Abiturprüfung 2006 MATHEMATIK. als Grundkursfach. Arbeitszeit: 180 Minuten

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1 Abiturprüfung 2006 MATHEMATIK ls Grundkursfch Arbeitszeit: 180 Minuten Der Fchusschuss wählt je eine Aufgbe us den Gebieten GM1, GM2 und GM3 zur Berbeitung us. Die Angbe ist vom Prüfling mit dem Nmen zu versehen und mit bzugeben. Nme:

2 - 2 - GM1. INFINITESIMALRECHNUNG I. Die nebenstehende Abbildung zeigt den Grphen G f einer rtionlen x + Funktion f der Form f (x) = mit dem Definitionsbereich D f = IR \ {0}. bx 2 ) Einziger Schnittpunkt von G f mit der x-achse ist A( 1 0), ußerdem verläuft G f durch den Punkt B (1 1). Bestimmen Sie den Funktionsterm von f. x + 1 [Ergebnis: f (x) = ] x + 1 Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion g : x ln f (x) = ln mit 2x mximlem Definitionsbereich D g. Ihr Grph wird mit G g bezeichnet. 7 b) Begründen Sie nhnd des Verlufs von G f, dss gilt: D g = IR \ [ 1;0]. Untersuchen Sie ds Verhlten von G g n den Rändern von D g. Geben Sie die Gleichungen ller Asymptoten von G g n. 7 c) Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung ds Monotonieverhlten von g. [Zur Kontrolle: g' (x) 2x 1 x(x+ 1) = ] 9 d) Bestimmen Sie die Stelle x 0, n der die Funktionen f und g in der ersten Ableitung übereinstimmen. Ermitteln Sie die Gleichung der Tngente n G f in P( x 0 f (x 0 )) sowie die Gleichung der Tngente n G g in Q( x 0 g(x 0 )). Berechnen Sie die Nullstelle der Tngente in P. [Ergebnis für die Gleichung der Tngente in P: y = 1 x + 3 ] 7 e) Berechnen Sie g( 4), g( 2), g (0,1) und g (4). Zeichnen Sie den Grphen G g sowie seine Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in die nebenstehende Abbildung ein. Trgen Sie uch die Tngenten in P und Q ein. (Fortsetzung nächste Seite) 2 2

3 - 3 - Die Funktion G : x x g(x) + ln(x + 1) ist für x > 0 eine Stmmfunktion von g (Nchweis nicht erforderlich). 8 f) Die Tngenten in P und Q schließen mit den Gerden x = 1 und x = 3 ein Prllelogrmm ein. Der Grph von g teilt dieses Prllelogrmm in zwei Teilflächen. Wie viel Prozent der Prllelogrmmfläche nimmt die Teilfläche unterhlb von G ein? g Nme:... (vom Prüfling einzutrgen)

4 - 4 - x 5 Gegeben ist die Schr von Funktionen f : x mit IR + und Definitionsbereich D = IR \ {0}. Der Grph von f wird mit G bezeichnet. 2 x 3 1. ) Bestimmen Sie ds Symmetrieverhlten von G und die zwei Nullstellen von f. [Teilergebnis: x = 5 ] 3 b) Begründen Sie, dss y = Asymptote von G ist. Untersuchen Sie ds Verhlten von f n der Definitionslücke. 5 c) Untersuchen Sie ds Monotonieverhlten von f. [Zur Kontrolle: f 10 ' (x) = ] 3 5 d) Die Abbildung zeigt drei Grphen der Schr zu gnzzhligen Prmeterwerten. Geben Sie n, zu welchem die Grphen I, II und III jeweils gehören, und begründen Sie Ihre Entscheidung. II. 2 1 x (Fortsetzung nächste Seite)

