6-1 Elementare Zahlentheorie. mit 1 b n und 0 a b (zusammen mit der Ordnung ) nennt man die n-te Farey-Folge, zum Beispiel ist

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1 6- Elementre Zhlentheorie 6 Frey-Folgen Die Menge F n der rtionlen Zhlen mit n und (zusmmen mit der Ordnung ) nennt mn die n-te Frey-Folge, zum Beispiel ist F = { < < < < < < < < < < } Offensichtlich gilt: F = {, }, lso F = Ist n, so ist F n = F n +φ(n) Also ist n F(n) = + φ() Gehören die Brüche < c d zu F n, und git es kein x F n mit < x < c d, so nennen wir < c d Frey-Nchrn (flls notwendig, mit dem Zustz: in F n) 6 Lemm: () Aus < x y < c (mit, y, d N) und c d = folgt y + d d () Gilt < c d (mit, d N) so ist = < +c +d < c d (c) Sind < c d Frey-Nchrn in F n, so ist + d > n Beweis von (): Aus < x y folgt y < x, lso x y Aus x y < c d folgt xd < yc, lso yc xd Wir sehen dher: y = y(c d) = yc yd = yc xd + xd yd = (yc xd) + d(x y) + d Beweis von (): < c d liefert d < c Also ist (+d) < (+c) und (+c)d < c(+d) Beweis von (c): Seien < c d Frey-Nchrn in F n Wäre + d n, so wäre uch +c +d in F n Aer nch () liegt +c +d zwischen und c d, Widerspruch 6 Stz Seien < c d, geschrieen in gekürzter Form Genu dnn sind dies Frey-Nchrn, wenn gilt c d = Beweis: Seien < c d Frey-Nchrn in F n Nch Vorusetzung ist (, ) =, lso git es eine Lösung der Bézout schen Gleichung x y = Mit [x, y] sind uch die Pre [x + t, y + t] Lösungen, mn knn dher vorussetzen, dss n < y n gilt (wegen n ist y >, lso uch x >, denn x y = ) Es ist lso x y F n Aus x y > folgt x > y, lso x y >, demnch hen wir x y c d Wäre x y c d, so wenden wir 6() uf < c d < x und erhlten d + y Aer wegen y c d F n und n < y gilt d n < + y Dieser Widerspruch zeigt, dss x y = c d gilt, lso x = c, y = d und demnch c d = x y = Sei nun umgekehrt c d = Sei n ds Mximum von und d Nch Definition gehören dnn und c d zu F n Wären sie keine Frey-Nchrn in F n, so gäe es

2 Leitfden Bielefeld WS 6/7 6- einen Bruch x y in F n mit < x y < c d Aus 6 () folgt y + d, er + d > n, Widerspruch 6 Sind < c d Frey-Nchrn, so nennt mn +c +d den Medinten von, c d Folgerungen Seien < c d Frey-Nchrn Dnn gilt: () Sowohl < +c +c ls uch +d +d < c sind Frey-Nchrn d () Es ist c d = c Beweis: () Aus c d = folgt sowohl ( + c) ( + d) = ls uch ( + d)c ( + c)d = () c d = c d c = c Vernschulichung in der Eene: Wir etrchten Brüche der Form [ ] mit N, N, dei können wir vorussetzen (, ) = Die Gitterpunkte, die uns interessieren, liegen oerhl der Digonle: es ist ) Links, ls Beispiel, ds Frey-Pr = < = c d, mit dem Medinten Zusmmen mit dem Ursprung 7 ilden sie ein Prllelogrmm mit Flächeninhlt (denn det [ c ] d = c d = ) Rechts sieht mn die Punkte in R, die den Elemente von F entsprechen y [ ] [ ] [ ] 7 x y x 6 Lemm Sei m N vorgegeen, sei < α < irrtionl Dnn git es Frey-Nchrn < c d (gekürzt) mit < α < c und sowohl > m, ls uch d > m d Betrchte die Zhlen α p q mit p q F m, und ilde ihr Minimum ǫ Es ist ǫ >, denn F m ist endliche Menge und α ist nicht rtionl Wähle eine ntürlliche Zhl n > ǫ, lso n < ǫ In F n git es Frey-Nchrn < c d mit < α < c d D F n lle Zhlen u n mit u n enthält, ist der Astnd zweier enchrter Zhlen in F n höchstens n, dher ist α < n α c d < n Wegen n < ǫ sehen wir: weder, noch c d gehört zu F m, lso > m, d > m

