Volumina der 8 konvexen Deltaeder
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- Bernd Neumann
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1 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumin der 8 konvexen Delteder Arno Fehringer Juli 2007 Die Bestimmung der Volumin ( in Abhängigkeit von der Kntelänge ) bzw. die Herleitung einer entsprechenden Formel für die konvexen Delteder stellen reltiv hohe Anforderungen und verlngen vom Hndelnden Kompetenzen sowohl in der Rumgeometrie ls uch der Algebr. Tetreder, 6-Delteder, Okteder, und 14-Delteder sind Stndrd. Schwieriger zu berechnen sind ds 10-, 12-, 16-Delteder und ds Ikoseder. Beim 12-Delteder kommt zusätzlich zur Knte noch die Breite b = t hinzu. Dbei ist t eine Lösung der Gleichung 4. Grdes, t 4-2t 3-7t 2 + 4t +8 = 0. Die Nullstellen der Gleichung 4. Grdes ergeben sich us den ( 3 reellen ) Lösungen der sogennnten Kubischen Resolventen und können bestenflls trigonometrisch drgestellt werden ( csus irreducibilis ) Delteder (Tetreder) (Okteder) (Ikoseder)
2 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des Tetreders 1/3 h 2/3 h h h h = sqrt(3)/2 h 2 = 3/4 2 1/3 h h 2 = h 2 (1/3h ) 2 h 2 = 8/9h 2 h 2 = 8/9 3/4 2 h 2 = 2/3 2 h = sqrt(6)/3 V = 1/3 G h = 1/3 1/2 h h = 1/3 1/2 sqrt(3)/2 sqrt(6)/3 = sqrt(18)/36 3 = sqrt(2)/12 3 V = sqrt(2)/12 3
3 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des 6-Delteders V = sqrt(2)/6 3
4 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des Okteders sqrt(2) h = sqrt(2)/2 sqrt(2)/2 V = 2 1/3 G h = 2 1/3 2 sqrt(2)/2 = sqrt(2)/3 3 V = sqrt(2)/3 3
5 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des 10-Delteders r h
6 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr φ r h /2 r-h ( 1 ) ( /2) 2 + h 2 = r 2 ( 2 ) ( φ) 2 = (r + h )2r mit φ = (sqrt(5)+1)/2, φ 2 = φ+1 ( φ = Goldene Schnittzhl )
7 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Bestimmung von r: ( 2 ) nch h in ( 1 ) ( /2) 2 + ((φ 2 2 2r 2 ) 2 /4r 2 = r 2 2 r 2 + φ 4 4-4φ 2 2 r 2 + 4r 4 = 4r 4 4φ 2 2 r 2-2 r 2 = φ 4 4 (4φ 2-1) 2 r 2 = φ 4 4 (4φ 2-1) r 2 = φ 4 2 r 2 = (3φ+2)/(4φ+3) 2 ( wegen φ 2 = φ+1 ) Berechnung der Körperhöhe: h=2sqrt( 2 - r 2 ) h=2sqrt( 2 (3φ+2)/(4φ+3) 2 ) h=2sqrt((φ+1)/(4φ+3)) r h Berechnung des Volumens: Der Körper setzt sich zusmmen us 5 kongruenten unregelmäßigen Tetredern mit 5 Kntenlängen und einer Knte H. Die Tetreder hben ds Volumen V T, ws mit der Fehringerschen Formel berechnet werden knn: V T 2 = 1/144 ( 3h 2 4 h 4 2 ) V T 2 = 1/144 ((84φ+52)/(4φ+3) 2 ) 6 V = 5V T
8 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr V T = 1/6 sqrt(21φ+13)/(4φ+3) 2 3 V = 5/6 sqrt (21φ+13)/(4φ+3) 2 3 Mit φ = (sqrt(5)+1)/2 zusmmen mit den Vereinfchungsmöglichkeiten für Doppelwurzeln ergibt sich: V = 1/12 (3 sqrt(5)) 3
9 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des 12-Delteders z y B C sqrt(3)/2 O A x
10 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr ( 1 ) y c = x B => b=2x B ( 2 ) x B 2 + z C 2 = (sqrt(3)/2 ) 2 y ( 3 ) ( x B - /2) 2 + z B 2 = 2 ( 4 ) 2 x B 2 + (z B - z C ) 2 = 2 C( 0 / x B / z C ) b C( 0 / 0 / 0 ) x B( x B / 0 / z B ) A ( /2 / 0 / 0 ) b = 2 x B
