Übungen zu Blatt Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: (2n) 3 :(2n) 2. Lösung: 21 n

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1 Üungen zu Bltt. Vereinfhen Sie en folgenen Ausruk: n n (n) :(n) 5 n n = n n 4. Vereinfhen Sie ie gegeenen Terme soweit möglih: ) ) ( x y) A B xy (x y ) : = ) x y x 4 y ;);) y x 4 n 4 4 n 4 = ) x y n y x : (x y) =. Vereinfhen Sie: = Ws ist ei, voruszusetzen, wenn eknnt ist, ss un ntürlihe Zhlen sein können?.4 Vereinfhen un stellen Sie mit positiven Hohzhlen r: ˆ ı Ù 80 x y (x y) 5 (x y) (x y ) x 4 y x 5 x0 = 4 Û x y 4 x + y.5 Bestimmen Sie ie Definitionsmenge un lösen Sie folgene Gleihungen nh er Vrilen x uf: x = = log (8x +6) log (5x )

2 .6 Bestimmen Sie ie Definitionsmenge un lösen Sie folgene Gleihungen nh er Vrilen x uf: x = 9 x+ =8 x.7 Bestimmen Sie ie Definitionsmenge un lösen Sie folgene Gleihungen nh er Vrilen x uf: Ô x Ô x = D = {x œ x Ø }, x = 4.8 Lösen Sie ie folgene Ungleihung in : 6 Œ; 6 fi ]; Œ[ 7 x 6 Æ.9 Lösen Sie ie folgene Betrgsungleihung in : [; Œ[ x + x Ø.0 Berehnen Sie: ) 5!!! ) n! (n )! ) 0; ) n. Berehnen Sie ie folgenen Summen: ) ÿ j=0 j 5 (j +) ) ÿ ( ) k k k ) k= 5ÿ i i i= ) 4 5 ;)-8; 75 04

3 . Berehnen Sie ie folgenen Doppelsummen: ) 4ÿ 8ÿ 4 i= j= 5 i j ) 4ÿ 0 ÿ k= i= 0 k i ) 4 5 ;)6. Shreien Sie folgene Summen unter Verwenung es Summenzeihens n ) ) ) + q + q q n + q n 5ÿ 6ÿ n+ ) i; ) i= i= i ;) ÿ nÿ q i = q i i= i=0.4 Wenn P un zwei Aussgen sin, so eeutet P P impliziert oer us P folgt oer wenn P, nn uh. Mn nennt Gegeen sin nun ie folgenen Aussgen: P eine hinreihene Beingung für eine notwenige Beingung für P. A: Die Figur F ist ein urt, B: Die Figur F ht vier gleih lnge Seiten Welhe er nhstehenen Behuptungen sin rihtig? ) A ist notwenig für B ) B ist notwenig für A ) A ist hinreihen für B ) B ist hinreihen für A ihtig sin: ), )

4 .5 Skizzieren Sie uf einer Zhlengeren er reellen Zhlen folgene Mengen: M = {x œ 0 <xæ 6} M = {x œ N 0 <xæ 5} M =[;7] M 4 = {, 5} 4 ) Bestimmen Sie en Durhshnitt M i ller vier Mengen! i= ) Bestimmen Sie ie Komplementmenge von M fi M ezüglih! ) {, 5}; ) \ ]0; 7].6 Gegeen sin ie Mengen A = {,, {, }, 4} un B = {,,, 4}. Stimmen ie folgenen Aussgen un wenn niht, wie lutet ie whre Aussge? ) œ A ) {, } œa ) {, } œb ) {} œa fl B ) rihtig; ) rihtig; ) flsh; ) flsh.7 Zeihnen zw. shr eren Sie ie folgene Menge in. Ist iese Mengen konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei elieigen Punkten uh eren gnze Verinungsstreke enthält.) M = {(x, y) (y Æ x) (y Æ +x) (y >0)}.8 Bei einer Ausshreiung weren Kenntnisse in minestens einer er Sprhen English, Chinesish oer ussish verlngt. Von insgesmt 90 Bewerern können 0 nur English, 7 nur Chinesish un 9 nur ussish. 9 Personen eherrshen genu Sprhen. ) Wie viele Bewerer können lle rei Sprhen? ) Wie viele Bewerer können nur Chinesish un ussish, flls 58 er Bewerer English können? ) 5; ) 6 4

