Quadratische Funktionen

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1 Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = c (,, c R; 0) heißt qudrtische Funktion oder Funktion. Grdes. qudrtisches Glied;...lineres Glied; c...solutes Glied Der Grph einer qudrtischen Funktion heißt Prel. Preln hen eine Symmetriechse. Der Schnittpunkt der Symmetriechse mit der Prel heißt Scheitelpunkt. Gleichungen qudrtischer Funktionen: llgemein: y = c (,, c R; 0) = 1 y = c Hier ht es sich eingeürgert, nicht mehr und c ls typische Vrilen zu nehmen, sondern p und q. y = p q (p, q R) p = 0 und q = 0 y = einfchster Fll einer qudrtischen Funktion p = 0 und q 0 y = q Qudrtische Funktionen mit Gleichungen y = und y = q y = Wertetelle: y Zeichnung Der Grph der qudrtischen Funktion y = heißt Normlprel. Eigenschften der Funktion y = mimler Definitionsereich 1 : R lle reellen Zhlen Scheitelpunkt: S(0; 0) Ursprung des Koordintensystems Nullstelle : 0 = 0 genu eine Nullstelle Monotonie 3 : für 0 monoton fllend für 0 monoton steigend Symmetriechse: Ordintenchse (y-achse) Werteereich 1 : y R, y 0 Menge der nichtnegtiven reellen Zhlen Zeichnen des Grphen 1. Scheitelpunkt. vom Scheitelpunkt us: 1 nch rechts 1 nch oen; 1 nch links 1 nch oen 3. vom Scheitelpunkt us: nch rechts nch oen; nch links nch oen. vom Scheitelpunkt us: 3 nch rechts 3 nch oen; 3 nch links 3 nch oen Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge D f genu ein Element y der Wertemenge W f zu. Jede Zhl us dem Definitionsereich einer Funktion y = f(), die Lösung der Gleichung f() = 0 ist, heißt Nullstelle der Funktion. (-Wert der Schnittpunkte mit der -Achse) 3 Intervlle, in denen die Funktion monoton (gleichleiend) steigt und fällt

2 Die Funktion y = q 3 Zeichnen Sie die Funktionen y =, y = und y = 3 in ein und dssele Koordintensystem. (Definitionsereich: R; -3 3) Stellen Sie eine Üersicht üer die Eigenschften der Funktion y = q zusmmen. Eigenschften der Funktion y = q mimler Definitionsereich : R lle reellen Zhlen Scheitelpunkt: S(0; q) Ursprung des Koordintensystems Monotonie 5 : für 0 monoton fllend für 0 monoton steigend Symmetriechse: Ordintenchse (y-achse) Werteereich 1 : y R, y q Menge der nichtnegtiven reellen Zhlen Lge des Scheitelpunktes S(0; q) ezüglich der -Achse: q > 0 S liegt oerhl der Aszissenchse q = 0 S liegt uf der Aszissenchse q < 0 S liegt unterhl der Aszissenchse Nullstellen: q < 0 q = 0 q > 0 genu Nullstellen genu eine Nullstelle keine Nullstelle Der Grph der Funktion y = q ist eine prllel zur Ordintenchse verschoene Normlprel mit dem Scheitelpunkt S(0; q). Zeichen des Grphen y = q: wie ei der Normlprel vorgehen Berechnung der Nullstellen y = y muss 0 sein 0 = - = 1 = ; = zwei Nullstellen y = y muss 0 sein 0 = = - n.l. keine Nullstellen llg.: y = q y muss 0 sein 0 = q = -q n.l. q > 0 keine Nullstellen 0 = 0 q = 0 ein Nullstelle 1 = q ; = - q zwei Nullstellen Bestimmen von q y = q P( ; 1) 1 = q q = -3 y = 3 Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge D f genu ein Element y der Wertemenge W f zu. 5 Intervlle, in denen die Funktion monoton (gleichleiend) steigt und fällt

3 5 Die Funktion y = p q Stellen Sie folgende Funktionen mit Hilfe einer Wertetelle grphisch dr. y = 6 9 im Intervll 5-1 y = 6 11 im Intervll 5-1 y =,6 1,9 im Intervll Vergleichen Sie die Grphen mit dem Grphen der Funktion y =. Es liegt in llen Fällen eine Verschieung des Grphen der Funktion y = vor. Es hndelt sich dei er für p 0 nicht um eine Verschieung nur in Richtung der Ordintenchse. Genuere Untersuchungen: Umformen der Funktion mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung geg.: y = p q ges. : y = ( d) e umgekehrter Weg: geg.: y = ( ) y = 8 16 y = 8 18 inomische Formel : ( ) = hier: ( d) = d d geg.: y = 8 18 y = 8 (8/) (8/) 18 y = ( ) (8/) 18 y = ( ) Üung : ) y = 10 5 y = ( 5) ) y = y = ( - ) c) y = 3 y = ( ) - 1 d) y = 10 7 y = ( 5) e) y = y = ( 5/) - 7,5 f) y = - 3 7/ y = ( 1,5) Funktionen,, c und d, e, f in jeweils ein Koordintensystem zeichnen und Scheitelpunkt lesen! S( - d; e) Scheitelpunktform einer qudrtischen Funktion: y = ( d) e Verschieung: Der Grph der Funktion y = ( d) e ist gegenüer y = um d in Richtung der Aszissenchse verschoen. Der Grph der Funktion y = ( d) e ist gegenüer y = um e in Richtung der Ordintenchse verschoen. Für Funktionen y = ( d) e (d, e R) gilt: Der Grph jeder dieser Funktionen ist eine Normlprel. Der Scheitelpunkt der Prel ist S(-d; e). Die Achse der Prel verläuft prllel zur Ordintenchse. S(-d; e) ist Scheitelpunkt, d y = ( d) für = -d den kleinsten Wert nnimmt.

