Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze

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1 Vorlesung Diskrete Strukturen Trnsportnetze Bernhr Gnter WS 2009/10 Gerihtete Grphen Ein shlingenloser gerihteter Grph ist ein Pr (V, A), woei V eine elieige Menge ist, eren Elemente wir Eken nennen un A {(v, w) v w V } eine Menge von Ekenpren ist, ie wir Bögen nennen. Ist (v, w) ein Bogen, nn nennen wir w einen Nhfolger von v un v einen Vorgänger von w. Eine Eke v V eines gerihteten Grphen (V, A) nennen wir eine Quelle, wenn sei keinen Vorgänger ht, un eine Senke, wenn sie keinen Nhfolger ht. Trnsportnetze Ein Trnsportnetz (V, A, s, q, wt) ist ein gerihteter Grph (V, A), in em es genu eine Quelle git, nämlih q, un genu eine Senke, nämlih s, zusmmen mit einer positiven Gewihtsfunktion wt : A R >0. Sttt vom Gewiht spriht mn ei Trnsportnetzen gern von er Kpzität eines Bogens. Fluss Ein Fluss in einem Trnsportnetz (V, A, s, q, wt) ist eine nihtnegtive Kntenewertung f : A R 0 1

2 mit er Eigenshft, ss für lle Eken v V \{q, s} ie folgene Gleihung gilt: f(w, v) = f(v, w). w Vorgänger von v w Nhfolger von v ( Ws in v hineinfließt, fließt uh herus. ) Ein Fluss f heißt zulässig, wenn f(v, w) wt(v, w) für lle (v, w) A gilt. Verllgemeinerung er Flusserhltung In jeem enlihen Trnsportnetzwerk gilt ie oen formulierte Beingung niht nur für einzelne Eken, sonern für Teilmengen: Hilfsstz 1. Ist T V \ {q, s} eine enlihe Teilmenge er Ekenmenge eines Trnsportnetzes, ie weer ie Quelle noh ie Senke enthält, nn gilt f(w, v) = f(v, w). (w, v) A w / T, v T (v, w) A v T, w / T Ds eweist mn urh Inuktion üer ie Mähtigkeit von T. Die Stärke eines Flusses Wählt mn im Hilfsstz ie Menge T mximl, lso T := V \{q, s}, nn ergit sih Hilfsstz 2. w Nhfolger er Quelle q f(q, w) = w Vorgänger er Senke s f(w, s). Ws us er Quelle herusfließt, fließt in ie Senke hinein. Mn git ieser Summe ie Akürzung f un nennt f ie Stärke es Flusses f. Prtitionierung Mn erhält noh folgenes: Prtitioniert mn ie Ekenmenge V in irgeneiner Weise in zwei Mengen M, N, von enen ie eine ie Quelle un ie nere ie Senke enthält, lso für V = M N, q M, s N, 2

3 nn ergit sih ls Differenz genu ie Stärke es Flusses: f = f(v, w) f(w, v). (v, w) A v M, w N (w, v) A v M, w N Ws von M nh N fließt un niht zurük, ist genu so viel, wie von er Quelle zur Senke fließt. Summen von Flüssen Summen von Flüssen eines Netzwerkes sin stets wieer Flüsse. Allerings muss eine Summe zulässiger Flüsse niht wieer zulässig sein. Ein Fluss f heißt eingleisig, wenn es einen gerihteten Weg von er Quelle zur Senke git mit er Eigenshft, ss f en Wert Null ht für lle Bögen, ie niht zu iesem Weg gehören. Hilfsstz 3. Jeer Fluss eines enlihen Trnsportnetzwerkes lässt sih ls Summe eingleisiger Flüsse rstellen. Shnitt Ein Shnitt in einem Trnsportnetzwerk (V, A, q, s, wt) ist eine Menge S A mit er Eigenshft, ss es im gerihteten Grphen (V, A\S) keinen gerihteten Weg von q zu s git. Aners formuliert ist ein Shnitt eine Bogenmenge, ie us jeem gerihteten Weg von q nh s minestens einen Bogen enthält. Die Kpzität eines Shnitts S ist efiniert ls wt(s) := wt(v, w). (v,w) S Beohtung Hilfsstz 4. Ist S ein Shnitt es enlihen Trnsportnetzwerks (V, A, q, s, wt) un f ein zulässiger Fluss, nn gilt f wt(s). 3