5 Üungen zu Bltt. Bestimmen Sie ie Prmeterrstellung er Geren urh ie Punkte P =(, ) un =(, ). Hinweis: X = P + t æ P A B A B 4 X = + t. Wie lutet ie Koorintenrstellung er Geren g: X = A B + t A Hinweis: ufsplten er Gleihung in zwei Zeilen un nshließenes Eliminieren es Prmeters t. x +y =8. Wie lutet ie Gleihung einer Geren g, ie urh en Punkt P =(0, ) geht un ie x-ahse n er Stelle x = shneiet? Zeihnen Sie iese Gere un geen Sie eine Prmeterrstellung ieser Geren n? A B A B 0 z.b.: X = + t.4 Die Mtrix B =( ij ) ist eine m n-mtrix mit m = un n = un B = Y _] j für i = ij = i j für j>i> _[ 0 sonst B?.5 Gegeen sin ie Mtrizen: A = A B B T = 0 Berehnen Sie wenn möglih: A T B, B A A B 5 ) A T B =, B A niht möglih 5

6 .6 ) Bestimmen Sie ie Determinnte er Mtrix A = ) Für welhe œ ist ie Mtrix A regulär? ) et (A) = 5; ) = 5.7 Bestimmen Sie ie Determinnte er Mtrix A = 5.8 Bestimmen Sie ie Determinnte er Mtrix A = können Sie sih hier zunutze mhen? 4 = Bestimmen Sie lle Lösungen es folgenen Gleihungssystems: y + z = 4 x y + z = x + y + z =. Welhe Besonerheit x y z =.0 Bestimmen Sie ie Lösungsmenge es folgenen lineren Gleihungssystems: x 6 x y 5 x y 5 z = 6 + 4z = 9 z = 9 L = {(6; 5; )} 6

7 . Gegeen ist eine Mtrix A un er Vektor. A =, = mit œ ) Für welhe Werte œ esitzt s Gleihungssystem A x = 0 nur ie trivile Lösung? ) Für welhe Werte œ esitzt s Gleihungssystem A x = keine Lösung? ) Ist es möglih, ss s Gleihungssystem A x = hier unenlih viele Lösung esitzt? Begrünen Sie! ) = ; ) = ; )nein. Bestimmen Sie en ng er folgenen Mtrix A: g (A) =4. Gegeen sin ie vier Vektoren: = 0 = A = = ) Sin ie Vektoren un liner unhängig? ) Sin, un liner unhängig? 0 ) j; ) j, z.b.: et = 0 =.4 Gegeen ist ie folgene Mtrix A mit einer Konstnten œ : A = ) Für welhe existiert ie Mtrix A? 0 0 ) Berehnen Sie für = ie Mtrix A! ) = ;)A = 0 0 7

8 Üungen zu Bltt. Gegeen ist ie Folge n = n. ) Zeigen Sie mit Hilfe er Grenzwertefinition us er Vorlesung für ein elieiges Á>0, ss 0 er Grenzwert er Folge ist. ) Ermitteln Sie nun einen Inex n (Á), von em n lle weiteren Glieer in einer Á = 0, -Umgeung von 0 liegen. ) n> Á ;)n (Á) =6.( =0, 5; =0, 5; =0, 67; 4 =0, 5; 5 =0, 00; 6 =0, 08). Bestimmen Sie ie Grenzwerte: ) ) lim næœ lim næœ A n (n ) 4n + n + n n B lim næœ 8n 5 +9n +9 lim næœ n 6 +n A n(n +) n + B n n + ) ; 0; )4;. Berehnen Sie, wenn möglih 4 Û Œÿ ( ) i i i= 9 +i.4 Konvergieren ie folgenen geometrishen eihen? Wenn j, ws ist ihre Summe? Œÿ ) n n ) n= Œÿ j= 5 j 5 j+ ) niht konvergent q = 4 ;) 00 8

