9.5. Uneigentliche Integrale

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Erna Stieber
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9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion

1 9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen, und eine Aleitung muß nicht integrierr sein. Ein Beispiel zur ersten Aussge hen wir schon kennengelernt, nämlich die Signum-Funktion, die zwr keine Stmmfunktion esitzt, er stückweise stetig und dmit sicher integrierr ist. Eine integriere Funktion knn sogr unendlich viele Unstetigkeitsstellen hen. Beispiel : Eine unendliche Treppe Wir setzen Rechtecke der Höhe k üer die Intervlle, k +. k Die oere Rndkurve wird eschrieen durch die uf dem hloffenen Intervll ],] definierte Funktion f( x) x ( ) /[/x] woei [/x] die größte gnze Zhl unterhl /x edeutet. Diese Funktion ist gleichmäßiger Grenzwert der echten Treppenfunktionen g n ( x ) I k ] n k ( ) χ Ik ( x ) mit k + χ I ( x ) uf I k und χ Ik ( x ) k k, k ], sowie sonst. Die Gesmtfläche zwischen der x-achse und der Funktion f, lso ds estimmte Integrl x ( ) knn mn nicht mittels einer Stmmfunktion erechnen (zu viele Sprungstellen). Es ist jedoch klr, dß der gesuchte Flächeninhlt durch Summtion der einzelnen Rechteckflächen entsteht: ( ) F k k + π x k k k k. k ( k + ) k 6 Für die letzte Gleichung rucht mn viel höhere Mthemtik!

2 Uneigentliche Integrle treten dnn uf, wenn entweder Integrtionsgrenzen unendlich werden oder die Funktion im Integrtionsereich uneschränkt ist. Existieren für ein d us R u {} lle Integrle f( x ) mit < < d sowie deren Grenzwert ei Annäherung von n d, so setzt mn f( x ) d d- f( x). Wegen der Stetigkeit der Funktion F( ) f( x ) kommt für ds Integrl F( d ), sofern es im eigentlichen Sinne existiert, ds Gleiche herus wie ei der Grenzwertildung - die neue Definition ist lso im Einklng mit der lten. Entsprechend definiert sind die linksseitig uneigentlichen Integrle f( x ) c c c+ f( x ) und die eidseitig uneigentlichen Integrle d z f( x ) + f( x ) c+ d - für elieiges, fest gewähltes z zwischen und. Wegen der Additionsregel ist diese Definition unhängig von der Whl der Zwischenstelle z. Beispiel : Flächen unter Potenzfunktionen z f( x) Für welche positiven und c existieren die uneigentlichen Integrle zw. d x c x? x c c Der optische Eindruck legt nhe, dß für c > ds linke Integrl unendlich, ds rechte dgegen

3 endlich ist, während es sich für c < gerde umgekehrt verhält. c Ds wollen wir jetzt rechnerisch üerprüfen. Für c > ergit sich x c + x c für c < hingegen c ( c) c x ( ) + c ( c) c x ( ) ( c) x c c Für den Wert c + ( c ) x c c ( c) c ( c) c ) ( c. kommt in eiden Fällen herus: c, ( c ) c ( c ), c c ( c ) ( ), x ln( ) ( ln( ) ), + x ( ln( ) ) ln( ). Beispiel 3: Arcustngens ohne Grenzen Betrchten wir die Funktion + x

4 Auf jedem endlichen Intervll ergit sich mittels Stmmfunktion ds Integrl rctn( ) rctn( ). + x Wegen rctn( x) π x ( ) π + rctn( ), + x π. + x und rctn( x ) x π folgt π rctn( ), + x rctn( x ) Beispiel 4: Arcussinus mit uneschränkten Funktionswerten Diesml etrchten wir die uf dem offenen Intervll von - is definierte Funktion x Ds uneigentliche Integrl

5 x ermittelt mn leicht mit Hilfe der Stmmfunktion rcsin( x ): Wegen rcsin( x) π π und rcsin( x ) x ( ) + x - ist der Flächeninhlt zwischen und der x-achse eenflls x π π π. x rcsin( x) Beispiel 5: Eine uneschränkte Aleitung Die Funktion F( x) x 3 sin, x stetig ergänzt durch F( ), ist in llen Punkten differenzierr mit der Aleitung 3 x sin x f( x ) x cos x für x, d f( ) sin x x x 3 sin x x, durch eschränkt ist und x gilt. x

6 Owohl die Funktion f( x ) die Stmmfunktion F( x ) esitzt, ist sie in jedem Intervll [,] uneschränkt und somit nicht integrierr: f n π, f n π ( n + ) π ( n + ) π. Die Funktion f( x ) ht weder eine Stmmfunktion, noch ist sie eschränkt... Die Fläche zwischen dieser Kurve und der x-achse ist kleiner ls die Fläche zwischen der durch 3 g( x ) x + x eschrieenen Kurve und der x-achse. Diese Fläche ht den endlichen Inhlt 3 x + x 3 + 3, und es ist sinnvoll, diesen Grenzwert ls ds (uneigentliche) Integrl von g üer dem Intervll [,] zu etrchten, owohl g in gr nicht definiert ist. Beispiel 6: Ein Integrl, ds nicht existiert D die Funktion f( x ) x + x ungerde ist (d.h. f( x ) f( x )), ergit sich ohne jede Rechnung

