Apsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2

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Regina Arnold
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1 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite Hinweise für Schüler Aufgbenuswhl Von den vorliegenden Aufgben sind die Pflichtufgben P und P zu lösen. Von den Whlufgben W3 bis W6 sind Aufgben uszuwählen und vollständig zu berbeiten. Berbeitungszeit Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Auswhl der Whlufgben. Hilfsmittel Tfelwerk nichtprogrmmierbrer und nichtgrphikfähiger Tschenrechner Duden Zeichengeräte Die Tngentenbedingung lutet: ( x m + n y ) = ( + m ) r M M Sonstiges Die Lösungen sind in einer sprchlich einwndfreien und mthemtisch exkten Form drzustellen. Grphische Drstellungen müssen uf Millimeterppier erfolgen. Lösungswege müssen erkennbr sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herngezogen werden, wenn sie zusmmenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etw ¾ des erkennbr ngestrebten Gesmtumfnges umfsst. Werden mehr ls zwei Whlufgben berbeitet, so gehen die beiden mit der höchsten Punktzhl in die Bewertung ein.

2 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 3 P rtionle Funktionen / nlytische Geometrie. Für jeden positiven Prmeter sind eine Funktion f (x) durch sowie eine Gerde g durch 0 3 y = f (x) = x 3x + 9 x x = + t ; t IR 3 gegeben. Die Grphen heißen K... Bestimmen Sie für die Grphen der Funktionen der Schr die Koordinten der Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, der Extrem- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Art der Extrem, weisen Sie die Existenz des Wendepunktes nch Stellen Sie die Kurve sowie die Gerde für = in einem Koordintensystem grphisch dr Kontrolle: H( ²); W( ²); T(3 0).. Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte.3. Für jedes schließen K und der Grph der Funktion y h(x) = = 0,5x zwei Flächen ein. Berechnen Sie den Inhlt der Fläche, deren Rnd den Koordintenursprung enthält Für welches beträgt der Flächeninhlt 63 FE?.4. Weisen Sie nch, dss uf g die Extrem- und Wendepunkte von und geben Sie eine Koordintengleichung von g n.5. Bestimmen Sie eine Prmetergleichung der Wendetngenten von K K liegen.6. Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Wendetngenten von K und der Gerden g

3 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 4 P nichtrtionle Funktionen. Gegeben ist die Funktion y x = f (x) = ( x) e. Der Grph G... Bestimmen Sie für den Grphen der Funktion die Koordinten der Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, der Extrem- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Art der Extrem, weisen Sie die Existenz des Wendepunktes nch Stellen Sie den Grphen in einem Koordintensystem dr.. Weisen Sie durch prtielle Integrtion nch, dss durch eine Stmmfunktion der Funktion f(x) gegeben ist y = F(x) = (3 x) e x.3. Berechnen Sie den Inhlt der Fläche A, die durch die Koordintenchsen und G begrenzt wird sowie lim f (x)dx k k Kontrolle: A = e 3.4. Die Punkte O(0 0), P(0 f(u)) und Q(u f(u)) bilden für jedes u mit 0 < u < ein Dreieck. Bestimmen Sie dsjenige u, so dss der Flächeninhlt des Dreiecks ein Mximum wird. (uf den Nchweis, der Art des Extremums wird verzichtet).5. Bestimmen Sie mithilfe eines geeigneten Näherungsverfhren dsjenige u uf zwei Dezimle genu, so dss die Gerde x = u mit 0 < u <, die Fläche A (us Aufgbe.3.) hlbiert.

