Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik

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1 Beispiel-Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs. Leistungskurs Fch Mthemtik Fchbereich Technik mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

2 Konstruktionsmerkmle der Aufgbe rten Aufgbe Aufgbe Aufgbe 3 Aufgbe 4 Anlysis Informtionstechnik, Lichtwellenleiter Anlysis Mschinenbutechnik, Thoms-Birne Anlytische Geometrie Konstruktions- und Fertigungstechnik, Schräglenker Stochstik Informtionstechnik, Dten-Generierung mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

3 stellung Aufgbe : Im Rhmen der Netzwerktechnik werden heute neben den klssischen Kupferleitungen zunehmend Lichtwellenleiter (LWL) eingesetzt. Bei dem hier betrchten Unternehmen geschieht dies zur Verbindung benchbrter Gebäude. Um die elektrischen Signle uf die LWL umzusetzen, benötigt mn einen sogennnten Medienkonverter, dieser erzeugt einen kurzen Lichtimpuls in der Form einer Gußschen Glocken-Kurve. Betrchtet mn die Wellenlänge, so kommt es durch verschiedene Dämpfungs- Effekte uf dem LWL nch einer gewissen Lufstrecke zu einer Verzerrung des Lichtsignls (s. Abbildungen). (x In der Abbildung wird ds ursprüngliche Signl durch die Funktion f(x) = e beschrieben. Dbei gibt x die Wellenlänge n, f(x) ist die Energiedichte, beschreibt lso, welche Energie pro (infinitesimlem) Wellenlängenbschnitt gemessen wurde. Die Einheiten der x-achse sind hier in Nnometer (nm) gewählt, die Einheiten uf der f(x)-achse sind nicht von Bedeutung und sind so gewählt, dss gilt: f(300)=. 300). Bestimmen Sie die Wellenlänge, bei der ds Mximum der Energiedichte f(x) liegt. ( Punkte). Berechnen Sie die Stellen, n denen die Funktion f(x) Wendepunkte hben knn. ( Punkte).3 Ermitteln Sie die Breite b des Signls. Für die Breite b muss gelten: f(300 ± 0,5 b) = 0,5 f(300), d bei 300 nm ds Mximum der Energiedichte liegt. ( Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

4 v.4 Ds Integrl f(x)dx beschreibt die Energie des Signls zwischen den Wellenlängen u und v. Begründen Sie ohne Rechnung, dss ds uneigentliche Inte- u + grl f (x)dx einen endlichen Wert nnimmt. ( Punkte) Ds verzerrte Signl in der Abbildung lässt sich für durch eine bschnittsweise definierte prmetrisierte Funktion beschreiben: g,b (x) = 0 ( x b) ( x b) e mit,b R + für x 98 für x < 98.5 Weisen Sie nch, dss für b = 98 ds Mximum der Energiedichte des verzerrten Signls bei x m = 300 liegt und bestimmen Sie den Prmeter so, dss die Energiedichte des verzerrten Signls n dieser Stelle uf g(x m ) = 0,4 bgesunken ist. ( Punkte).6 Vergleichen Sie den Energieinhlt des verzerrten Signls mit dem Energieinhlt des Ausgngssignls. Wie viel Prozent der Ausgngsenergie sind noch vorhnden? ( Punkte) Anleitung: - Weisen Sie nch, dss die gesmte Ausgngs-Energie gilt: f (x)dx = π. Dzu können Sie ds Ergebnis für ds Gußsche Fehler-Integrl + e x dx = π und die Substitutionsregel verwenden. - Berechnen Sie in einem nächsten Schritt die prozentul verbleibende Energie (Bechten Sie bei der Integrtion: g(x) = 0 für x < 98). Flls Sie in Aufgbe.5 zu keinen Werten gekommen sind, rechnen Sie mit den Werten = 0,39 und b = 98 weiter. + mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

