bogenminuten und Bogensekunden um. β = 1.5 g = 1.5g g = = Aufge 1.6 Rehne α = 7/15 ins Grdmss um. α = = 84 4

7 Aufge 1.7 Rehne β = 5. ins Bogenmss um. β = 5. Aufge 1.8 = 0.44 rd 180 Rehne γ = 30.5 g ins Bogenmss um. γ = 30.5 g Aufge 1.9 = rd rd 400g Rehne δ = 4.13 in Gon um. δ = 4.13 rd 00g 6.9g 1.5 Lösungen Aufge Aufge Aufge entspriht etw 111 km 1 entspriht etw 1.85 km 1 entspriht etw km = 31m Aufge g Aufge Aufge 1.6 α = 84 5

8 Aufge 1.7 β = 0.44 rd Aufge 1.8 γ = 30.5 g rd Aufge 1.9 δ 6.9 g 6

9 Die Definition der Winkelfunktionen Motivtion Bisher konnten wir mit Hilfe geometrisher Sätze in speziellen Figuren... us gegeenen Seitenlängen weitere Seitenlängen erehnen (Höhenstz, Kthetensätze, Stz von Pythgors), us gegeenen Winkeln die Grössen weiterer Winkel estimmen (Summenformeln für Winkel in n-eken, Zentriwinkel-Periphieriewinkelstz, Sehnen-Tngentenwinkelstz). Jedoh kennen wir noh keine Zusmmenhänge zwishen Seitenlängen und Winkeln. Ähnlihkeitssätze Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln üereinstimmen. (ww) Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie in llen Verhältnissen entsprehender Seiten üereinstimmen. (sss) Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der nliegenden Seiten üereinstimmen. (sws) Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite üereinstimmen. (SsW) Dreieke mit zwei identishen Winkeln Wenn zwei rehtwinkligen Dreieke in einem weiteren Winkel üereinstimmen, so untersheiden sie sih ufgrund der Ähnlihkeitssätze loss um eine Ähnlihkeitsildung. Ds heisst, dss eines der Dreiek sih durh eine Trnsltion, eine Spiegelung, eine Rottion und eine zentrishe Strekung in ds ndere Dreiek üerführen lässt. Beispiel.1 7

10 Also untersheiden sih in ähnlihen Dreieken die Längen entsprehender Seiten um einem gemeinsmen Strekungsfktor k. k k k In einem Dreiek ABC ist ds Verhältnis zweier Seitenlängen gleih gross wie ds entsprehende Verhältnis in einem zu ABC ähnlihen Dreiek. = k k und = k k und = k k usw. Begriffe In einem rehtwinkligen Dreiek, mit dem Winkel werden die Seiten wie folgt ennnt: ist die Ankthete von. ist die Gegenkthete von. ist die Hypothenuse. Die Bezeihnung einer Kthete hängt von ihrer reltiven Lge zum gegeenen Winkel und niht von der willkürlihen Beshriftung. Beispiel.1 δ u x α s () Gegenkthete von α? x () Ankthete von δ? x () Hypotenuse? u (d) Gegenkthete von δ? s 8

11 Beispiel. t µ α g () Ws ist t? Ankthete von α und Gegenkthete von µ () Ws ist g? () Ws ist? Hypotenuse Ankthete von µ und Gegenkthete von α Die Winkelfunktionen Hyp AK GK Die Seitenvehältnisse zum Winkel werden wie folgt gennnt: sin() = GK Hyp os() = AK Hyp tn() = GK AK (Sinus von ) (Cosinus von ) (Tngens von ) Hyp AK GK Die Kehrwerte der Winkelfunktionen sind heute ufgrund der Tshenrehner weniger geräuhlih: se() = Hyp GK s() = Hyp AK (Sekns von ) (Cosekns von ) ot() = AK GK (Cotngens von ) 9

12 Beispiel.3 r e ε w β () sin(ε) =? () tn(β) =? GK Hyp = e w GK AK = r w Beispiel.4 m ω g z γ () tn(ω) =? () os(γ) =? GK AK = z m GK Hyp = z g Die Werte der Winkelfunktionen für = sin(45 ) = GK Hyp = 1 = os(45 ) = AK Hyp = 1 = tn(45 ) = GK AK = 1 1 = 1 10