5 ) Ermitteln Sie, für welche Prmeterwerte die positive Nullstelle von f kleiner ls 2,5 ist. Für diese Prmeterwerte schließen der Grph G, die Koordintenchsen, die Asymptote y = und die Gerde x = 2, 5 im ersten Qudrnten eine Fläche mit Inhlt A ein. 3 b) Mrkieren Sie diese Fläche für einen der Grphen in der Abbildung von Aufgbe 1d. Begründen Sie, dss für den Flächeninhlt A gilt: 2,5 A = 2,5 f (x)dx. 6 c) Zeigen Sie: = A (Hinweis: Für die Integrtion ist es hilfreich, den Term der Funktion f ls Differenz drzustellen.) 4 d) Geben Sie ein Beispiel für zwei Prmeterwerte 1 und 2 n, so dss sich die Flächeninhlte A 1 und 9 3. Nun sei = 2. Die nebenstehende Abbildung zeigt den zugehörigen Grphen G 2. Die Tngenten n G 2 in den Kurvenpunkten P( 1,25 1,2) und Q(1,25 1,2) schließen mit der Asymptote y = 2 ein Dreieck ein. Skizzieren Sie ds Dreieck in die nebenstehende Abbildung und berechnen Sie seinen exkten Flächeninhlt. A 2 um 2 5 unterscheiden. Nme:... (vom Prüfling einzutrgen)

6 - 6 - GM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK Ein in die Jhre gekommenes Fotokopiergerät liefert bruchbre und unbruchbre Kopien. Die Whrscheinlichkeit dfür, dss eine Kopie unbruchbr ist, beträgt 15 % (Ausschussquote). Ds Fertigen von Kopien soll ls Bernoulli-Kette ngesehen werden Es werden 20 Kopien gefertigt. Ermitteln Sie für jedes der drei ngegebenen Ereignisse die Whrscheinlichkeit. A: Es sind mehr ls drei Viertel der Kopien bruchbr. B: Es ist genu eine Kopie unbruchbr und diese befindet sich unter den letzten fünf. C: Von den Kopien sind genu drei unbruchbr und diese folgen unmittelbr hintereinnder Es werden n Kopien gefertigt. Für welche Werte von n ist die Whrscheinlichkeit dfür, dss lle n Kopien bruchbr sind, kleiner ls 10 %? 4 3. Von einem einseitigen Rundschreiben werden 170 bruchbre Kopien benötigt. Eine Sekretärin, der die Ausschussquote von 15 % beknnt ist, fertigt zur Sicherheit gleich 200 Kopien. Mit welcher Whrscheinlichkeit erhält sie trotzdem weniger ls die gewünschte Zhl von bruchbren Kopien? 7 4. Die unbruchbren Kopien entstehen im vorliegenden Fll ddurch, dss ds Ppier zerknittert oder ds Druckbild fehlerhft ist. Um zu klären, ob die beiden Ereignisse Eine Kopie ist zerknittert und Ds Druckbild ist fehlerhft unbhängig sind, werden die nächsten 1000 Kopien untersucht. 154 dvon sind unbruchbr, wobei 66 Kopien zerknittert sind und bei 115 ds Druckbild fehlerhft ist. Welche Vermutung hinsichtlich der Unbhängigkeit der beiden Ereignisse lssen diese Werte zu? Die Antwort ist zu begründen. (Hinweis: Die reltiven Häufigkeiten können ls bruchbre Näherungswerte für die entsprechenden Whrscheinlichkeiten verwendet werden.) 6 5. Ein Student fertigt von einem zehnseitigen Vorlesungsskript eine Kopie bestehend us zehn einseitig bedruckten Blättern n. Er heftet diese zehn Blätter us Versehen in flscher Reihenfolge zusmmen. Wie viele flsche Reihenfolgen sind insgesmt möglich? Bei wie vielen dvon ist die richtige Reihenfolge ddurch wieder herzustellen, dss genu zwei Blätter vertuscht werden? III. (Fortsetzung nächste Seite)

7 ) Ds Kopiergerät wurde repriert. Die mit der Reprtur beuftrgte Firm behuptet, dss die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 4 % beträgt. Um diese Behuptung (Nullhypothese) uf dem Signifiknzniveu von 5 % zu testen, werden 200 Kopien ngefertigt. Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel. 2 b) Bei dem Test erweisen sich 13 Kopien ls unbruchbr. Interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sinne des von Ihnen in Teilufgbe 6 entworfenen Tests Die eingngs gennnte Modellnnhme, ds Anfertigen von Kopien sei eine Bernoulli-Kette, knn in der Relität unzutreffend sein. Erläutern Sie dies nhnd eines Beispiels.