5 Aufgbe : Ds Thoms-Verfhren ist ein so gennntes Bls- oder Windfrischverfhren, bei dem durch Bodendüsen eines Konverters ( Thoms-Birne ) Luft in flüssiges Roheisen geblsen wird. Ds Foto zeigt eine Thoms-Birne, ds Digrmm den Längsschnitt durch eine liegende Thoms-Birne. (Im Modell gilt: Längeneinheit = m). Die obere Begrenzung der Fläche knn im. Qudrnten durch die Funktion f mit der Gleichung f (x) x = x e mit 0 x beschrieben werden.. Berechnen Sie, für welchen Wert von der Durchmesser der oberen Öffnung der Birne 6 m beträgt und ermitteln Sie den mximlen Durchmesser der Birne in Abhängigkeit von. ( Punkte). Untersuchen Sie den Grphen der Funktion f (x) uf Wendepunkte und geben Sie deren Koordinten n. (9 Punkte) Im Folgenden wird ein spezielle Birne mit dem Wert =/4 betrchtet..3 Skizzieren Sie den Grphen von f /4 (x) für 0 x in ein geeignetes Koordintensystem! ( Punkte).4 Berechnen Sie die Fläche, die entsteht, wenn der Körper längs der x-y-ebene ufgeschnitten wird! (0 Punkte) Zur Vereinfchung wird im Folgenden die Näherungsformel V E (h) = -4,4h 3 + 5h + 36h ; 0 < h < für die Berechnung des Volumens in Abhängigkeit der Füllhöhe h verwendet..5 Vergleichen Sie diesen Näherungswert für ds Birnenvolumen mit dem mittels b Integrtionsformel für Rottionskörper ( V = π (f(x)) dx ) berechneten Wert und geben Sie die prozentule Abweichung n! ( Punkte).6 Ds Gesmtvolumen einer Stndrd Thoms-Birne beträgt 030 m 3. Zeigen Sie mit einem Näherungsverfhren, in welcher Füllhöhe die Birne zu einem Viertel gefüllt ist (Berechnen Sie 4 Stellen hinter dem Komm)! ( Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

6 Aufgbe 3: Die Achsufhängung von Personenkrftwgen muss wie z.b. Federungskomfort, Gerdeusluf und Kurvenseitenführung erfüllen. Die Abbildung zeigt schemtisch den Aufbu einer Schräglenker-Aufhängung für die Hinterchse eines dort ngetriebenen Autos. Der Schräglenker selbst ist ein mssives Buteil, ds uf der einen Seite die Rdchse führt. Auf der nderen Seite ist der Schräglenker in den Punkten A und B über einen Zpfen so verbunden, dss er sich um die Achse AB drehen knn. Der Rdmittelpunkt R bildet lso mit den Punkten A und B ein strres Dreieck, ds sich beim Einfedern des Rdes um die Achse AB dreht. Gegeben sind die Punkte A(4 3 3), B(5 6 4) und R(0 3) in einem krtesischen Koordintensystem. Mit der Einheit 00 mm entsprechen diese Zhlen ungefähr der Wirklichkeit. Der Ursprung des Koordintensystems liegt uf Strßenhöhe unter der Mitte der Hinterchse, die x -Achse zeigt in Fhrtrichtung. Ausgngspunkt ist die Normlstellung des Hinterrdes, bei der die Rdchse prllel zur x -Achse ist. Mn betrchtet zunächst den unbelsteten Zustnd: 3. Stellen Sie die Gerdengleichungen für die Lenkerchse l und die Rdchse g uf und zeigen Sie, dss die beiden Gerden windschief sind. ( Punkte) 3. Wie schräg ist der Schräglenker? Bestimmen Sie die Winkel α und β zwischen den Grundrissen g und l bzw. den Aufrissen g und l! (Der Grundriss einer technischen Zeichnung ist die Abbildung ller Elemente in die x - x -Ebene, der Aufriss ist die Abbildung in die x - x 3 -Ebene.) (6 Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