9 .5 Für welhe x œ konvergieren ie folgenen eihen? ) Œÿ 4 x n n=0 ) Œÿ (x +) n n=0 ) x n 6 ; 5 ;)x œ [ ; [ fi ]; Œ [.6 Ein Unternehmen plnt in eine Prouktionsnlge zu investieren. Zum Ansh ungszeitpunkt t = 0 fällt eine Auszhlung A von Ä n. Die jährlihen (konstnten) Einzhlungen E etrgen Ä Der Zinsstz ist i =0,. Verwenen Sie zur Berehnung einen Tshenrehner! ) Berehnen Sie en Kpitlwert K für s Investitionsprojekt in zwei Szenrien: Die Nutzungsuer n er Anlge etrge im ersten Szenrio 5 Jhre, im zweiten 0. ) Berehnen Sie en Kpitlwert K für s Investitionsprojekt, wenn ie Geshäftsleitung eine unenlihe Nutzungsuer unterstellt! ) ) -484,6; ) 89,4; ) Bei einem Zinsstz von r % p.. e ektiv weren Zinsen m Ene es Jhres gutgeshrieen,.h. m Ene es Jhres weren em Kpitl K Zinsen in er Höhe von K r zugeshlgen. Bei einem Zinsstz von r % p.. nominell, 4 ml (vierteljährlih) verrehnet, weren em Kpitl montlih Zinsen in er Höhe von r % zugeshlgen. Welher 4 e ektive Jhreszinsstz ist äquivlent zu einem nominellen Zinsstz von 4 % p., er vier ml unterjährig verrehnet wir? Verwenen Sie zur Berehnung einen Tshenrehner!,94% 9

10 Üungen zu Bltt 4 4. Gegeen sin ie folgenen Funktionen: i) f (x) = Ô x f (x) = x ii) f (x) =ln (x) f 4 (x) =e x ) Skizzieren Sie iese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetelle. ) Bestimmen Sie jeweils en größtmöglihen Definitionsereih er Funktionen un geen Sie ie jeweilige Bilmenge n! ) Untersuhen Sie für lle Funktionen nhn er Skizze Monotonie, Beshränktheit sowie s Verhlten im Unenlihen! ) Welhe ieser Funktionen sin ls Ailungen von D æ injektiv, surjektiv, ijektiv? 4. Gegeen sin ie folgenen Funktionen: f (x) = x g(x) = x + ) Skizzieren Sie iese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetelle. ) Bestimmen Sie jeweils en größtmöglihen Definitionsereih er Funktionen un geen Sie ie jeweilige Bilmenge n! ) Untersuhen Sie für lle Funktionen nhn er Skizze Monotonie, Beshränktheit sowie s Verhlten im Unenlihen! ) Welhe ieser Funktionen sin ls Funktionen von æ ijektiv? 0

11 4. Skizzieren Sie jeweils in ein eigenes Koorintensystem ie Grphen er Funktionen f (x) =e x un g (x) = e x, f (x) =e x un h (x) =e x +, f (x) =e x un j (x) =e x+, f (x) =e x un k (x) =e x, un eshreien Sie, wie jeweils er Grph er Funktionen g, h, j un k us em Grphen er Funktion f hervorgeht. g entsteht urh eine Stuhung von f um en Fktor in y-ihtung, hentstehturhvershieungvonfinihtungery-ahseumzweieinheitennhoen, jentstehturhvershieungvonfinihtungerx-ahseumzweieinheitennhlinks, k entsteht urh eine Spiegelung von f n er y-ahse! 4.4 Gegeen ist ie Funktion: f (x) = ln (x ) ) Berehnen Sie eventuelle Nullstellen un skizzieren Sie en Grphen er Funktion f. ) Bestimmen Sie eren größtmöglihen Definitionsereih un geen Sie ie Bilmenge n! ) Bestimmen Sie nun ie erste Aleitung un untersuhen Sie, o ie Funktion üer ihrem Definitionsereih (streng) monoton fllen zw. steigen ist? ) Bestimmen Sie ie zweite Aleitung un untersuhen Sie ie Funktion uf Konvexität (Konkvität) in ihrem Definitionsereih! ) y 4 f(x) x

