Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2018

Transkript

1 Wirtshftsmthemtik - Üungen WS 8 Bltt : Linere Alger. Gegeen ist eine eine 3 3 Mtrix C =( ij ) mit un eine Mtrix B = A ) Shreien Sie ie Mtrix C n! Y _] j i für i<j ij = ( ) i j für i = j _[ i j für i>j ) Berehnen Sie, wenn möglih C B T un B T C.. P Gegeen sin rei Mtrizen un je ein Zeilen- zw. Spltenvektor: A = B T = Berehnen Sie wenn möglih: ) B T A T, B T C ) C w, x w B. C = x = w = 3. Gegeen sin ie regulären (invertierren) n n-mtrizen A, B un X. ) Vereinfhen Sie mit Hilfe er ehenregeln für Mtrizen us er Vorlesung: (AA T ) B T (AA T ) T ) Lösen Sie folgene Mtrizengleihung nh er Mtrix X uf: B + AXB = A WM Üungen Bltt WS 8

2 4. P ) Zeigen Sie mit Hilfe er Mtrizen A = Allgemeinen A B = B A gilt! un B =, ss im ) Lösen Sie ie folgene Mtrizengleihung nh X uf. Nehmen Sie ei n, ss ie Mtrizen U, V un W qurtishe Mtrizen gleiher Dimension sin. Welhe Beingungen müssen ußerem noh erfüllt sein? (U V ) X = UX + W 5. Eine neu gegrünete österreihishe tinggentur ewertet ie Kreitrisiken österreihisher Firmen un git ei jeer Firm eines er rei folgenen tings: AAA (sehr gute Bonität), BBB (gute Bonität) oer CCC (shlehte Bonität). Aus historishen Dten ht ie Agentur folgene Üergngswhrsheinlihkeiten für ie rei tingklssen errehnet: Firmen mit em ting AAA ekommen im nähsten Jhr in 5% er Fälle s ting BBB un in 5% er Fälle s ting CCC, er est ehält AAA. Firmen mit em ting BBB ekommen im nähsten Jhr in 75% er Fälle wieer s ting BBB un in 5% er Fälle s ting CCC. Firmen mit em ting CCC ekommen im nähsten Jhr zu % wieer s ting CCC. ) Erstellen Sie eine pssene Üergngsmtrix. ) Wie viele Firmen weren vorussihtlih nähstes Jhr in en jeweiligen tingklssen sein, flls heuer 6 Firmen s ting AAA, Firmen s ting BBB un 8 Firmen s ting CCC hen. ) Die inverse Mtrix er Üergngsmtrix ist urh 3 3 M = gegeen. Berehnen Sie mit Hilfe von M, wie viele Firmen heuer in en jeweiligen tingklssen sin, flls nähstes Jhr 3 Firmen s ting AAA, 6 Firmen s ting BBB un 6 Firmen s ting CCC hen. ) Wie viele Firmen weren vorussihtlih in fünf Jhren s ting AAA hen, wenn heuer 3 Firmen in er tingklsse AAA sin. WM Üungen Bltt WS 8

3 6. Aus rei ohsto en weren jeweils zwei Zwishenproukte un rus zwei Enproukte hergestellt. Der Mterilverruh (in Mengeneinheiten) ist in folgenen Tellen zusmmengestellt: Zwishenproukte ohsto e Z Z Enproukte Zwishenproukte E E Z 4 Z 3 Des weiteren weren für ie Herstellung einer Einheit es Enprouktes E zusätzlih ht Einheiten es ohsto es 3 enötigt. ) Geen Sie en Gesmterf er ohsto e,, 3 für jeweils ein Stük E zw. E in Form einer Mtrix n. ) Welhe ohsto mengen sin zur Herstellung von rei Stük E un fünf Stük E erforerlih? ) Berehnen Sie ie Gesmtkosten ieser Prouktion für folgene ohsto preise ) Wie viele Einheiten er Enproukte können hergestellt weren, wenn 3 Einheiten von Z un Einheiten von Z sowie 6 Einheiten von 3 zur Verfügung stehen un ie Zwishenproukte komplett verruht weren sollen? 7. Bestimmen Sie lle Lösungen er lineren Gleihungssysteme: ) y + z = 4 x y + 3z = x + y + z = 3 ) x + y + 3z = x y + z = 3x + 5z = ) x x + x 3 x 4 = 6 x + x x 3 + x 4 = 8 4x + x 4x 3 x 4 = x 3x 4 = 4 ) x y z = 6 x + 5y + z = 8 WM Üungen Bltt 3 WS 8

4 8. P Die Summe reier Kpitlien eträgt Ä.4.-. Ds erste ist zu 3% p.., s zweite zu 4% p.. un s ritte zu 5% p.. ngelegt. Die ersten eien trgen gleih hohe Zinsen. Würen sih ie Zinsen es ersten Kpitls uf 4% p.., ie es zweiten uf 5% p.. veränern un lieen ie Zinsen für s ritte Kpitl gleih, so wäre ie Summe er Zinsen us en ersten eien um Ä.- größer ls ie Zinsen us em ritten Kpitl. ) Stellen Sie us iesen Angen ein Gleihungssystem in Mtrixform zur Bestimmung er rei Kpitlien uf. ) Bestimmen Sie ie Lösung ieses Gleihungssystems unter Verwenung es Guß- Algorithmus. 9. Bestimmen Sie lle œ, für ie s System ) keine Lösung, ) eine eineutige Lösung, ) unenlih viele Lösungen esitzt! x + y z = x y + 3z = 4 x + y + ( 5)z =. P Gegeen ist ie Mtrix A un er Vektor : A = = ) Bestimmen Sie ie Determinnte er Mtrix A in Ahängigkeit vom Prmeter! ) Für welhe existiert ie Inverse zur Mtrix A? ) Bestimmen Sie so, ss s Gleihungssystem Ax = keine Lösung esitzt!. Berehnen Sie ie Determinnte er Mtrix M: M = 3 3 WM Üungen Bltt 4 WS 8

5 . Gegeen sin ie Mtrix A un er Vektor : A = t t 6 6 6, = mit t œ ) Für welhe Werte von t œ esitzt Ax = eine nihttrivile Lösung? ) Für welhe t œ ist Ax = lösr? 3. Gegeen sin ie Vektoren x =(6, ), y =(, 6) un z =(, 3). ) Stellen Sie en Vektor v =(5, 6) ls Linerkomintion von x un z r un vernshulihen Sie iesen Shverhlt grphish. ) Ws erhlten Sie, wenn Sie en Vektor v ls Linerkomintion von y =(, 6) un z =(, 3) rzustellen versuhen? ) Bestimmen Sie en Vektor u = x + z un erehnen Sie seinen Betrg. 4. P Gegeen sin ie vier Vektoren: = = 3 = 4 = ) Sin ie Vektoren un liner unhängig? ) Sin ie Vektoren, un liner hängig oer liner unhängig? Begrünen Sie! 5. Gegeen ist ie Mtrix A un er Vektor : A = 4 = ) Berehnen Sie ie Inverse er Mtrix A un führen Sie eine Proe urh! ) Bestimmen Sie nun mit Hilfe er Inversen ie eineutige Lösung es Gleihungssystems A x =! Die mit P gekennzeihneten Beispiele sin von en Stuierenen vorzuereiten un nh Aufruf urh en/ie Lehrvernstltungsleiter/in n er Tfel zu präsentieren! WM Üungen Bltt 5 WS 8