7 3.3 Der Schnittpunkt der Lenkerchse l mit der Rdebene E sei N. Diesen Punkt nennt mn Nickpol. Berechnen Sie die Koordinten von N! (Flls Sie in 3. kein Ergebnis für die Lenkerchse l bekommen hben, rechnen Sie mit folgender Gleichung weiter: l: ( Punkte) 4 x r = 3 + λ 6 ; λ R ) Der Abstnd d des Rdmittelpunktes von der Lenkerchse l wird Lenkerlänge gennnt. Berechnen Sie d! ( Punkte) Ds Rd fährt über eine Bodenwelle. Ddurch wird der Rdmittelpunkt um,4 Einheiten in x 3 - Richtung ngehoben. 3.5 Leiten Sie die Koordinten des neuen Rdmittelpunktes R her! (Denken Sie drn, dss ds Dreieck ABR strr ist und dher gilt: ' AR = AR und Rdmittelpunktes! ( Punkte) BR ' = BR. Es ändern sich lso x und x des neuen 3.6 Begründen Sie ohne Rechnung: Wrum muss der Nickpol N uch Punkt der neuen Rdebene E sein? ( Punkte) 3. Der neue Verluf der Rdchse ist durch die Gerdengleichung g bestimmt: g : 0 5 x = 6, + λ 44 mit λ R. 5,4 8 Stellen Sie in Koordintenform eine Gleichung der neuen Rdebene E uf (Flls Sie in 3.5 kein Ergebnis bekommen hben, rechnen Sie mit R (0 6, 5,4) weiter). (6 Punkte) Angelehnt n: Strk Verlgsgesellschft: Unterrichtsmterilien Anlytische Geometrie. Freising: Strk Verlg 003, Kpitel S.3 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

8 Aufgbe 4: Ein Computer druckt Buchstben und Ziffern in zufälliger Reihenfolge unbhängig voneinnder us. Die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten eines Buchstbens betrge p = 0,4. Der Computer druckt die Zeichen in so gennnten Oktden us, ds sind Gruppen zu je 8 Zeichen. 4. Berechnen Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde die ersten drei Zeichen Buchstben und der Rest Ziffern sind! ( Punkte) 4. Bestimmen Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde mehr ls und weniger ls 5 Buchstben sind! (0 Punkte) 4.3 Ermitteln Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde mindestens 5 Buchstben sind! ( Punkte) 4.4 Begründen Sie rechnerisch: Wie viele Oktden müssen mindestens gedruckt werden, dmit mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 60 % mindestens eine Oktde erscheint, die nur us Ziffern besteht? ( Punkte) Der Computer wird nun so progrmmiert, dss die Oktden in zwei Ordnern BU und ZI gespeichert werden. Überwiegt in einer Oktde die Anzhl der Buchstben, so wird die Oktde in den Ordner BU gespeichert, ndernflls in den Ordner ZI. 4.5 Zeigen Sie, dss die bedingte Whrscheinlichkeit dfür, dss bei einer beliebigen Oktde us BU die letzten zwei Zeichen Buchstben sind, etw 4 % entspricht! ( Punkte) 4.6 Durch einen technischen Fehler sind sämtliche Oktden in dem Ordner BU gespeichert worden. Bei einer zufällig herusgegriffenen Oktde sind die beiden letzten Zeichen Buchstben. Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss es sich um eine Oktde hndelt, die zu Recht in dem Ordner BU gespeichert worden ist? (9 Punkte) Binomil-Verteilung, Summenfunktion Fn;p(k) = Bn;p(k) Bn;p(k) n k 0,0 0,03 0,04 0,05 0, 0,5 /6 0, 0,5 0,3 /3 0,4 0, Angelehnt n: Otmr Fltheiner:Mthemtik Abitur Whrscheinlichkeitsrechnung Sttistik Leistungskurs. München: Mns Verlg 988 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

9 3 Mterilgrundlge keine 4 Bezüge zu den Prüfungsvorgben für ds Zentrlbitur m Berufskolleg im Jhr 009 Die sind vollständig us den Gebieten entnommen, die in den Prüfungsvorgben für ds Abitur 009 im Fch Mthemtik, Fchbereich Technik, ufgeführt sind. Anlysis Funktionsklssen: Gnzrtionle Funktionen, ntürliche Exponentil-/Logrithmus- Funktionen, deren Verknüpfungen und Funktionenschren Funktionseigenschften - Extrem- und Wendepunkte - hinreichendes / notwendiges Kriterium (ohne Beweis der Kriterien) - Anwendung der Ableitungsregeln - Nullstellen, Newtonverfhren Deutung und Anwendung des Integrls - Integrtionsregeln - Orientierter Flächeninhlt - Anwendung des Integrls uf technische Frgestellungen - Prtielle Integrtion / Linere Substitution Linere Algebr / Anlytische Geometrie Objekte im dreidimensionlen Rum - Gerden und Ebenen im Rum (Lgebeziehungen, Prmeter-/Koordinten-/Normlenform) - Metrik (Winkel und Abstände) - Sklr- und Vektorprodukt mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9