12 4.5 Gegeen ist ie Funktion: g(x) =e x ) Berehnen Sie eventuelle Nullstellen un skizzieren Sie en Grphen er Funktion g. ) Bestimmen Sie eren größtmöglihen Definitionsereih un geen Sie ie Bilmenge n! ) Bestimmen Sie nun ie erste Aleitung un untersuhen Sie, o ie Funktion üer ihrem Definitionsereih (streng) monoton fllen zw. steigen ist? ) Bestimmen Sie ie zweite Aleitung un untersuhen Sie ie Funktion uf Konvexität (Konkvität) in ihrem Definitionsereih! ) Nullstelle: x =,)D = ; Im(f) =] ; Œ[; )st.m.steigen;)konvex y 4 f(x) x 4.6 Gegeen ist ie Funktion: f(x) = Ô x + e x ) Bestimmen Sie ie größtmöglihe Definitionsmenge D µ von f(x)! ) Bestimmen Sie ie erste Aleitung von f un vereinfhen Sie soweit möglih! ) D =[ ; Œ[ \{0}; )f Õ (x) = e x (x +x +6) x Ôx Die Nhfrge nh einem Gut unterliege folgener Preishängigkeit: N (p) =6 p ) Geen Sie einen sinnvollen Definitionsereih n! ) Bestimmen Sie ie Grenznhfrge llgemein un für einen Preis von p = 4. ) Um wie viel Prozent änert sih ie Nhfrge ungefähr, wenn sih er Preis, usgehen von p = 4, um ein Prozent erhöht? ) p œ [0; 6]; )-8;)Á N (p) = N Õ (p) p = 0 = 8 5 =, 4 N (p) = p p 6 p = p 6 p, Á N (4) =

13 4.8 Für einen Monopolisten ist ie Preis-Astzfunktion p (x) =6 x, Ferner kennt mn seine Grenzkostenfunktion K Õ (x) =x. Die Fixkosten etrgen 9. Bestimmen Sie ) en Term er Kostenfunktion, ) ie en Gewinn mximierene Angeotsmenge, ) en zugehörigen Preis. ) Wie hoh ist in iesem Fll er mximle Gewinn? ) K (x) =x x +9;)x ú =;)p ú =5;)G mx = 4.9 Gegeen ist ie Funktion f (x) =4 ln Ô x +4 ) Bestimmen Sie ie größtmöglihe Definitionsmenge! ) Wie luten ie Koorinten es Shnittpunktes mit er x-ahse? ) In welhem Intervll ist ie Funktion f streng monoton steigen? )D f = ]0; Œ]; )x=5;)fstrengmonotonsteigenin]0; Œ] 4.0 Gegeen ist ie Funktion f(x) = Ô x ln(x 4) Bestimmen Sie ie größtmöglihe Definitionsmenge D µ ; 5 x œ ]; Œ[ \ < 4. Gegeen ist ie Funktion: f(x) = Û x + x ) Bestimmen Sie ie größtmöglihe Definitionsmenge D œ von f(x)! ) Wie lutet ie erste Aleitung von f? ) D =] Œ; ] fi ]; Œ[; )f Õ (x) = (x ) Ôx