3 6- Elementre Zhlentheorie mit 6 Stz von Hurwitz Ist α R irrtionl, so git es unendlich viele Brüche α < Beweis: Seien < c d Frey-Nchrn in F n mit < α < c d Betrchte den Medinten +c +d Wir zeigen: Mindestens eine der drei Zhlen, c d, +c +d knn für die Behuptung des Stzes gewählt werden Wenn nicht, dnn gilt: α, () () c d α, d () α +c +d (+d) Die Summe der ersten eiden Ungleichungen () und () liefert Fll : +c +d d = c d = c d α + α ( d + ) < α, dnn ist lso ( ) α +c +d (+d) Addieren wir die Ungleichungen () und ( ), so erhlten wir wie een: Fll : +c +d > α, lso (+d)d = ( ) + (+d) d ( ) +c +d α (+d) Diesml ddieren wir ( ) und () und erhlten (+d) = ( ) (+d) + In eiden Fällen ergit sich ein Widerspruch, wegen des folgenden Lemms: Lemm Es git keine ntürliche Zhlen x, y mit xy ( x + y ) nd x(x+y) ( x + (x+y) ) Beweis: Die eiden Ungleichungen liefern: xy x + y und x(x + y) x + (x + y) = x + xy + y

4 Leitfden Bielefeld WS 6/7 6- Addition ergit x + xy = (x + xy) x + xy + y, Wir multiplizieren mit und verschieen die linkte Seite nch rechts: x xy + 6x + xy + y = y ( )xy + ( + )x = ( y ( )x ) Drus folgt: y ( )x =, und demnch = y x + Aer ist nicht rtionl! Wegen Lemm 6 wissen wir, dss und d (und dmit uch +d) elieig groß gewählt werden können Dmit ist der Stz ewiesen Bemerkung Sucht mn zu einer irrtionlen Zhl α rtionle Zhlen mit α <, so rucht mn nur Lemm 6: Dies liefert Frey-Nchrn < c d (gekürzt) mit < α < c +c d und > n, d > n Bilde den Medinten +d Ist α < +c +d, so liegt α zwischen +c +c und Es ist +d +d = (+d) < Also ist α < Ist dgegen α > +c +, so etrchtet mn entsprechend ds Intervll zwischen +d c+d und c d und sieht: α c d < d 66 Zustz Die Konstnte im Stz von Hurwitz ist est-möglich Es gilt nämlich die folgende Aussge: Ist β >, so git es irrtionle Zhlen α, sodss es nur endlich viele rtionle Zhlen mit α < β git (zum Beispiel gilt dies für α = + ) Beweis: Sei + < Setzen wir γ = ( β ), so ist γ = = + < β Die γ definierende Gleichung schreien wir um: = + γ und qudrieren sie: lso + = + γ + γ = γ + γ

5 6- Elementre Zhlentheorie Die linke Seite knn nicht Null sein, denn sonst wäre eine Nullstelle des Polynoms X X, er dessen Nullstellen sind ±, lso nicht rtionl Dher ist γ + γ γ + γ < β + δ, lso β < β, Wir setzen β > vorus, lso > β, dher ist < β = β (β β ) Wir erhlten < β β Wir sehen lso: ist etrgsmäßig eschränkt: es git lso nur endlich viele mögliche und demnch uch nur endlich viele mögliche Brüche 67 Die Hurwitz-Ungleichung α < können wir uch in folgender Form schreien: α < () Ist α irrtionl, und ǫ >, so git es N, sodss im Intervll ]α ǫ, α+ǫ[ eine gnze Zhl liegt Beweis: Wähle [, ] Z N mit α < und genügend groß, genuer: > ǫ Dnn ist α < ǫ Die gnze Zhl liegt lso im Intervll ]α ǫ, α+ǫ[ () Irrtionlitätskriterium Eine reelle Zhl α ist genu dnn irrtionl, wenn die Ungleichung α < unendlich viele teilerfremde Lösungen (, ) Z N ht Beweis: Ist α irrtionl, so wissen wir, wie mn unendlich viele derrtige Lösungen findet Sei umgekehrt α rtionl, lso etw α = u v Gesucht sind Lösungen von u v <, lso u v < v Ist u v =, so ist = u v, dies ist ntürlich eine Lösung Für jede ndere Lösung gilt u v < v, lso < v Es git er sicher nur endlich viele Brüche mit Nenner < v, für die u v < gilt, hier wird er sogr u v < verlngt