10 Stochstik Whrscheinlichkeiten - Whrscheinlichkeitsbegriff / Zufllsgrößen / Rechenregeln - Zählstrtegien zur Bestimmung von Whrscheinlichkeiten - Vierfeldertfeln / Bedingte Whrscheinlichkeit / Stz von Byes Whrscheinlichkeitsverteilung - Zufllsgrößen und Verteilungen - Bernoulli Experiment - Binomilverteilung 5 Zugelssene Hilfsmittel Für diesen stz sind zugelssen: - Gedruckte Formelsmmlungen der Schulbuchverlge, die keine Beispielufgben enthlten. Die Formelsmmlungen sind vor Ausgbe n die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - Tbellierte kumulierte Binomilverteilung (s. Vorgben für die Abiturprüfung 009) - nicht progrmmierbre wissenschftliche Tschenrechner. Für diesen stz sind nicht zugelssen: - Schulinterne eigene Druckwerke, mthemtische Fchbücher und mthemtische Lexik - Computerlgebrsysteme - Tschenrechner, die über eines der folgenden Leistungsmerkmle verfügen: Erstellen von Wertetbellen Drstellen von Funktionsgrphen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Numerisches Integrieren oder Differenzieren Rechnen mit Mtrizen und Vektoren mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 0 von 9

11 6 Hinweise zur uswhl durch die Lehrkrft/den Prüfling Für die Abiturprüfung 009 erhält die Schule insgesmt vier, dvon zwei zur Anlysis, eine Aufgbe zur Lineren Algebr/Anlytischen Geometrie und eine Aufgbe zur Stochstik. Die beiden zur Anlysis sind verbindlich zu berbeiten. Von den zur Lineren Algebr/Anlytischen Geometrie und zur Stochstik wählt die Fchlehrerin/der Fchlehrer eine Aufgbe zur Berbeitung us. Somit erhlten die Schülerinnen und Schüler drei voneinnder unbhängig lösbre Prüfungsufgben zur Berbeitung. Sie erhlten keine zur Auswhl. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

12 Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen. Allgemeine Hinweise Die Bewertung erfolgt nhnd des folgenden Bewertungsschems. Als Grundlge einer kriteriengeleiteten Beurteilung werden zu erbringende Teilleistungen usgewiesen, die die mit der jeweiligen Aufgbe verbundenen en ufschlüsseln. Die Lösungserwrtungen dienen der Orientierung der Korrektoren und sind nicht ls exkte Vorformulierungen von Schülerlösungen zu verstehen. Zusätzliche Leistungen sind ngemessen zu berücksichtigen. Dies betrifft etw Lösungen, die bei den Lösungserwrtungen nicht ufgeführt sind, ber dennoch eine richtige Lösung sind. Der ufgeführte Anteil der Punkte je Teilufgbe ist eine Orientierungshilfe für die vorgesehene Berbeitungszeit je Aufgbe. Beispiel: Für 0 % der Gesmtpunktzhl sollte etw 0 % der gesmten Berbeitungszeit eingeplnt werden. Die Anordnung der Kriterien folgt einer plusiblen logischen Abfolge von Lösungsschritten, die ber keineswegs llgemein vorusgesetzt werden knn und soll. Die Teilleistungen werden den in Teil I der Bildungspläne definierten sn I bis III zugeordnet. Dnch werden den Lösungen der Teilufgben Punkte zugewiesen, die den Schwierigkeitsgrd, die Komplexität und den Zeitufwnd für die Berbeitung der einzelnen Teilufgbe repräsentieren. Die für jede Teilleistung ngegebenen Punktwerte entsprechen einer mximl zu erwrtenden Lösungsqulität. Hinzu kommt die Art der Berbeitung in den verschiedenen sn, wobei Aspekte der Qulität, Quntität und der Drstellungsweise berücksichtigt werden. Die folgenden Bewertungskriterien werden in einen für jede Klusur gesondert uszufüllenden 'Bewertungsbogen' ufgenommen, der den Fchlehrerinnen und Fchlehrern zur Verfügung gestellt wird. In diesen trägt die erstkorrigierende Lehrkrft den entsprechend der Lösungsqulität jeweils ttsächlich erreichten Punktwert für die Teilleistung in der Bndbreite von 0 bis zur vorgegebenen Höchstpunktzhl ein. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