4 Beweisiee: Der gegeene Fluss f lässt sih ls Summe f = f f r eingleisger Flüsse shreien. Ein eingleisiger Fluss ht Werte ungleih Null nur uf einem gerihteten Weg von er Quelle zur Senke, er urhläuft lso einen Bogen es Shnitts. Wir ein Bogen es Shnitts von mehreren Summnenflüssen urhlufen, nn müssen sih iese en Bogen teilen : Die Summe er Stärken ieser eingleisigen Flüsse rf ie Kpzität es Bogens niht üershreiten. Drus folgt s Weitere. Der Shnitt-Fluss Stz (mx flow = min ut) Stz 1. Es sei (V, A, q, s, wt) ein enlihes Trnsportnetz. Dnn gilt mx f = min wt(s). f zul. Fluss S Shnitt Der stärkste zulässige Fluss ist lso genu so strk wie ie Kpzität es kleinsten Shnitts. Zum Beweis ieses Stzes geen wir einen Algorithmus n, er zu einem gegeenen Netzwerk einen zulässigen Fluss f un einen Shnitt S er Kpzität wt(s) = f konstruiert. Nh em Hilfsstz muss ieser Fluss mximl strk un er Shnitt von minimler Kpzität sein. Der Stz ist mit lso ewiesen. Flussveresserung Genuer gesgt leistet er Algorithmus ei einem Durhluf folgenes: Ausgehen von einem zulässigen Fluss im gegeenen Netzwerk konstruiert er Algorithmus einen stärkeren zulässigen Fluss oer einen Shnitt, essen Kpzität gleih er Stärke es gegeenen Flusses ist. Sin ie uftretenen Gewihte un Flussstärken gnzzhlig, nn ist uh ie Veresserung gnzzhlig. Dmit knn mn zeigen, ss er Algorithmus irgenwnn (nh enlih vielen Durhläufen) en Fluss niht mehr veressern knn un eshl einen minimlen Shnitt gefunen hen muss. Mrkierung Beim Mrkierungslgorithmus weren ie Eken es Netzwerkes, usgehen von er Quelle, nh estimmten Regeln nheinner mrkiert. Erreiht mn ei ie Senke, knn er vorliegene Fluss veressert weren, wenn niht, wir er gesuhte Shnitt gefunen. Eine Mrke er Mrkierung ist ein Pr, in em ie jeweilige Vorgängereke 4

5 notiert ist sowie ie möglihe Flussveresserung. Zu Beginn, ei er Quelle, git es llerings keine Vorgängereke un ie Veresserung ist noh potenziell unegrenzt. Gegeen sei nun lso ein enlihes Trnsportnetz (V, A, q, s, wt) un ein zulässiger Fluss f, z.b. er Fluss f(v, w) := 0 für lle (v, w) A. Der Mrkierungslgorithmus 1. Mrkiere ie Quelle q mit er Mrke (, ). 2. Sol ie Senke s mrkiert wure, stopp. Solnge ie Senke niht mrkiert ist, wieerhole ie Shritte (3) un (4), is weer (3) noh (4) zu einer weiteren Mrke führen. 3. Flls es einen Bogen (v, w) A git, so ss v mrkiert, w unmrkiert un wt(v, w) f(v, w) > 0 ist, mrkiere w mit er Mrke (v +, (w)), woei (w) := min{ (v), wt(v, w) f(v, w)}. 4. Flls es einen Bogen (v, w) A git, so ss w mrkiert, v unmrkiert ist un f(v, w) > 0 ist, mrkiere v mit er Mrke (w, (v)), woei (v) := min{ (w), f(v, w)}. Zum Verstännis Es wir von er Quelle us versuht, en gegeenen Fluss zu verstärken. Die mrkierten Eken sin solhe, is zu enen eine Flussveresserung shon gefunen wure. Shritt (3) treit iese Veresserung nh Möglihkeit noh weiter, vorwärts längs eines niht usgelsteten Bogens. Shritt (4) untersuht, o es Bögen git, ei enen er Fluss in ie flshe Rihtung,.h. von einer niht mrkierten Eke zu einer mrkierten fließt, un verminert nh Möglihkeit solhen Rükfluss. Es kommt niht uf ie Reihenfolge er Shritte (3) un (4) n. Die invrinte Beingung Hilfsstz 5. Wenn eim Mrkierungslgorithmus eine Eke v mit (v) mrkiert wure, nn git es eine Folge (q = v 0,..., v r = v) von Eken mit 5