14 4. Gegeen ist ie Funktion f (x) =x x ) Wie luten ie Nullstellen er Funktion f? ) Bestimmen Sie ie Extremstelle er Funktion f. Hnelt es sih um eine Mximum oer ein Minimum? ) In welhem Bereih ist ie Funktion f streng monoton fllen, in welhem streng monoton steigen? ) Ist ie Funktion uf ihrem Definitionsereih konvex oer konkv? e) Skizzieren Sie ie Funktion un estimmen Sie ie Flähe, ie ie Kurve mit er x-ahse im Intervll [; 5] einshließt. ) x =, x =;)x =;Minimum;)st.m.f.in] Œ; [, st. m.st. in ]; Œ[; ) konvex uf gnz ; e)6 4. Gegeen ist ie Funktion f (x) =x e x ) Wie luten ie Nullstellen er Funktion f? ) Wie lutet ie erste Aleitung er Funktion f? ) In welhem Bereih ist ie Funktion f streng monoton steigen? ) x =0;)f Õ (x) =e x (x +); ) st. m.st. in ] ; Œ[ 4.4 Bestimmen Sie Extremwerte un Wenepunkte er Funktion T / e 4, W / e 4.5 Bestimmen Sie ie folgenen Grenzwerte: 4 f (x) =x e x ) lim xæ x x 4 ) lim xæœ x x + x + x x ) lim xæ x + ) 4 ;);) Gegeen ist ie Funktion f(x) = 4 x x. Berehnen Sie ie Flähe zwishen er Funktion un er x-ahse im Intervll [ ; ]! A = 4.7 Wie groß ist ie Flähe, welhe er Grph er Funktion f (x) = un ie x-ahse x im Intervll [; ] einshließen? (Hinweis: fertigen Sie eine Skizze n!) A = 4 4

15 4.8 Berehnen Sie ie folgenen uneigentlihen Integrle: ) ˆŒ 0 e x x ) ˆŒ x x ) e ;) ;) ex 4.9 Berehnen Sie s folgene estimmte Integrl: ˆ x e x x Bestimmen Sie: ) ˆ x ln(x ) x ) ˆ x (x +) 5 x 0 ) x ln x + C; ) 4 4. Untersuhen Sie s Monotonieverhlten er Funktion f (x) = x x x +5 st. m. f. in ] ; [, st. m.st. in ] Œ; [ fi ]; Œ[ 4. Gegeen ist ie folgene Kostenfunktion K(x) =x 4 x +x +0. ) Bestimmen Sie ie Durhshnittskostenfunktion un eren Wert n er Stelle x =! ) Ds Proukt wir zu einem konstnten Preis von p = 55 gesetzt. Bestimmen Sie ie Gewinnfunktion, ie gewinnmximle Ausringungsmenge un en Mximlgewinn! ) D (x) =x 4 x ++0 x, D () = ; ) G (x) = x + 4 x + 5 x 0, x =, G () = 7 4 5

16 Üungen zu Bltt 5 Ô 4 x y 5. Bestimmen Sie für ie Funktion f (x, y) = Ò ie größtmöglihe Definitionsmenge un skizzieren Sie iese in einem krtesishen Koorintensystem. y ln (x) D = Ó (x, y) œ - - x + y Æ 4 (x >) (y = 0) Ô y 0 x 5. Gegeen ist eine Funktion in zwei Vrilen: f :[0;5] [0; 5] æ : f (x, y) =x +xy +y ) Bestimmen Sie ie eien ersten prtiellen Aleitungen er Funktion f ) Berehnen Sie gr(f) llgemein un n er Stelle (, ). ) f x = y +x, f y = 4xy +; ) gr(f)(x, y) = (y +x, 4xy +), gr(f)(, ) = (0, ) 6