13 . Teilleistungen Kriterien ) inhltliche Leistung Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. Mximum f (x) = -(x 300) e f (x) = - e ( x 300) ( x 300) ( x ) ( ) x 300 f (x) = 0 x = 300 f (300) = -. f (x) = - e e ( x 300) ( x ) ( ) x 300 e.3 0 = - e ( x 300 ) ( x ) ( ) x = - + 4(x 300)² x, = 300 ± Nur n diesen beiden Stellen knn ein Wendepunkt existieren. e Die Breite ergibt sich us f(x) =. = e ( x 300) ln = ( x 300) ln() = ( x 300) Drus folgt us Symmetriegründen für die Breite b = ln..4 Ds uneigentliche Integrl gibt den gesmten Energieinhlt n und muss somit einen endlichen Wert hben. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

14 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.5 Aus der Forderung g (300) = 0 ergibt sich mit: g (x) ( x b) ( x b) = ( x b) e ( x b) e x b ( x b) ( x b) e ( ) ( ) die Gleichung: (300 b) = (300 b)². Mn erhält die Lösung b = 300 oder b = 98. Zweite Ableitung: g (x) = = ( x b) ( x b) ( ( x b) ) e ( ( x b) ( x b) ) e ) x b 4 ( x b) + ( x b) e ( ) ( ) Dies zeigt für b = 98: g (300) = - e - < 0, lso Mximum. Der Prmeter ergibt sich mit g(300) = 0,4 zu 0,39. = mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

15 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.6 + Erster Schritt: Zeige: f (x)dx Integrtion per Substitution: + f (x)dx = ϕ ϕ ( b) f( ϕ( x) ) ϕ ( x) ( ) dx x e und ( x) = ( x 300) mit f(x) = ϕ ergibt sich: + + x ( ( x 300) ) e dx = e dx + e x dx = + + e ( x 300) ( ( x 300) ) π = e dx Zweiter Schritt: Berechne die Energie (prtielle Integrtion) mit den Werten 0,39 und b = 98. E g = g (x)dx = + 98 ( x b) = ( ) x b e g(x)dx dx = dx π ( ) ( ) x b x b = ( ) ( ) x b e + x b e dx Bechte b = 98 und nochmlige prtielle Integrtion: ( ) ( ) x b x b = 0 + ( ) x b e + 98 e dx 98 ( ) = - x b e 98 = Eg Dmit ergibt sich = 0, 834, EungestörtesSignl π dementsprechend c. 83,4 %. Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

16 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. f() = 3 = 4 e 3 = e 4 3 ln( ) = 4 ln = f f = e 3 4 f (x) = xe x 0,363 x (x) = e Extrem f '(x) = 0 x = 0 x = xe x = ( 4 + x + ( x)( )e x)e = ( x)e x x x f ( )x = ( 4 + )e = e 0 < 0 rel. Mx f( ) = e = H ( ) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

17 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. Wendepunkt.3 " f (x) = x = 0 4 x = = Vorzeichenwechsel n der Stelle x 4 f ( ) = e =,4,4 W ( ) 9 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

18 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.4 0 xe x 4 dx Stmmfunktion F (x) f (x) = xe xe x dx x x x = [ xe + e dx] x x = [ xe e ] x x = ( )e = F (x) u = x u' = ;v' = e x ;v = e x 0 xe x 4 = ( 8x 3)e 45,4 dx x mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

19 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.5 V E (h)=-4,4h 3 +5h -36h V E ()=-4, =03,8 f 4 (f (x) = xe 4 4π (x)) = 4π x 4 = 4x 0,5x ( x e ) 0 u = 4x u' = 4 = 4π x = 4π x e x 0,5x ( x 8x 6)e ) 008,99 ;v' = e ;v = e e e dx 0,5x 0,5x 0,5x 0,5x xe 8xe 0,5x 0,5x 0 dx e 0,5x dx 008,99 03,8 p = = 0,03 008,99 Abweichung : p =,3%.6 Newtonverfhren h 0 =,8443 (Beim Strtwert 3 benötigt mn 3 Rechenschritte) Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9