13 Die Werte der Winkelfunktionen für = sin(30 ) = GK Hyp = 1 os(30 ) = AK Hyp = 3 tn(30 ) = GK AK = 1 3 = 3 3 Die Werte der Winkelfunktionen für = sin(60 ) = GK Hyp = 3 os(60 ) = AK Hyp = 1 tn(60 ) = GK AK = 3 1 = 3 Die Werte der Winkelfunktionen für = sin(0 ) = GK Hyp = 0 1 = 0 os(0 ) = AK Hyp = 1 1 = 1 tn(0 ) = GK AK = 0 1 = 0 11

14 Die Werte der Winkelfunktionen für = sin(90 ) = GK Hyp = 1 1 = 1 os(90 ) = AK Hyp = 0 1 = 0 tn(90 ) = GK AK = 1 0 niht definiert Zusmmenfssung sin() os() tn() / 3/ 3/3 45 / / / 1/ Merkhilfe sin() os() tn() 0 0/ 4/ 0/3 30 1/ 3/ 3/3 45 / / 9/3 60 3/ 1/ 7/3 90 4/ 0/ 1

15 Die Werte der ürigen Winkel Es git noh weitere Winkel,für die sih die Werte der Winkelfunktionen mit Hilfe zusätzliher Beziehungen exkt erehnen lssen. Die Ausdrüke dfür werden er immer komplizierter. 6 + Beispiel: os(15 ) = 4 Im Allgemeinen es jedoh niht möglih, für jeden Winkel einen exkten Ausdruk der oigen Form zu finden. Stttessen verwendet mn Näherungswerte, den mn von einem Tshenrehner oder us Tellen erhält. TI-84+ Mit den Tsten sin, os und tn wird us dem eingegeenen Winkel ds zugehörige Seitenverhältnis erehnet. Vorsiht: In der Sttus-Zeile steht, wie der Tshenrehner eingegeenen Winkel interpretiert (Degree oder Rdin). Flls nötig, muss mn diese Einstellung vor der Berehnung im Mode-Menü ändern. Mit den Tstenkomintionen nd [sin -1 ], nd [os -1 ] und nd [tn -1 ] wird us dem jeweiligen Seitenverhältnis der entsprehende Winkel erehnet. Vorsiht: In der Sttus-Zeile steht, wie die Winkel-Ausge zu interpretieren ist (Degree oder Rdin). Flls nötig, muss mn diese Einstellung vor der Berehnung im Mode-Menü ändern. Die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen os() = x ros(x) = x = AK Hyp sin() = y rsin(y) = y = GK Hyp tn() = z rtn(z) = z = GK AK 13

16 .1 Aufgen. Lösungen Aufge.1 () t ist Ankthete von ω () ist Hypotenuse () t ist Gegenkthete von σ Aufge. () z ist Ankthete von χ und Gegenkthete von ϱ. () p ist Ankthete von ϱ und Gegenkthete von χ. () v ist Hypotenuse. Aufge.3 () tn(β) = y w () os(ψ) = y q () sin(β) = y q Aufge.4 () os(µ) = h r () tn(µ) = e h () os(α) = e r Aufge.5 () sin(.5 ) = [mode: DEGREE] () os(1.1) = [mode: RADIAN] () tn(40 g ) = tn(40/ ) = [mode: DEGREE] 14

17 Aufge.6 () rsin(0.47) = rd [mode: RADIAN] () rtn(.94) = 71.1 [mode: DEGREE] ( ) () ros = 36 = g = 40 g

18 3 Berehnungen m rehtwinkligen Dreiek Beispiel 3.1 Gegeen: α = 38, γ = 90, = 7 m Gesuht: β,, β α β = 90 α = 5 = os(α) = os α = 7 os(38 ) m = sin(α) = sin(α) = 7 sin(38 ) m Beispiel 3. Gegeen: γ = 90, = 5m, = 8 m Gesuht:, α, β β α = = 64 5 = m os(α) = ( ) 5 α = ros sin(β) = ( ) 5 β = rsin (β = 90 α) 8 Beispiel 3.3 Gegeen: Rehtek mit = 13 m, = 6 m Gesuht: der kleinere Shnittwinkel der eiden Digonlen / ( ) tn = ( ) 6 = rtn 13 ( ) 6 = rtn