7 f( x ). Aer ds uneigentliche Integrl f( x ) ( ) existiert trotzdem nicht, denn z.b. ist f( x ) ( ) f( x) ln ( + ), f( x ) ( ln ( + )). ( ) Beispiel 7: Verwndte Glockenkurven Wir kennen schon ds uneigentliche Integrl + x rctn( ) π. Für die höheren Potenzen des Nenners enutzen wir die Formel ( + x ) ( n ) d x cos( y ) ( n ) d y w n n j j j. π w n π mit Aus Symmetriegründen folgt π ( + x ) ( n ) cos( y ) ( n ) dy w π n π (n,,...) Es ergeen sich stets zwei sehr ähnliche Kurven mit exkt gleichem Flächeninhlt - llerdings mit dem grvierenden Unterschied, dß die eine Kurve von is läuft, die ndere dgegen nur von π is π.

8 Wir zeichnen ( + x ) ( n ) und cos( y ) ( n ) für n (reit) und n (schml) : Mehrdimensionle uneigentliche Integrle Beispiel 8: Turmu zu Bel und Pris Die Biel üerliefert, die Bylonier hätten versucht, einen unendlich hoch in dem Himmel rgenden Turm zu uen. Der Ingenieur weiß, dß dies schon n den eschränkten Mterilressourcen scheitern muß - oder doch nicht? Stellen wir uns vor, der Eiffelturm würde immer weiter nch oen fortgesetzt, woei sich seine Profilkurve einigermßen gut durch z 4 x x eschreien läßt, flls die Breite (doppelte x-koordinte!) in der Höhe z ist. Bilden wir mit den oigen Funktionswerten die Rndpunkte wgerechter Qudrte, so ergit sich durch Üereinnderstpeln dieser qudrtischen Pltten der dreidimensionle Eiffelturm: E (, x, y ) mx ( x, y ) 4 mx ( x, y )

9 Die Oerfläche des Turms ist wegen der Krümmung sicher größer ls die zuvor skizzierte Fläche zwischen den eiden (in die x-z-eene projezierten) Rndkurven und der x-achse. Wie groß ist diese Fläche? Bilden wir lindlings die Stmmfunktion F( x ) x ln( x ) x signum( x ) für x 4 x 4 und setzen die Grenzen und ein, so ht die Differenz den endlichen Wert ln( ) ln( ) F( ) F( ) Aer ds ist leider nicht der Flächeninhlt! Wrnung: Nie üer Pole hinweg integrieren! ln( ). In Wirklichkeit ergit sich nämlich wegen der Symmetrie zur y-achse ds Doppelte von ε + ε ln( ) x 4 x 4 + ε ln( ε) 4 ε lso ein unendlicher Flächeninhlt! Erst recht ist die Oerfläche des (elieig verlängerten) Eiffelturms unendlich, und lle Fre der Welt reicht nicht us, um ihn komplett nzustreichen.

10 Ds Volumen des Turms Dß ein unendlich hoher Turm eine unendliche Oerfläche ht, wundert uns weniger. Doch die Üerrschung kommt, wenn wir sein Volumen erechnen. Denken wir uns dzu den Turm us dünnen qudrtischen Pltten der Seitenlänge x in der Höhe z x 4 x ufgeut, so ist 4 x + 4 x z, lso wegen x > x + z z, und für den Flächeninhlt der qudrtischen Pltte in der Höhe z ergit sich 4 x + z z + z. Unestimmte Integrtion dieser Funktion liefert F( z ) z 3 z z 3 und dieser Ausdruck geht mit wchsendem z gegen. Ds sieht mn z.b. durch Multipliktion mit G( z ) z 3 z z 3 > z + 4 z 3 3 : Nch Vereinfchung wird us dem entstehenden Produkt F( z ) G( z ) z + z ( + z ) z 3 und d dies die Größenordnung z, hingegen G( z ) die Größenordnung z 3 ht, muß der Quotient us 4 6 9, eiden, lso F( z ), die Größenordnung hen - und ds geht ntürlich gegen. z Nch Auswertung m unteren Integrlrnd z leit ds uneigentliche Integrl + z z + z dz z F( z ) F( ) F( ) 3 3. Dies ist lso, oerhl des Niveus z gemessen, ds endliche Volumen des unendlich hohen Eiffelturms, für dessen Anstrich mn unendlich viel Fre rucht - schon eine prdoxe Sitution! Kein Wunder, dß Jehov die Bylonier für ihren Hochmut durch die erühmte Sprchverwirrung estrfte!

11 Beispiel 9: Ds Gußsche Integrl und der Zuckerhut Wie groß ist die Fläche unter der Funktion e ( x ), wenn x die gesmte reelle Achse durchläuft? Wir hen schon erwähnt, dss diese Funktion nicht elementr integrierr ist. Erstunlicherweise ringt ein Auslick ins Mehrdimensionle die Lösung: Ds Integrl der Funktion e ( x y ), erstreckt üer die gnze Eene, ist einerseits e ( ) x y d y d x e ( x ) e ( y ) d y e ( x ) Andererseits liefert die zweite Integrlformel für Rottionsvolumin, indem mn üer Kreishülsen mit Rdius r x + y integriert: π e ( r ) r dr [ e ( r ) ] π π. Beides zusmmen führt uf ds üerrschende Ergenis x d x π. e ( ) Schon erstunlich, wie oft die Kreiszhl π ei wichtigen Integrlen uftucht!.

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