4 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 5 W3 rtionle Funktionen 3. 0x Gegeben sind die Funktionen f durch y = f (x) = ; (x + ) x, IR; x -. Die zugehörenden Grphen werden mit F bezeichnet. 3.. Kurvendiskussion Ermitteln Sie die Nullstellen und die Polstellen der Funktionen und untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionen im Unendlichen Ermitteln Sie die Art und Lge der loklen Extrempunkte der Grphen für die Fälle < 0, = 0 und > 0 Zeichnen Sie den Grphen F im Intervll 8 x 8 0( x ) Kontrolle: f '' ( x ) = 4 ( x + ) 3.. Begründen Sie, dss unbhängig vom Wert des Prmeters die Grphen weder im II. noch im IV. Qudrnten liegen können 3.3. Weisen Sie nch, dss f (x) = f ( x) gilt und interpretieren Sie diese Gleichung mit Blick uf die Grphen der Funktionen f und f Weisen Sie nch, dss die Funktion g mit y = g(x) = 0ln( x ) + eine x + Stmmfunktion der Funktion f für x < - ist

5 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 6 W4 rtionle Funktionen / linere Gleichungssysteme x + 4x 5 4. Gegeben ist die Funktionen f durch y = f (x) = ; x IR. x Kurvendiskussion Untersuchen Sie die Funktion f uf Null- und Polstellen und weisen Sie nch, dss die Gerde mit der Gleichung y = x + 3 eine Asymptote des Grphen der Funktion f ist. Berechnen Sie die Koordinten der loklen Extrempunkte des Grphen der Funktion f Zeichnen Sie den Grphen der Funktion f im Intervll 8 x 8 7 Kontrolle: f '' ( x ) = 3 ( x ) 4.. Der Grph der Funktion f und die x-achse schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie die Mßzhl des Inhltes dieser Fläche Von einer Funktion der Form x + x + b y = f (x) = sind folgende Eigenschf- cx + d ten beknnt - Eine Nullstelle ist. - Die Polstelle ist 0. - Die Funktion ht n der Stelle den Funktionswert. - Der Grph der Funktion ht n der Stelle den Anstieg 3. - Ermitteln Sie dfür die Werte der Prmeter, b, c, d

6 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 7 W5 Geometrie der Ebene 5. Ein Kreis um M( 3 ) ht die Gerde g mit der Gleichung x = + t 9 9 ls Tngente. 5.. Ermitteln Sie eine Gleichung für diesen Kreis Kontrolle: k :( x + 3 ) + ( y + ) = Bestimmen Sie die Gleichungen der Tngenten, die senkrecht zur Gerden g verlufen 5.. Gegeben ist der Kreis k durch den Mittelpunkt M( 3) und r²=0 cm² sowie der Punkt P(-3 8) Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichungen der Tngenten von P n k sowie die Koordinten der Berührungspunkte B und B Kontrolle: B( );B( 3 6 ) 5... Stellen Sie den Kreis und die Tngenten in einem geeigneten Koordintensystem grfisch dr Berechnen Sie den Inhlt der Fläche PB B (begrenzt durch die Tngenten und den Kreis)

7 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite 8 W6 Geometrie des Rumes 6. In einem krtesischen Koordintensystem sind die Gleichung der Gerden g 7 durch g : x = 0 + t 5 ; t IR sowie die Punkte A(5; 5; 4), B(7; 0; 4) und 0 0 S (5; 7,9; 6) gegeben. 6.. Die Punkte A und B bestimmen die Gerde g. Zeichnen Sie die Gerden g und g in ein krtesisches Koordintensystem Zeigen Sie, dss die Gerden g und g prllel zueinnder verlufen und dss die Gerde g in der xy-ebene liegt 6.. Die Gerden g und g liegen in einer Ebene E Stellen Sie eine Gleichung für die Ebene E in Koordintenform uf Weisen Sie nch, dss die Ebene E orthogonl zur xy-ebene ist 6.3. Die Punkte A, B und S seien Eckpunkte eines Dreiecks. Zeigen Sie, dss dieses Dreieck gleichschenklig ist und berechnen Sie den Flächeninhlt des Dreiecks Auf der Gerden g existieren zwei Punkte C und D derrt, dss ds Viereck ABCD ein Rechteck ist. Ermitteln Sie die Koordinten der Punkte C und D.

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