19 Beispiel 3.4 Gegeen: gleihshenkliges Dreiek mit =, = 10 m und γ = 40 Gesuht: Fläheninhlt A β γ γ h / / β ( γ ) tn = / h = h h = tn(γ/) A = h = tn(γ/) = 5 tn(0 ) m Beispiel 3.5 Ein Bhnstreke ht uf einem Strekenshnitt eine mittlere Steigung von 15. Berehnen den Steigungswinkel in Grd. tn() = Vertikldistnz Horizontldistnz = = rtn(0.015) Beispiel 3.6 Welhe Steigung ht die Gerde mit der Gleihung g : y = 3 x + 1? tn() = Vertikldistnz Horizontldistnz = y x = 3 = rtn(/3) Aufgen Aufge 3.1 Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel in einem Dreiek mit β = 4, γ = 90 und = 11 m. β α α = = 48 = tn(β) = tn(β) = 11 tn(4 ) m = m 17

20 Aufge 3. Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel in einem Dreiek mit α = 31, β = 90 und = 95 mm. α γ γ = 90 α = 59 = os(α) = os(α) = 95 os(31 ) mm = sin(α) = sin(α) = 95 sin(31 ) mm Aufge 3.3 Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel in einem Dreiek mit = 7 m, = 15 m und γ = 90. β α = = 176 = 13.7m sin(α) = ( ) ( ) 7 α = rsin = rsin β = 90 α 6.18 Aufge 3.4 Berehne den Fläheninhlt eines Prllelogrmms mit = 8 m, = 5 m und α = 44. α h = sin(α) h = sin(α) = 5 sin(44 ) = m A = h 7.79m 18

21 Aufge 3.5 Berehne die Winkel β und γ eines Drhenviereks mit = 4 m, = 9 m und α = 76. α γ x γ x ( α ) ( α ) = sin x = sin ( ) β sin = x β ( x ) = rsin γ = (360 α β)/ 16.1 β = 4 sin(38 ).46m sto X ( x ) β = rsin Aufge 3.6 Ein 15 m hoher Turm wirft einen Shtten von 3 m. In welhem Winkel stehen die Sonnenstrhlen zur Erdoerflähe? 15 m tn() = m = rtn ( ) Aufge 3.7 Berehne den Umfng eines regelmässigen 9-Eks mit dem Umkreisrdius r = 4 m. r s/ r s = r sin() = 8 sin(0 ).736m u = 9 s 4.65m 19

22 Aufge 3.8 Berehne den spitzen Shnittwinkel der Gerden g : y = x + 1 und h: y = 1x y h h g g x = h g = rtn 3. Lösungen Aufge 3.1 α = 48 ; m; 14.8 m ( ) ( ) 1 rtn Aufge 3. γ = 59 ; mm; mm Aufge 3.3 = 13.7m; α 7.8 ; β 6.18 Aufge 3.4 A = h 7.79m Aufge 3.5 β ; γ 16.1 Aufge Aufge 3.7 u 4.65m Aufge

23 4 Werte der Winkelfunktionen für elieige Winkel Die Winkelfunktionen m Einheitskreis y y P r = 1 P x P z P 1 x P (x P, y P ) Drehung im Gegenurzeigersinn: > 0 Drehung im Uhrzeigersinn: < 0 os = AK Hyp = x P 1 = x P sin = GK Hyp = y P 1 = y P tn = GK AK = y P x P ( ) = z P 1 = z P ( ) 1. Strhlenstz Winkelfunktionen im II. Qudrnten II P y I sin() os() x tn() III IV Für 90 < < 180 gilt: sin() > 0 os() < 0 tn() < 0 Winkelfunktionen im III. Qudrnten II y I os() sin() tn() x III P IV Für 90 < < 180 gilt: sin() < 0 os() < 0 tn() > 0 1

