Mathematische Probleme, SS 2013 Montag 8.4. $Id: dreieck.tex,v /04/09 10:49:12 hk Exp hk $

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1 $Id: dreiek.tex,v /04/09 10:49:12 hk Exp hk $ 1 Dreieke In diesem Kpitel wollen wir die sogennnte Dreiekslehre ls Teil der Elementrgeometrie der Eene ehndeln. Wie in dieser gnzen Vorlesung sind wir dei huptsählih n Einzelprolemen und niht so sehr n einem systemtishen Aufu der Theorie interessiert, insesondere wollen wir keine Axiomtik der euklidishen Geometrie etreien. Anstelle dessen werden wir nshulih evidente Begriffe, lso Dinge wie Winkel, Fläheninhlte, Gerden, Kreise und so weiter, und ihre Grundeigenshften ls gegeen hinnehmen. Dies dekt sih uh mit dem Vorgehen in der Shulgeometrie wo j niht ernsthft gefrgt wird ws denn etw der Fläheninhlt üerhupt ist. Nur n Stellen wo es sih nietet den Zusmmenhng zwishen Shulstoff und den Inhlten der Grundvorlesungen zu erläutern, werden wir gelegentlih uh die exkte, formle Begriffsildung eshreien. Inhltlih werden wir in diesen Kpitel die Trigonometrie, lso die Dreiekserehnung, die hierei verwendeten trigonometrishen Funktionen, die speziellen Punkte im Dreiek, lso etw den Höhenshnittpunkt, und dmit sonst zusmmenhängende Themen esprehen. Ein Dreiek in der Eene ist durh seine drei Eken A, B, C R 2 gegeen. Wir etrhten nur niht usgertete Dreieke, fordern lso ds A, B, C niht kolliner sind, d.h. niht uf einer Gerden liegen. Trditionell werden die Eken eines Dreieks seit Euler wie hier mit großen lteinishen Buhsten ezeihnet und zwr im Gegenuhr- zeigersinn ufsteigend. Die einer Eke gegenüerliegende Seite wird dnn mit dem entsprehenden lteinishen Kleinuhsten eshrieen. Dei ist mit Seite hier in der Regel die Länge der α Seite gemeint, lso der Astnd der eiden nderen Ekpunkte. Shreien wir A den Astnd zweier Punkte X, Y R 2 der Eene ls γ C β B XY := X Y := X Y 2, 1-1

2 so werden im neenstehenden Bild = BC, = AC und = AB. Weiter wird der n eine der Eken nliegende Winkel innerhl des Dreieks mit dem entsprehenden griehishen Kleinuhsten geshrieen. Mn nennt zwei Dreieke = ABC, = A B C kongruent oder dekungsgleih wenn in ihnen entsprehende Seiten diesele Länge hen. Wir verwenden hierfür dnn uh die symolishe Shreiweise ABC A B C : AB = A B AC = A C BC = B C, eziehungsweise unter Befolgung der oigen Benennungskonvention = = =. Zwei kongruente Dreieke knn mn durh eine Bewegung der Eene in Dekung ringen. Um dies einzusehen denken wir uns zwei kongruente Dreieke ABC und A B C. Dnn können wir zunähst durh eine Vershieung den Punkt A uf den Punkt A ewegen, wir können lso A = A nnehmen. Dnn hen B und B wegen AB = A B = AB denselen Astnd von A, liegen lso eide uf einem Kreis mit Mittelpunkt A. Dmit können wir unser Dreiek A B C = AB C jetzt um den Punkt A herum drehen und so B uf B ewegen. Wir können lso uh B = B erreihen. C B=B A=A C 1-2