4 6 Die Funktion y = mit R; 0 Stellen Sie folgende Funktionen im ngegeenen Intervll mit Hilfe einer Wertetelle grphisch dr. Vergleichen Sie die Grphen mit dem Grphen der Funktion y =. y = Intervll: [-3; 3] Streckungsfktor: 1 y = Intervll: [-3; 3] Streckungsfktor: -1 y = Intervll: [-; ] Streckungsfktor: y = Intervll: [-; ] Streckungsfktor: y = 1 y = 1 Intervll: [-; ] Streckungsfktor: Intervll: [-; ] Streckungsfktor: Mn erhält den Funktionswert von y =, indem mn den Funktionswert von y = mit multipliziert. Ergenisse Der Grph der Funktion y = heißt Prel. (Im Gegenstz zur Normlprel.) D(f): R; W(f): y R, y 0 Monotonie: für <0 m ; für >0 m Scheitelpunkt: S(0; 0) Die einzige Nullstelle ist 0 = 0. Symmetriechse: s = 0. Für > 0 ist die Prel nch oen geöffnet Für < 0 ist die Prel unten offen. (Spiegelung der Normlprel n der Aszissenchse.) Für > 1 ist die Prel enger ls die Normlprel. (Streckung der Normlprel in Richtung der Ordintenchse) Für < 1 ist die Prel weiter ls die Normlprel. (Stuchung der Normlprel in Richtung der Ordintenchse) = 1 Normlprel y = = 1 Spiegelung der Normlprel n der Aszissenchse

5 7 Die Funktion y = c mit,c R; 0 Stellen Sie folgende Funktionen im ngegeenen Intervll mit Hilfe einer Wertetelle grphisch dr. Vergleichen Sie die Grphen mit dem Grphen der Funktion y =. y = Intervll: [-; ] y = 1 Intervll: [-; ] y = 1 1 Intervll: [-; ] y = 1 1 Intervll: [-3; 3] Ergenisse Der Grph der Funktion y = c ist eine Prel, die gegenüer der Prel der Funktion y = um c in Richtung der Ordintenchse verschoen wurde. D(f): R; W(f): y R, y c Monotonie: für <0 m ; für >0 m Scheitelpunkt: S(0; c). Symmetriechse: s = 0. Nullstellen 0 = c = c 1, = ± c Ist c = 0, so ht die Funktion y = c eine Nullstelle: 0 = 0 Hen ds qudrtische Glied und ds solute Glied c ds gleiche Vorzeichen, so ht die Funktion y = c keine Nullstellen. Hen ds qudrtische Glied und ds solute Glied c unterschiedliche Vorzeichen, so ht die Funktion y = c zwei Nullstellen. Scheitelpunktsform und Normlform: y = c...streckungsfktor; c...verschieung

6 8 Die Funktion y = c mit,,c R; 0 Stellen Sie folgende Funktion im ngegeenen Intervll mit Hilfe einer Wertetelle grphisch dr. y = 1 16 Intervll: [1; 5] Scheitelpunkt: S(3; -1) Scheitelpunktform y = 1 16 y = [ 6 8] [ ] y = ( 3) 9 8 y = ( 3) y = ( 3) Scheitelpunkt: S(3; -) Streckungsfktor: 6 6 y = 6 8 [ 1] y = c y = c c y = y = c c y = Scheitelpunkt: c S ; Streckungsfktor: y = c Nullstellen 0 = = ( 3) ( 3) 0 = c = ( 3) = 1 3 = ± 1 = = ; = 1, ± c 0 = c = c 1, = ± c > 0 Nullstellen c < 0 keine Nullstellen c = 0 eine Nullstelle: 0 = c = c = ±

7 9 Ergenisse Der Grph der Funktion y = c ist eine Prel, mit dem Scheitelpunkt c S ; und dem Streckungsfktor. D(f): R; W(f): y R, c y Monotonie: für < m ; für > m Symmetriechse: S = > 0 Prel nch oen geöffnet, < 0 Prel unten offen > 1 Streckung um in Richtung der Ordintenchse < 1 Stuchung um in Richtung der Ordintenchse Nullstellen: 1, c ± = Scheitelpunktform: c y =..Streckungsfktor; c S ;