24 Winkelfunktionen im IV. Qudrnten II y I III os() sin() P IV x tn() Für 90 < < 180 gilt: sin() < 0 os() > 0 tn() < 0 Zurükführen uf den Bereih 0 < 360 sin() = sin( + k 360 ) für k Z os() = os( + k 360 ) für k Z tn() = tn( + k 180 ) für k Z Üergng zum negtiven Winkel y P y P z P x P 1 x y P P z P os( ) = x P = os() sin( ) = y P = sin() tn( ) = tn() Beispiel 4.1 In welhem Qudrnten efindet sih der Winkel wenn... () sin() > 0 und os() < 0, im II. Qudrnten () tn() < 0 und os() > 0? im IV. Qudrnten

25 Beispiel 4. Löse ohne Tshenrehner: Welhe der Winkelfunktionswerte sind identish? sin(45 ), os(50 ), tn(60 ), os(140 ), sin(0 ), os( 50 ), tn( 60 ), os(45 ), sin(380 ), tn(40 ), os(0 ) sin(45 ) = os(45 ) os(50 ) = os( 50 ) tn(60 ) = tn(40 ) os(140 ) = os(0 ) sin(0 ) = sin(380 ) Grundeziehungen zwishen den Winkelfunktionen y y P r = 1 x P P x tn() = y P x P tn() = sin() os() Pythgors: y P + x P = 1 sin () + os () = 1 Beispiel 4.3 Vereinfhe die trigonometrishen Ausdrüke: () sin( ) os( ) = sin() os() = sin() os() = tn() () 1 sin () = [ sin () + os () ] sin () = os () Reduktionsformeln sin(90 ) = os() sin(90 + ) = os() sin(180 ) = sin() sin(180 + ) = sin() os(90 ) = sin() os(90 + ) = sin() os(180 ) = os() os(180 + ) = os() 3

26 Beispiel 4.4 Stelle sin(110 ) in der Form sin() dr, woei 0 < < 90. sin(110 ) = sin( ) = sin(70 ) Beispiel 4.5 Stelle os(30 ) in der Form os() dr, woei 0 < < 90. os(30 ) = os( ) = os(50 ) Beispiel 4.6 Leite die Reduktionsformel für den Ausdruk tn(90 + ) her. tn(90 + ) = sin(90 + ) os(90 + ) = os() sin() 1 = sin()/ os() = 1 tn() Additionstheoreme sin(α ± β) = sin(α) os(β) ± os(α) sin(β) os(α ± β) = os(α) os(β) sin(α) sin(β) tn(α ± β) = tn(α) ± tn(β) 1 tn(α) tn(β) Beispiel 4.7 Leite mit Hilfe der Additionstheoreme eine Formel für sin(α) her und vereinfhe den Ausdruk so weit wie möglih. sin(α) = sin(α + α) = sin(α) os(α) + os(α) sin(α) = sin(α) os(α) Beispiel 4.8 Berehne mit Hilfe der Additionstheoreme den exkten Wert von tn(75 ) und vereinfhe ds Ergenis. tn(75 ) = tn( ) = tn(45 ) + tn(30 ) 1 tn(45 ) tn(30 ) exkte Werte: tn(45 ) = 1 tn(30 ) = 3/3 4

27 tn(75 ) = 1 + 3/3 1 3/3 = Summen ( ) ( ) α + β α β sin(α) + sin(β) = sin os ( ) ( ) α + β α β sin(α) sin(β) = os sin ( ) ( ) α + β α β os(α) + os(β) = os os ( ) ( ) α + β α β os(α) os(β) = sin sin Produktformeln sin(α) sin(β) = 1 [ ] os(α β) os(α + β) os(α) os(β) = 1 [ ] os(α β) + os(α + β) sin(α) os(β) = 1 [ ] sin(α β) + os(α + β) 4.1 Aufgen Aufge 4.1 In welhem Qudrnten efindet sih der Winkel wenn... () sin() < 0 und tn() > 0, im III. Qudrnten () tn() > 0 und os() < 0? im III. Qudrnten 5