3 Es verleien nur noh die eiden Eken C und C. Ist zufällig shon C = C, so sind die eiden Dreieke ereits in Dekung gerht, wir können lso C C nnehmen. Wie een üerlegen wir uns wieder ds C und C sowohl uf einem Kreis mit Mittelpunkt A ls uh uf einem Kreis mit Mittelpunkt B liegen. Nun shneiden sih zwei Kreise mit vershiedenen Mittelpunkten in höhstens zwei Punkten und diese eiden gehen durh Spiegelung n der Verindungsgerde der eiden Mittelpunkte useinnder hervor. Also können wir C n der Dreieksseite AB = A B spiegeln und erhlten C, durh Umklppen des Dreieks n AB erreihen wir lso shließlih uh C = C und die eiden Dreieke sind in Dekung gerht. Insesondere folgt drus ds in den eiden kongruenten Dreiken ABC und A B C uh die drei Winkel üereinstimmen, lso ABC A B C = α = α β = β γ = γ. D ds Dreiek ABC is uf Bewegungen durh,, estimmt ist, muss es möglih sein lle Dreieksgrößen ls Funktionen von,, uszudrüken. Dies wirklih zu tun, lso die entsprehenden Funktionen hinzushreien, ist ein Teil der Dreiekserehnungen die wir in diesem Kpitel vorführen wollen. Zentrl hierei sind die trigonometrishen Funktionen, und um diese einzuführen werden erst einml rehtwinklige Dreieke untersuht. 1.1 Rehtwinklige Dreieke Ein Dreiek heißt rehtwinklig wenn einer seiner drei Winkel ein rehter Winkel ist, lso 90, eziehungsweise π/2 im Bogenmß, eträgt. Die eiden n den rehten Winkel nliegenden Seiten heißen dnn die Ktheten von und die dem rehten Winkel gegenüerliegende Seite heißt die Hypothenuse von. Ist = ABC wie oen rehtwinklig, so nehmen wir meist γ ls den rehten Winkel, γ = 90. Dnn sind, die Ktheten von und die Hypothenuse. Die Hypothenusenlänge ist dei durh die eiden Kthetenlängen, üer den Stz des Pythgors festgelegt. Stz 1.1 (Stz des Pythgors) In einem rehtwinkligen Dreiek mit Kthetenlängen, und Hypothenusenlänge gilt = 2. Beweis: Wir etrhten ein Qudrt Q der Kntenlänge + und und legen in dieses vier zu kongruente Dreieke. 1-3

4 Auf der linken Seite sind je zwei der Dreieke zu Rehteken der Kntenlängen und zusmmengefsst, es verleien dnn von Q zwei Qudrte der Kntenlängen und. Auf der rehten Seite werden die vier Dreieke dgegen wie gezeigt n den Rnd gelegt, dnn verleit ein Qudrt der Kntenlänge. Der Inhlt der von Q verleienden Flähe ist er unhängig dvon wie die vier Dreieke in Q ngeordnet sind, und ein Vergleih dieser Restlähen ergit wie ehuptet = 2 Dei hen wir die Ttshe verwendet ds der Fläheninhlt eines Qudrtes ds Qudrt seiner Kntenlänge ist, dies ist eine der vielen Grundttshen die wir ls gegeen und offensihtlih hinnehmen wollen. Mn knn den Stz von Pythgors uf zweierlei Arten umkehren, zum einen werden wir zeigen ds jedes Tripel,, potentieller Seitenlängen in einem rehtwinkligen Dreiek, lso mit = 2, ttsählih in einem geeigneten rehtwinkligen Dreiek vorkommt, und zum nderen wollen wir einsehen ds ein zunähst elieiges Dreiek ds die Reltion = 2 erfüllt immer rehtwinklig mit Hypothenuse in ist. Korollr 1.2 (Erste Umkehrung des Stzes von Pythgors) Sind,, > 0 mit = 2, so existiert ein rehtwinkliges Dreiek mit Hypothenuse und Ktheten,. Beweis: Wähle einen Punkt C und trge von C usgehend Streken BC der Länge und AC der Länge im rehten Winkel. Dnn ist ABC ein rehtwinkliges Dreiek mit Ktheten, und nh dem Stz des Pythgors Stz 1 ht die Hypothenuse in ABC die Länge =. Die zweite Umkehrung folgt jetzt us der een ewiesenen ersten Umkehrung, mn muss sih nur drn erinnern ds kongruente Dreieke, wie shon gesehen, uh gleihe 1-4