20 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3 3. Eine Gleichung der Lenkerchse lutet 4 l: x r = 3 + λ 3 ; λ R 3 Für die Rdchse findet mn g: 0 0 x r = + λ ; λ R 3 0 Flls ein Schnittpunkt existiert, muss die Vektorgleichung 4 0 r τ 4 + λ 3 μ = eine nichttrivile Lösung besitzen, die drei Vektoren müssen lso liner bhängig sein. Die Gleichung ht die einzige Lösung τ = λ = μ = 0. Die beiden Gerden besitzen keinen Schnittpunkt und sind nicht prllel, sie sind lso windschief. 3. Die Gleichung des Grundrisses einer Gerden erhält mn, indem mn x 3 = 0 setzt, die des Aufrisses, indem mn x = 0 setzt. Dmit ergibt sich für die Winkel α und β : cos ( α ) = = 3 0 und der gleiche Winkel für cos (β ). Dmit ist α =β = 8,4. 6 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 0 von 9

21 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3.3 Die Koordintengleichung der Rdebene E lutet: E: x = 0 Für den Schnittpunkt N von l mit E ergibt sich: λ - = 0 λ = und dmit N( ) Für den Lotfuß L muss gelten: RL u r = [ 3 + λ 3 ] 3 = λ 4 = 0 λ = 8 5 Der Lotfußpunkt ist lso L 5 4. Für die Lenkerlänge d = RL folgt d = LE mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

22 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3.5 Der Rdmittelpunkt bewegt sich um,4 Einheiten nch oben, lso R (x x 5,4). Es gilt ' AR = AR und BR ' = BR x 5 x 6,4 5 = x 0x + x x = -35,96 x 4 x 3,4 4 = 4 0 x 8x + x 6x =,4 Subtrhiert mn die erste Gleichung von der zweiten, so erhält mn x + 6x = 3, Löst mn diese Gleichung nch x uf und setzt dieses in die erste Gleichung ein, so erhält mn die qudrtische Gleichung 0x - 93,6x + 95,9 = 0 Diese ht die Lösungen: x = 6, und x = 3,6 Für x = 3,6 erhält mn x = 9,. Dmit würde der Rdmittelpunkt in Fhrtrichtung x vor der Lenkerchse liegen. Diese Lösung fällt lso us technischen Gründen us. Der neue Rdmittelpunkt ist lso R (0 6, 5,4). 3.6 Die Lge des Nickpols N ist bezüglich des strren Schräglenkers fest. Als Punkt der Drehchse rotiert er bei Drehung des Dreiecks ABR nicht mit. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

23 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3. Die neue Rdebene ergibt sich in Normlenform: 5 0 r E ': 44 x 6, = 0 und in Koordintenform: 8 5,4 E : -5x + 44x + 8x 3 = 36 6 Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

24 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4 4. Wenn die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten eines Buchstbens p B = 0,4 beträgt, dnn ist die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten einer Ziffer ( Nicht- Buchstbe ) p Z = p B = 0,6. Für die Whrscheinlichkeit einer Oktde der Form bbbzzzzz gilt dnn: p = 0,4³ 0,6 5 0, Mehr ls zwei und weniger ls fünf Buchstben bedeutet, dss für die Anzhl n B der Buchstben < n B < 5 bzw. 3 n B 4 gilt. Bezeichnet mn ds Auftreten eines Buchstbens ls Treffer, dnn bildet jede Oktde eine Bernoulli-Kette der Länge n = 8 mit der Trefferwhrscheinlichkeit p B = 0,4. Die Gesmtwhrscheinlichkeit ist deshlb gegeben ls die Summe der Bernoulli-Ausdrücke B(n = 8; p B = 0,4; k = 3) sowie B(n = 8; p B = 0,4; k = 4). Ihre Zhlenwerte sind dnn: 8 0, ,6 5 sowie 8 0, ,6 Dmit erhält mn p = 56 0, ,0033 0, mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