28 Aufge 4. Löse ohne Tshenrehner: Welhe der Winkelfunktionswerte sind identish? sin(10 ), os(750 ), tn(100 ), sin(80 ), tn(80 ), sin(100 ), os(30 ), os(80 ), os(10 ) sin(10 ) = os(80 ) os(750 ) = os(30 ) tn(100 ) = tn(80 ) sin(80 ) = sin(100 ) Aufge 4.3 Vereinfhe (sin α + os α + 1)(sin α + os α 1). Multipliktionstelle: sin α os α 1 sin α sin α sin α os α sin α os α sin α os α os α os α 1 sin α os α 1 (sin α + os α + 1)(sin α + os α 1) = sin α + os α 1 + sin α os α = sin α os α = sin α Aufge 4.4 Leite die Reduktionsformel für den Ausdruk tn(180 + ) her. tn(180 + ) = sin(180 + ) os(180 + ) = sin() os() = sin() os() = tn() Aufge 4.5 Berehne mit Hilfe der Additionstheoreme den exkten Wert von os(15 ) und vereinfhe ds Ergenis. os(15 ) = os(45 30 ) = os(45 ) os(30 ) + sin(45 ) sin(30 ) exkte Werte: os(45 ) = / sin(45 ) = / os(30 ) = 3/ sin(30 ) = 1/ os(15 ) = =

29 Aufge 4.6 Leite mit Hilfe der Additionstheoreme eine Formel für os her. os = os( + ) = os os sin sin = os sin 4. Lösungen Aufge 4.1 () im IV. Qudrnten () im III. Qudrnten Aufge 4. sin(10 ) = os(80 ); os(750 ) = os(30 ); tn(100 ) = tn(80 ); sin(80 ) = sin(100 ) Aufge 4.3 (sin α + os α + 1)(sin α + os α 1) =... = sin α Aufge 4.4 tn(180 + ) =... = tn() Aufge 4.5 os(15 ) =... = Aufge 4.6 os =... = os sin 7

30 5 Die Grphen der trigonometrishen Funktionen Der Grph der Sinusfunktion y x 3 1 Definitionsereih: D = R Werteereih: W = [ 1, 1] Nullstellen: x k = k für k Z Symmetrie: punktsymmetrish zu (0, 0) Periodizität: -periodish: f(x + k ) = f(x) für k Z Der Grph der Cosinusfunktion y x Definitionsereih: D = R Werteereih: W = [ 1, 1] Nullstellen: x k = (k + 1)/ für k Z Symmetrie: hsensymmetrish zu x = 0 Periodizität: -periodish: f(x + k ) = f(x) für k Z 8

31 Der Grph der Tngensfunktion t y x 3 1 { k + 1 Definitionsereih: D = R \ Werteereih: W = R Nullstellen: x k = k für k Z Symmetrie: punktsymmetrish zu (0, 0) } k Z Periodizität: -periodish: f(x + k ) = f(x) für k Z Asymptoten: x k = k + 1 für k Z 9

32 6 Der Sinus- und Cosinusstz Der Sinusstz h α β sin α = h sin β = h h = sin α (1) h = sin β () Setzt mn (1) und () gleih, so erhält mn: sin α = sin β sin α sin β = (Z) (Z) edeutet, dss die Formel zyklish vertushr ist, d. h. sie leit uh ei systemtisher Vershieung der Vrilen ( und α β γ α) rihtig: sin α sin β = sin β sin γ = sin γ sin α = Sinusstz: In jedem Dreiek verhlten sih zwei Seiten wie die Sinuswerte der gegenüerliegenden Winkel. Der Projektionsstz h α x y β x y = os α x = os α (x ist Projektion von uf ) = os β y = os β (y ist Projektion von uf ) mit = x + y folgt drus der Projektionssstz: = os α + os β (Z) 30

33 Der Cosinusstz α x γ h y β = h + y = h + ( x) = ( sin α) + ( os α) = sin α + os α + os α = (sin } α {{ + os α } ) + os α 1 Cosinusstz: = + os α (Z) Beispiel 6.1 (SSS) Gegeen: ABC mit = 4, = 5, = 6 Gesuht: α, β, γ Cosinusstz: = + os α os α = + os β = + = 3 4 = 9 16 α = ros β = ros os γ = + = 1 8 Kontrolle: α + β + γ = 180 γ = ros Beispiel 6. (SWS) Gegeen: ABC mit = 6, = 4, γ = 70 Gesuht:, α, β Cosinusstz: = + os γ Sinusstz: = + os γ 5.97 C sin α sin γ = ( ) sin γ α = rsin sin β sin γ = ( ) sin γ β = rsin Kontrolle: α + β + γ =