6 er Eigenshft, ss für lle i {0,... r 1} einer er eien folgenen Fälle eintritt: 1. v i+1 ist mit (v + i, (v i+1)) mrkiert un er Fluss urh en Bogen (v i, v i+1 ) ist um minestens (v) kleiner ls ie Kpzität ieses Bogens, oer 2. v i ist mit (v i+1, (v i)) mrkiert un er Fluss urh en Bogen (v i+1, v i ) ist minestens (v). Dies eweist mn per Inuktion üer ie Anzhl er Shritte im Algorithmus. Ws er Hilfsstz eeutet In Worten: Wenn v mrkiert ist, nn git einen ungerihteten Weg von er Quelle zu v, längs em er Fluss um (v) veressert weren knn: Die Vorwärtsknten hen noh freie Kpzität un er Fluss knn erhöht weren, ei en Rükwärtsknten wir er Fluss entsprehen ernierigt. q f < wt f < wt f > 0 f < wt f > 0 f < wt v Die Erhltungseingung ist llerings für en veresserten Fluss ei er Eke v niht gewährleistet. Flls er Mrkierungslgorithmus ie Senke erreiht Flls ie Senke s erreiht wir, git es eine Folge (q = v 0,..., v r = s) mit en im Hilfsstz ngegeenen Eigenshften. Definiert mn nun eine 6

7 Ailung f + : A R urh f(x, y) + (s) flls (x, y) = (v i, v i+1 ) für ein i {0,..., r 1} un Fll (1) es Hilfsstzes eintritt, f + (x, y) := f(x, y) (s) flls (x, y) = (v i+1, v i ) für ein i {0,..., r 1} un Fll (2) es Hilfsstzes eintritt, f(x, y) sonst, nn ist f + ein zulässiger Fluss un f + = f + (s). Flls er Mrkierungslgorithmus ie Senke niht erreiht Wenn er Mrkierungslgorithmus ie Senke niht erreiht, nn eginnt jeer gerihtete Weg von er Quelle zur Senke mit einer mrkierten Eke (nämlih q) un enet mit einer unmrkierten (nämlih s). Deshl enthält jeer solhe Weg einen Bogen, er von einer mrkierte Eke zu einer unmrkierten führt. Die Menge ist eshl ein Shnitt. S := {(v, w) A v mrkiert, w unmrkiert } Sei nun M ie Menge er mrkierten Eken un N ie Menge er niht mrkierten. Wir untersuhen im Einzelnen, wie sih er Fluss uf iesen Bogen verhält. Die Bögen von M nh N Die Bögen, ie von M nh N führen, ls0 von einer mrkierten zu einer unmrkierten Eke, ilen genu en Shnitt S. Ist (v, w) eine solher Bogen, nn muss, weil Shritt (3) es Mrkierungslgorithmus niht usgeführt weren konnte, wt(v, w) = f(v, w) sein. Drus erhlten wir wt(s) = (v,w) S f(v, w). Der Shnitt S ist lso voll usgelstet. Aer Vorsiht: Ds eeutet niht zwingen, ss er Shnitt miniml ist! Dzu müssen wir noh weiter rgumentieren. 7

8 Die Bögen von N nh M Die Bögen (v, w), ie von v N nh w M führen, lso von unmrkierten zu mrkierten Eken, weren vom Shritt (4) es Mrkierungslgorithmus ngesprohen. Der Algorithmus stoppt nur, wenn ll iese Bögen en Fluss f(v, w) = 0 hen. Führt mn ie Gleihung von er vorigen Folie mit en Üerlegungen von Folie 7 zusmmen, erhält mn wt(s) = f(v, w) 0 = (v,w) S (v, w) A v M, w N = f. f(v, w) (w, v) A v M, w N f(w, v) Die Kpzität ieses Shnitts ist ie Stärke es Flusses f!. Beispiel (1) Die Grphik zeigt ein sehr einfhes Trnsportnetzwerk mit einem zulässigen Fluss f er Stärke f = 13. Die Bögen (v, w) sin in er Form wt(v, w) f(v, w) eshriftet, lso mit Gewiht Fluss. q s q 6 5 s Im ersten Luf mrkiert er Algorithmus z.b. einen Weg von er Quelle zur Senke, längs em er Fluss um 2 veressert weren knn. Beispiel (2) Wenet mn en Algorithmus uf en veresserten Fluss n un verwenet zunähst nur Shritt (3), nn weren ie Eken q, un mrkiert. 8

9 q s q 6 5 s Anwenen von Shritt (4) es Algorithmus uf en Bogen (, ) führt shließlih zur Mrkierung er Senke un zu einem ungerihteten Weg (q,,, s), längs em er Fluss um 3 veressert weren knn. Beispiel (3) Der veresserte Fluss ht nun ie Stärke 18. Er ist optiml, enn erneutes Anwenen es Mrkierungslgorithmus erreiht ie Senke niht. q s q 6 2 s Die Bögen von mrkierten zu unmrkierten Eken ilen en Shnitts S := {(, ), (, s)}, essen Kpzität gleih 18, lso gleih er Stärke es Flusses un mit miniml ist. 9