8 - 8 - IV. 1. Für eine Fernseh-Quizshow werden 10 Kndidten benötigt. D von den eingeldenen Kndidten erfhrungsgemäß im Mittel 5 % nicht erscheinen, werden zu jeder Show 12 Personen eingelden. Mit welcher Whrscheinlichkeit erscheinen 3 ) genu 10 Personen, 5 b) weniger ls 10 Personen? 3 2. Zu Beginn der Show müssen vier Berge ihrer (verschiedenen) Höhe nch ufsteigend geordnet werden. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, die richtige Reihenfolge durch reines Rten zu erhlten? 3. Einem Kndidten werden der Reihe nch Frgen gestellt, wobei er us jeweils vier Antworten die einzig richtige herusfinden muss. Wird die erste Frge richtig bentwortet, so ht der Kndidt 125 uf seinem Gewinnkonto. Mit jeder weiteren richtigen Antwort verdoppelt sich der Betrg uf seinem Gewinnkonto bis zu einer mximlen Höhe von Bei einer flschen Antwort scheidet der Kndidt mit dem bis dhin erreichten Gewinn us. 5 ) Ein Kndidt ht bereits die ersten drei Frgen richtig bentwortet. Mit welcher Whrscheinlichkeit erzielt er durch reines Rten einen Gewinn von mindestens ? Nch Erreichen der Gewinnstufe von steht der Joker zur Verfügung, der nur einml verwendet werden drf. Bei diesem werden zufällig zwei flsche Antworten entfernt, so dss mn sich nur noch zwischen zwei Antworten entscheiden muss. 4 b) Ein Kndidt knn bei einer Frge die erste Antwort mit 100 %iger Sicherheit usschließen. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss nch Verwendung des Jokers diese flsche Antwort stehen bleibt? 8 c) Ein Kndidt, der die Euro-Frge richtig bentwortet ht, überlegt, ob er den Joker entweder bei der nächsten oder erst bei der letzten Frge einsetzen soll. Berechnen Sie für diese beiden Möglichkeiten jeweils die Whrscheinlichkeiten dfür, dss der Kndidt durch reines Rten mit genu , mit genu bzw. mit dem Höchstgewinn nch Huse geht. (Fortsetzung nächste Seite)

9 In den vergngenen Jhren hben insgesmt 585 Personen, von denen 315 weiblich wren, bei der Quizshow mitgespielt. 90 Personen hben einen Gewinn von mindestens erzielt, dvon wren weiblich. 2 ) Mit welcher Whrscheinlichkeit ist eine zufällig us den 585 Kndidten usgewählte Person männlich und ht mindestens gewonnen? 5 b) Untersuchen Sie die Ereignisse Eine zufällig usgewählte Person ist männlich und Eine zufällig usgewählte Person ht mindestens gewonnen uf stochstische Unbhängigkeit Für die Abschätzung der Zuschuerquote werden 200 repräsenttiv ermittelte Personen befrgt. Sollten weniger ls 25 % dvon die Quizshow gesehen hben, so soll diese bgesetzt werden. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss die Quizshow bgesetzt wird, obwohl in Wirklichkeit die Zuschuerquote bei 30 % liegt.