6 Leitfden Bielefeld WS 6/ Den Stz von Hurwitz können wir folgendermßen umformulieren: Ist α R irrtionl, so git es unendlich viele sodss α in jedem Intervll ], [ liegt In 66 hen wir gesehen: Ist β >, so git es irrtionle Zhlen α, die nur in endlich vielen Intervllen ] γ, [ γ liegen Für γ = gilt sogr: Stz Die Zhl liegt in keinem der Intervlle mit Z, N ], [, Beweis: Angenommen, es gäe Z, N mit Mutlipliktion mit liefert < < + < < + Offensichtlich muss positiv sein: Wäre, so liefert die rechte Ungleichung <, lso <, er Die linke Ungleichung liefert < ( ) + <, denn, 77 D positiv ist, ist <, lso < Demnch hndelt es sich hier um Ungleichungen mit drei positive Zhlen, durch Qudrieren erhlten wir entsprechende Ungleichungen: Wir sutrhieren und multiplizieren mit : Wegen < sehen wir < < + 8, und + 8 < +

7 6-7 Elementre Zhlentheorie Insgesmt erhlten wir < < D eine gnze Zhl ist, ist =, lso = Dies widerspricht er der Irfrtionlität von Zustz Es git viele mthemtische Aussgen, die Üerdeckungen der rtionlen Zhlen durch offene Intervlle etreffen, und die sehr üerrschend sind Im Rhmen der Mßtheorie lernt mn folgendes Beispiel: Beknntlich ist die Menge der rtionlen Zhlen (oder uch die der rtionlen Zhlen im Einheitsintervll I ) zählr Sei lso q, q, eine derrtige Azählung der rtionlen im Einheits-Intervll I Betrchte die Vereinigung der folgenden Intervlle: U = ] q 8, q + 8[, U = ] q 6, q [ + 6, U = ] q, q + [, (lso U i = ] [ q i, q i+ + ) Ds i-te Intervll Ui ht die Länge, lso ds i+ i+ Borel-Mß µ(u i ) = Die Vereinigung U = i+ i U i ht demnch ds Borel-Mß µ(u) = µ( i U i) Ds Komplement I \ U ht demnch ds Mß i= i+ = µ(i \ U) = µ(i) µ(i U) = µ(i U) µ(u) = Es ist lso I \ U eine (geschlossene) Menge, die nur us irrtionlen Zhlen esteht, und die messr ist, mit Mß µ(i \ U) (Wir hen hier zwei wichtige Eigenschften des Borel-Mßes verwendet: Die (Su-)Additivität für zählre Vereinigungen messrer Mengen und die Additivität für komplementäre messre Mengen) 69 Sei α R, Wir etrchten die Zhlen nα nα [, [ = {r R r < }

8 Leitfden Bielefeld WS 6/7 6-8 Ist α = u v mit (u, v) =, so erhält mn ls nα nα eine der Zhlen, v, v v,, v, lso nur endlich viele Werte Dgegen gilt: Stz (Kronecker) Sei α R irrtionl, sei β < elieig, und ǫ > Dnn git es ein n N mit nα nα β < ǫ (Ds heißt: die Zhlen nα nα liegen im Intervll [, [ dicht (Wir etrchten hier die gnzzhligen Vielfchen nα von α und eine vorgegeene Zhl β und sehen, dss die Differenz nα β in R/Z elieig klein wird: Es git zu jedem ǫ > gnze Zhlen, n mit n > und nα β < ǫ) Beweis: Nch 67 () git es N, sodss im Intervll ]α ǫ, α + ǫ[ eine gnze Zhl liegt, lso ist α < ǫ Ist α >, so ist α =, und α α < ǫ Die Folge der Zhlen α α, α α, α α, ist ufsteigend und liefert Punkte im Intervll [, [ mit jeweiligem Astnd < ǫ Zu β git es ein t mit (t )α (t )α β tα tα, lso wähle n = t Ist α <, so ist α = Auch hier etrchten wir die Folge der Zhlen α α, α α, α α,, diesml ist dies eine steigende Folge Sie liefert wieder Punkte im Intervll [, [ mit jeweiligem Astnd < ǫ Zu β git es ein t mit lso wählen wir wieder n = t tα tα β (t )α (t )α, Ds Intervll [, [ knn mn (und sollte mn) mit der Fktorgruppe R/Z identifizieren, und zwr vermöge der Aildung f : (R, +) (C, ), mit f(t) = exp(πit) für t R Beknntlich ist dies ein Gruppen-Homomorphismus Ds Bild dieser Aildung ist der Einheitskreis S = {x + iy x, y R, x + y = } = {z C z = }, dies ist eine Untergruppe von (C, ) Der Kern ist die Untergruppe (Z, +) (R, +)