17 5. Gegeen ist ie Funktion f (x, y) =x + xy + y +0x +5y ) Bestimmen Sie ie ersten un zweiten prtiellen Aleitungen! ) Ist ie Funktion homogen? ) Bestimmen Sie ie ihtungsleitung er Funktion n er Stelle (, ) in ihtung es Vektors z =(6, 8). ) Bestimmen Sie ie ihtung es steilsten Anstieges er Funktion n er Stelle (, ). ) f x (x, y) =x + y +0, f y (x, y) =x +y +5, f xx (x, y) =, f yy (x, y) =, f xy (x, y) =f yx (x, y) =;)nein;) f z = z gr (f)(x 0,y 0 ) z = A B 6 (4, 0) = 0 8 6, 4; )gr (f)(, ) = (4, 0). 5.4 Gegeen ist ie Funktion f(x, y) =x +6xy 4y. ) Untersuhen Sie f uf sttionäre Punkte. ) Wie lutet ie Hesse Mtrix. ) Klssifizieren Sie nun ie unter ) ermittelten sttionären Punkte. ) f x (x, y) =x +6y f y (x, y) =6x 8y STP (0, 0), STP 4, 9 ; 8 A B 6x 6 ) H = ; 6 8 ) f xx (0, 0) f yy (0, 0) [f xy (0, 0)] =0 ( 8) 6 = 6 < 0, herist(0, 0) Sttelpunkt; f xx 4, 9 = 9 < 0 un f xx 4 8, 9 f yy 4 8, 9 5f xy 8 846, 9 =( 9) ( 8) 6 =6> 0, herist 4, 9 Mximum 8 7

18 5.5 Gegeen ist ie Funktion in zwei Vrilen f : æ, (x, y) æ x y e x ) Ermitteln Sie ie sttionären Stellen von f. ) Wie lutet ie Hesse Mtrix. ) Klssifizieren Sie nun ie unter ) ermittelten sttionären Stellen. ) f x (x, y) =e x y x + f y (x, y) = y e x STP (, 0) ) H (x, y) = e x y + x y e x y e x e x A B e 0 ) H (, 0) = 0 e, (0, ) ist lokles Mximum (f xx (, 0) = e < 0 un et (H (, 0)) = f xx (, 0) f yy (, 0) [f xy (, 0)] = e e 0 =e > 0) 5.6 Betrhtet wir eine Funktion von zwei Vrilen: f (x, y) = 6y x Ô x y x ) Bestimmen Sie ie größtmöglihe Definitionsmenge er Funktion f. ) Ist iese Funktion homogen, wenn j, von welhem Gr? ) Wie lutet ie erste prtielle Aleitung nh y? (Hinweis: Vereinfhen Sie en gegeenen Funktionsterm, evor Sie leiten) ) D = Ó (x, y) œ [(x >0) (y >0)] [(x <0) (y <0)] Ô ;)j,homogen vom Gr ; )f y (x, y) =5x y 5.7 Gegeen ist ie Funktion f : + æ : f (x, y) = Ò 9x y ) Zeigen Sie, ss es sih um eine Co-Dougls-Prouktionsfunktion hnelt. ) Bestimmen Sie en Homogenitätsgr. ) Ermitteln Sie ie prtiellen Elstizitäten es Funktion ezüglih eier Fktoren. ) Um wie viel Prozent steigt ie Prouktionsmenge näherungsweise, wenn ei gleihleienem y er Inputfktor x um % erhöht wir? ) f (x, y) = x y ;);)umnäherungsweise Prozent 8

19 5.8 Betrhten Sie ie Funktion f : æ mit f(x, y) =(x ) +(y ) +üer em Definitionsereih [0, 7] [, 5]. ) Bestimmen Sie ie lokle Minimumstelle un en Minimlwert unter er Annhme, ss er Definitionsereih ist. ) Änert sih Ihre Antwort, wenn ie Definitionsmenge uf en in er Ange ngeführten Bereih eingeshränkt wir? ) Wo nimmt iese Funktion üer em Definitionsereih [0, 7] [, 5] glole Mxim zw. Minim n un wie groß sin iese? y x ) Minimumstelle (, ), Minimumwert: ) Nein ) Mximumstellen (7, 5), (7, ), Mximlwertf (7, 5) = f (7, ) =6,Minimumstelle (, ), Minimumwert: 9