5 Winkel hen, und somit muss ein zu einem rehtwinkligen Dreiek kongruentes Dreiek selst rehtwinklig sein. Korollr 1.3 (Zweite Umkehrung des Stzes von Pythgors) Seien,, die Seitenlängen in einem Dreiek. Gilt dnn = 2, so ist rehtwinklig mit Hypothenuse und Ktheten,. Beweis: Nh Korollr 2 existiert ein rehtwinkliges Dreiek mit Hypothenuse und Ktheten,. Dnn sind und kongruent, lso ist uh rehtwinklig mit ls Hypothenuse und, ls Ktheten. Pythgors wr ein Shüler von Thles und lete in den Jhren vor Christus, woei dies ein geshätzter Zeitrum und niht die wirklihen Geurts- und Todesjhre sind. Es git wohl keine direkten zeitgenössishen Belege üer Pythgors, mn ht nur Berihte die Jhrhunderte später verfsst wurden. Nh usgedehnten Reisen gründete er im südlihen Itlien eine Shule, oder wohl eher eine Sekte, die sogennnten Pythgoräer, die unter nderem den Nmen Mthemtik geprägt hen. Der Stz des Pythgors wr llerdings shon lnge vor Pythgors eknnt, mindestens seit 1800 vor Christus. Der Beleg hierfür ist eine entsprehend dtierte Tontfel, die Zhlentripel wie (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17),... enthält. Um zu sehen ws diese Zhlen mit den Stz des Pythgors zu tun hen, ehte = 9 + = 25 = 5 2, = = 9 = 13 2, = = 289 = 17 2, nh der ersten Umkehrung des Stzes von Pytgors hndelt es sih lso um gnzzhlige Seitenlängen rehtwinkliger Dreieke. D niht so reht zu sehen ist weshl mn sih sonst für solhe Zhlen interessieren sollte, geht mn dvon us, dss den Verfssern dieser Tfel der Inhlt des Stzes von Pythgors eknnt gewesen sein sollte. Wozu die Telle diente ist niht eknnt, eine mnhml gennnte möglihe Anwendung ist die prktishe Konstruktion rehter Winkel. Denken wir uns ein Seil der Länge = 12 in irgendwelhen Einheiten in ds n den eiden Enden und nh 3 und 7 = 3+4 Einheiten jeweils ein Knoten eingefügt ist, so knn mn mit diesem Seil durh Anspnnen der einzelnen Seilsegmente und Fixieren der Knoten ein Dreiek mit den Seiten 3, 4, 5 konstruieren und nh der zweiten Umkehrung des Stzes von Pythgors ht dieses Dreiek gegenüer der Seite der Länge 5 einen rehten Winkel Wieweit dies wirklih ein prktishes Verfhren ist sei einml dhingestellt. Wir wollen uns jetzt kurz noh etws weitergehend mit diesen Zhlentripeln eshäftigen, und geen diesen dher erst einml einen Nmen. 1-5

6 Definition 1.1 (Pythgoräishe Tripel) Ein pythgoräishes Tripel esteht us drei ntürlihen Zhlen,, mit = 2. Die pythgoräishen Tripel entsprehen lso den rehtwinkligen Dreieken mit gnzzhligen Seitenlängen. Wie kommt mn jetzt n solhe Tripel hern? So etws wie (3, 4, 5) findet mn noh durh Rumproieren, für die größeren Beispiele ruht mn er shon ein systemtishes Verfhren. Ein einfhe Methode zur Konstruktion ist es mit einem shon eknnten Tripel (,, ) nzufngen und dieses mit einer ntürlihen Zhl n N zu multiplizieren. Wegen (n) 2 +(n) 2 = n 2 ( ) = (n) 2 ist (n, n, n) dnn wieder ein pythgoräishes Tripel. So erhält mn eispielsweise mit n = 7 us dem Tripel (3, 4, 5) ds pythgoräishe Tripel (21, 28, 35), ht lso = Tripel die uf diese Weise entstehen sind er keine wirklih neuen Beispiele, und wir wollen uns uf diejenigen pythgoräishen Tripel eshränken die niht durh Vervielfhen eines shon eknnten Tripels entstehen. Derrtige pythgoräishe Tripel nennt mn primitiv und definiert dher: Definition 1.2 (Primitive pythgoräishe Tripel) Ein pythgoräishes Tripel (,, ) heißt primitiv wenn,, keinen gemeinsmen Teiler hen. Wie knn mn jetzt systemtish primitive pythgoräishe Tripel erzeugen? Erste Verfhren hierzu stmmen von Pythgors und Plton, llerdings htten diese keine Methode wirklih lle primitiven Tripel zu estimmen. Eine erste vollständige Methode, lso ein Verfhren ds niht nur einige sondern lle primitiven Tripel liefert, findet sih in den Elementen des Euklid, die irgendwnn um 300 vor Christus entstnden sind. Euklids Methode ist rithmetisher Ntur, dher wollen wir hier ein äquivlentes, eher geometrish orientiertes, Verfhren esprehen, ds etw fünfzig Jhre später um 250 vor Christus von Diophnt entwikelt wurde. Dieses Verfhren eruht uf einer kleinen Uminterprettion des Prolems der pythgoräishen Tripel. Angenommen wir hen ein primitives pythgoräishes Tripel (,, ). Dnn ilden wir die eiden rtionlen Zhlen u :=, v := ( ) 2 ( ) 2 mit u2 + v = + = = 1, 2 d.h. (u, v) ist ein rtionler Punkt uf dem Einheitskreis. Hen wir umgekehrt einen solhen rtionlen Punkt (u, v) Q 2 >0 mit u 2 + v 2 = 1, so shreien wir u = p/q, v = p /q mit jeweils teilerfremden p, q N eziehungsweise p, q N. Definiere dnn := [q, q ] ls ds kleinste gemeinsme Vielfhe von q und q und setze := p/q N und := p /q N. Dnn ist lso uh u = p q = p q q q = p und v = = p q q q = 2 = ( ) 2 + ( 1-6 q ) 2 = u 2 + v 2 = 1