10 GM3. ANALYTISCHE GEOMETRIE V. In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A (6 2 6) und 8 B (6 6 2) sowie die Gerde g : x = 0 + λ 1 1, λ IR, gegeben Zeigen Sie, dss der Punkt A uf der Gerden g liegt, der Punkt B jedoch nicht Die Ebene E enthält den Punkt B und die Gerde g; die Ebene H enthält ebenflls den Punkt B, steht ber uf g senkrecht. Bestimmen Sie für die beiden Ebenen je eine Gleichung in Normlenform. [mögliche Ergebnisse: : x + x + x 14 = 0; H: x x 0 ] E = 6 3. ) Zeigen Sie, dss der Schnittpunkt M der Gerden g mit der Ebene H die Koordinten ( 4 4 6) ht, und ermitteln Sie die Koordinten des Punktes C, der sich ls Bildpunkt von A bei einer Spiegelung n der Ebene H ergibt. [Zur Kontrolle: C (2 6 6) ] 4 b) Vernschulichen Sie nhnd einer Skizze die gegenseitige Lge der Gerden g, der Punkte A, B, C und M sowie der Schnittgerden s von E und H. Wählen Sie dzu die Ebene E ls Zeichenebene. 4. Ds Dreieck ABC ist Grundfläche einer Pyrmide mit Spitze S. 4 ) S liegt uf dem Lot zur Ebene E durch den Punkt B sowie uf der x3-achse. Bestimmen Sie die Koordinten von S. [Zur Kontrolle: S(0 0 4) ] 6 b) Bestimmen Sie ds Volumen V der Pyrmide ABCS. 3 c) Eine zweite Pyrmide mit derselben Grundfläche ABC, ber nderer * Spitze S, besitzt den gleichen Ruminhlt V. Beschreiben Sie die * möglichen Lgen von S in Worten (keine Rechnung nötig). 5. Die dreieckige Seitenfläche ACS der Pyrmide wird nun so weit um die Achse g gedreht, bis der gedrehte Punkt S des Dreiecks in der Ebene E zum Liegen kommt (zwei Möglichkeiten). 3 ) Begründen Sie, dss der Kreisbogen, uf dem sich S dbei bewegt, in der Ebene H liegt. 4 b) Bestimmen Sie die beiden Drehwinkel.

11 VI. In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(3 2 3), B (3 2 3), C (6 2 7) und D(6 2 7) sowie 5 1 die Gerde g : x = + λ, λ IR, gegeben ) Bestimmen Sie eine Normlenform der Ebene H, die durch die Punkte A, B und C festgelegt wird. Beschreiben Sie die Lge von H im Koordintensystem. [mögliches Ergebnis: : 4x 3x 3 0 ] H 1 3 = 5 b) Zeigen Sie, dss ds Viereck ABCD ein ebenes Rechteck mit Flächeninhlt 20 ist. 6 c) Berechnen Sie den Schnittpunkt E der Gerden g mit der Ebene H. Zeigen Sie, dss E uf der Hlbgerden [AB, ber nicht uf der Strecke [AB] liegt. [Ergebnis: E (3 6 3) ] 3 d) Berechnen Sie die Koordinten des Punktes F [ BA so, dss ds Viereck ECDF ein chsensymmetrisches Trpez ist. 6 e) Bestimmen Sie die Innenwinkel dieses Trpezes und zeigen Sie, dss es den Flächeninhlt ht. 2. Der Schnittpunkt S der Gerden g mit der x1x 3-Ebene ist die Spitze einer Pyrmide mit dem Trpez ECDF ls Grundfläche. 6 ) Bestimmen Sie ds Volumen dieser Pyrmide. [Teilergebnis: S(6 0 12)] 4 b) Zeichnen Sie die Pyrmide in ein Koordintensystem (vgl. Skizze) ein. x 3 (Pltzbedrf: gnze Seite; x 2 Ursprung genu in Blttmitte) 4 c) Begründen Sie, dss die Pyrmide bei Spiegelung n einer geeigneten Ebene in sich bgebildet wird, und geben Sie eine Gleichung dieser Symmetrieebene in Normlenform n. x 1