34 Beispiel 6.3 (WSW) Gegeen: ABC mit = 7, α = 3, β = 34 Gesuht:,, γ γ = 180 α β = 13 Sinusstz: = sin α sin γ = sin α sin γ 3.6 = sin β sin α 4.67 Beispiel 6.4 (SsW) Gegeen: ABC mit = 5, = 4, β = 46 Gesuht:, α, γ sin γ Sinusstz: sin β = ( ) sin β γ = rsin Z α = 180 β γ X Sinusstz: = sin α sin β = sin α sin β Aufgen Aufge 6.1 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 6, α = 40, γ = 60. β = 180 α γ sin α = sin γ = sin β sin γ = sin α sin γ β = 80 = 4.45 = 6.8 Aufge 6. Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 5.336, α = 68.4, γ = 35.3 β = 180 α γ β = 76.3 sin γ = sin β = sin γ sin β = 3.17 sin α = sin β = sin α sin β =

35 Aufge 6.3 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit =.05, α = 74.6, β = 4.. γ = 180 α β γ = 81. sin α = sin β = sin α sin β = 4.8 sin γ = sin β = sin γ sin γ = 4.94 Aufge 6.4 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 5, = 4, β = 70. sin γ = sin β sin γ = sin β γ = rsin sin β α = 180 β γ γ = α = 61.6 sin α = sin β = sin α sin β = 4.67 Aufge 6.5 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 4.45, =.05, β = 4.. sin γ = sin β sin γ = sin β γ = rsin sin β α = 180 β γ γ = α = sin α = sin β = sin α sin β =

36 Aufge 6.6 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 3., = 36.7, β = Vorsiht: β ist der Gegenwinkel der kürzeren Seite. Also git es zwei Lösungen. sin γ 1 = sin β γ = 180 γ 1 α 1 = 180 β γ 1 α = 180 β γ 1 sin α 1 = sin α =... γ 1 = rsin sin β sin β 1 = sin α 1 sin β sin β = sin α sin β γ 1 = γ = α 1 = α = = = 1.54 Aufge 6.7 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 67.4, = 49.8, = Cosinusstz: = + os α os α = + os β = + os γ = + Aufge 6.8 α = ros + β = ros + γ = ros + α = β = γ = 81.4 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 7., = 4.3, = 5.5. α = ros + β = ros + γ = ros + α = β = γ = Aufge 6.9 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 3.1, = 1.09, =.9. α = ros + α =

37 β = ros + γ = ros + β = γ = Aufge 6.10 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 3.18, = 3.74 und γ = Cosinusstz: = + os γ = + os γ = 5.47 Sinusstz: sin α = sin γ α = rsin sin γ α = 34.5 β = 180 α γ β = Aufge 6.11 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 37.3, = 39.0, α = 4.5. = + os α = 7.70 sin β = sin α γ = 180 α β β = rsin sin α β = γ = 7.03 Aufge 6.1 Berehne die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreieks mit = 169, = 409, α = = + os α = sin β = sin α γ = 180 α β β = rsin sin α β = γ = Lösungen Aufge 6.1 β = 80 ; = 4.45; =

38 Aufge 6. β = 76.3 ; = 3.17; = 5.11 Aufge 6.3 γ = 81. ; = 4.8; = 4.94 Aufge 6.4 γ = ; α = 61.6 ; = 4.67 Aufge 6.5 γ = ; α = ; = 6.4 Aufge 6.6 γ 1 = ; α 1 = = und γ = ; α = ; = 1.54 Aufge 6.7 α = ; β = ; γ = 81.4 Aufge 6.8 α = ; β = ; γ = Aufge 6.9 α = ; β = ; γ = Aufge 6.10 = 5.47; α = 34.5 ; β = Aufge 6.11 = 7.70; β = ; γ = 7.03 Aufge 6.1 = ; β = ; γ =