7 und somit hen wir = 2. Die Zhlen,, hen uh keinen gemeinsmen Teiler. Sei nämlih r ein gemeinsmer Primteiler von,,. Durh eventuelles Vertushen von u und v können wir dnn nnehmen ds r ein Teiler von q ist. Dnn ist r ein Teiler von /q, lso uh von q. Weiter ist r dnn uh ein Teiler von /q, er /q und /q sind teilerfremd, ein Widerspruh. Ds Prolem der Bestimmung primitiver pythgoräisher Tripel ist lso gleihwertig zur Bestimmung der rtionlen Punkte uf dem Einheitskreis im offenen ersten Qudrnten. Sei jetzt ein rtionler Punkte (u, v) Q 2 >0 uf dem Einheitskreis gegeen. Dnn ilden wir die Verindungsgerde dieses Punktes mit dem Punkt ( 1, 0). Die Steigung t dieser Gerden ist dnn wieder eine rtionle Zhl. Um t uszurehen, müssen wir nur festhlten ds der x-anstieg von ( 1, 0) nh (u, v) gerde u ( 1) = u + 1 ist und der y-anstieg gleih v ist, lso ist die Steigung t = v u + 1. Nehmen wir etw den Punkt (u, v) = (3/5, 4/5) der zum primitiven Tripel (3, 4, 5) gehört, so wird die Steigung t zu t = = Allgemein muss die Steigung t immer zwishen 0 und 1 liegen, d unsere Gerde den Einheitskreis in (u, v) im ersten Qudrnten trifft. Nun sei umgekehrt eine rtionle Steigung t Q mit 0 < t < 1 gegeen, und etrhte die Gerde y = t(x + 1) = tx + t (u,v) mit Steigung t durh ( 1, 0). Die Shnittpunkte dieser Gerden mit dem Einheitskreis erehnen sih durh ( 1,0) 1 = x 2 +y 2 = x 2 +t 2 (x+1) 2 = (t 2 +1)x 2 +2t 2 x+t 2 und umgestellt zu einer normierten qudrtishen Gleihung für x wird dies zu x 2 + 2t2 t x + t2 1 t = 0. Die eine Nullstelle ist x = 1 und erinnern wir uns drn ds die Summe der eiden Nullstellen einer normierten qudrtishen Gleihung gerde ds Negtive des lineren Term dieser Gleihung ist, so liegt die zweite Nullstelle in u := 1 2t2 t = 1 t2 1 + t 2 1-7

8 mit zugehörigen y-wert v := t(x + 1) = 2t 1 + t 2. Dmit hen wir einen rtionlen Punkt (u, v) uf dem Einheitskreis im ersten Qudrnten gefunden, der zur Steigung t gehört. Diesem entspriht dnn weiter ein primitives pythgoräishes Tripel. Auf diese Weise sind jetzt die rtionlen Zhlen t mit 0 < t < 1 in Entsprehung zu den primitiven pythgoräishen Tripeln gesetzt. Wir shuen uns noh einige spezielle Beispiele für t n. t = 1 2, u = t = 1 3, u = t = 2 3, u = t = 1 4, u = t = 3 4, u = = 3, v = = 8 = 4, v = = , v = = 15 = , v = , v = = 4, = 5, (,, ) = (3, 4, 5), 5 = 6 = 3, = 5, (,, ) = (4, 3, 5), 10 5 = 12, = 13, (,, ) = (5, 12, 13), 13 = 8, = 17, (,, ) = (15, 8, 17), 17 = 24, = 25, (,, ) = (7, 24, 25)