25 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.3 Ds Auftreten von mindestens 5 Buchstben, d. h. n B 5, ist ds Gegenereignis zum Auftreten von höchstens 4 Buchstben. Die Whrscheinlichkeit für Letzteres ist gegeben durch: 4 k= 0 B(n = 8;p B = 0,4;k) = p 8 0,4 (n B 4) = 0,8633 (s. Tbelle) p(n B 5) = 0,8633 = 0,36. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

26 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.4 Die Whrscheinlichkeit für eine nur us Ziffern bestehende Oktde ist nch den Regeln der Bernoulli-Kette p(n Z = 8) = p(n B = 0) = 0,6 8 0,068. Die Whrscheinlichkeit, eine Oktde zu erhlten, die dieser Bedingung nicht genügt, ist dnn: p(n Z < 8) = - p(n Z = 8) = 0,6 8 0,983. Die Whrscheinlichkeit, bei n Druckvorgängen luter Oktden mit n Z < 8 zu erhlten, ist dnn: [p(n Z < 8)] n = 0,983 n. Die Whrscheinlichkeit, bei n Druckvorgängen mindestens eine Oktde mit n Z = 8 zu erhlten, ist dnn wegen der Whrscheinlichkeit des Gegenereignisses: p(n Z = 8) = 0,983 n. Diese Whrscheinlichkeit soll nun nch Angbe über 60 % liegen: 0,983 n > 0,6 bzw. 0,983 n < 0,4. Drus erhält mn: n lg(0,983) < lg(0,4) n > 54,08. Dmit muss die Anzhl der Druckvorgänge mindestens 55 betrgen, d. h. es ist n 55. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

27 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.5 Ds hier zu betrchtende Ereignis Die letzten zwei Zeichen sind Buchstben werde mit L bezeichnet, ds Ereignis Die Oktde ist im Ordner BU gespeichert entsprechend mit BU. Für die bedingte Whrscheinlichkeit gilt: P BU (L) = P(BU L). P(BU) Ds Ereignis BU L tritt genu dnn ein, wenn in der betrchteten Oktde die letzten zwei Zeichen Buchstben sind (und dmit die ersten sechs Zeichen keine Buchstben, lso Ziffern) und wenn sie in dem Ordner BU gespeichert sind, d. h. wenn n B > n Z gilt. Wegen n = 8 bedeutet dies n B 5. Die Durchschnittsmenge der hier gennnten Ereignisse L und BU enthält dnn lle Oktden, deren zwei letzte Zeichen Buchstben sind und bei denen unter den restlichen ersten sechs Zeichen noch mindestens drei weitere Buchstben uftreten. Die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis L und BU ist dnn ds Produkt der Whrscheinlichkeiten P(L) und P(BU mit n B 3 unter den ersten sechs Zeichen), d. h.: 6 0,4² B (n = 6;p = 0,4;k) k= 3 = 0,4² ( k 3) p 6 0, = 0,4² [ p ( k 6) p ( k ) ] 0,4 0,4 0,6 [ 0,5443] = 0,09. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

28 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III Die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis BU ohne Einschränkungen ist 8 P(BU) = B (n = 8;p B = 0,4;k ) k= 5 = p , 4 ( k 5) = p0,4 ( k 8) p0,4 ( k 4) = 0,8633 = 0,36 Dmit ergibt sich die bedingte Whrscheinlichkeit zu P BU (L) 0,09 0,498 0, Auch hier hndelt es sich um eine bedingte Whrscheinlichkeit, nämlich um die des Ereignisses BU unter der Bedingung L. P L (BU) = P(L BU) 0,09 P(L) 0,4 0, Summe Aufgbe Summe Aufgbe 4 Summe Aufgbe 4 Summe Aufgbe 3 4 Summe Aufgbe 4 4 Summe für 3 von 4 Teilufgben 4 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

29 b) Drstellungsleistung Kriterien Verwendung korrekter mthemtischer Fchsprche und Symbolik, strukturierte Drstellung Punkte je Aufgbe 3 Summe Drstellungsleistung 9 Gesmtsumme us. und.b: 50.3 Bewertung (Notenfindung) Note Punkte erreichte Prozentzhl erreichte Punktzhl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus usreichend plus usreichend usreichend minus mngelhft plus mngelhft mngelhft minus ungenügend mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9