11 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr ( 2 ) nch z C in ( 4 ): ( 4 ) 2 x B 2 + (z B sqrt(3/4 2 -x B 2 )) 2 = 2 ( 4 ) nch z B 2 : 2 x 2 B + (z B sqrt(3/4 2 -x 2 B )) 2 = 2 (z B sqrt(3/4 2 -x 2 B )) 2 = x B z B sqrt(3/4 2 -x 2 B ) = sqrt( 2-2 x 2 B ) z B = sqrt( 2-2 x 2 B ) + sqrt(3/4 2 - x 2 B ) z 2 B = 2-2 x 2 B + 2sqrt(( 2-2 x 2 B )(3/4 2 - x 2 B )) + 3/ x B z 2 B = 7/ x B + 2sqrt(( 2-2 x 2 B )(3/4 2 - x 2 B )) z 2 B in ( 3 ) : ( x B - /2) 2 + 7/ x B + 2sqrt(( 2-2 x 2 B )(3/4 2 - x 2 B )) = 2 x 2 B - x B + 2 /4 +7/ x B + 2sqrt(( 2-2 x 2 B )(3/4 2 - x 2 B )) = 2 - x B x B 2 + 2sqrt(( 2-2 x 2 B )(3/4 2 - x 2 B )) = 2
12 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr sqrt(( 2-2 x B 2 )(3/4 2 - x B 2 )) = x B ( + 2x B ) - 2 4( 2-2 x B 2 )(3/4 2 - x B 2 ) = x B 2 ( + 2x B ) 2-2 x B ( + 2x B ) x B x B 2 + 8x B 4 = x B x B 3 + 4x B x B x B b = 2x B = t x B 2 + 4x B 4 = 4x B x B + 4 4x B 4-4x B x B x B = 0 Substitution: 2x B = t => x B = t/2 t 4-2t 3-7t 2 + 4t + 8 = 0 Zur Lösung der biqudrtischen Gleichung in t : Eine grphische Drstellung der entsprechenden Funktion 4. Grdes mit dem Computerlgebrsystem MuPAD zeigt vier Nullstellen. Im Buch MATHEMATIK, Formeln, Regeln, Merksätze, Verlg Buch und Zeit, 1998 steht uf S. 109, dss zunächst die Lösungen der zugeordneten kubischen Resolventen bestimmt werden sollen. D diese drei Lösungen reell sind, lso dem sogennnten csus irreducibilis entsprechen, lssen sich diese nur komplex oder bestenflls trigonometrisch drstellen. Aus diesen Lösungen ergeben sich dnn die vier Lösungen der biqudrtischen Gleichung. Ds Computerlgebrsystem MuPAD liefert mit dem Befehl numeric::solve(t^4-2*t^3-7*t^2+4*t+8) folgende vier Lösungen: -1, -1, , 1, , 3, Von diesen ist nur die dritte bruchbr. Es ergibt sich b = 2x B = t = 1,
13 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen 3V 1 Volumen V 2 b b b Die Volumin V 1 und V 2 ergeben sich mithilfe der Fehringerschen Volumenformel für unregelmäßige Tetreder mit den Knten,b,c,p,q,r: V 2 = 1/144 ( 2 b 2 (p 2 +q 2 -r 2 )+ 2 c 2 (p 2 -q 2 +r 2 )+b 2 c 2 (-p 2 +q 2 +r 2 )+ 2 p 2 (q 2 +r 2 ) +b 2 q 2 (p 2 +r 2 )+c 2 r 2 (p 2 +q 2 )- 2 p 2 ( 2 +p 2 )-b 2 q 2 (b 2 +q 2 )-c 2 r 2 (c 2 +r 2 )-p 2 q 2 r 2 ) Für V 1 gilt:, b, c=p=q=r= V 1 2 = 1/144 ( 2 b 2 (p 2 +q 2 -r 2 )+ 2 c 2 (p 2 -q 2 +r 2 )+b 2 c 2 (-p 2 +q 2 +r 2 )+ 2 p 2 (q 2 +r 2 ) +b 2 q 2 (p 2 +r 2 )+c 2 r 2 (p 2 +q 2 )- 2 p 2 ( 2 +p 2 )-b 2 q 2 (b 2 +q 2 )-c 2 r 2 (c 2 +r 2 )- p 2 q 2 r 2 ) V 1 2 = 1/144 ( 2 b 2 ( )+ 2 2 ( )+b 2 2 ( )+ 2 2 ( ) +b 2 2 ( )+ 2 2 ( )- 2 2 ( )-b 2 2 (b )- 2 2 ( )- 6 ) V 1 2 = 1/144 ( 2 b 2 ( 2 )+ 2 2 ( 2 )+b 2 2 ( 2 )+ 2 2 (2 2 ) +b 2 2 (2 2 )+ 2 2 (2 2 )- 2 2 (2 2 )-b 2 2 (b )- 2 2 (2 2 )- 6 )
14 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr V 2 1 = 1/144 ( 4 b b b b 2 2 (b ) ) V 2 1 = 1/144 ( 4 b 2 +b b b 4 2 -b ) V 2 1 = 1/144 (3 4 b 2 -b 4 2 ) V 2 1 = 1/144 2 b 2 (3 2 -b 2 ) V 1 = 1/12 b sqrt(3 2 -b 2 ) Für V 2 gilt:, b, c=p=r=, q=b V 2 2 = 1/144 ( 2 b 2 (p 2 +q 2 -r 2 )+ 2 c 2 (p 2 -q 2 +r 2 )+b 2 c 2 (-p 2 +q 2 +r 2 )+ 2 p 2 (q 2 +r 2 ) +b 2 q 2 (p 2 +r 2 )+c 2 r 2 (p 2 +q 2 )- 2 p 2 ( 2 +p 2 )-b 2 q 2 (b 2 +q 2 )-c 2 r 2 (c 2 +r 2 )-p 2 q 2 r 2 ) V 2 2 = 1/144 ( 2 b 2 (b 2 )+ 4 (2 2 -b 2 )+b 2 2 (b 2 )+ 4 (b ) +2 2 b ( 2 +b 2 )-2 6-2b b 2 2 ) V 2 2 = 1/144 ( 2 b b 2 +b b b b b b 2 ) V 2 2 = 1/144 (4 2 b 4-2b 6 ) V 2 2 = 1/144 2 b 4 (2 2 -b 2 ) V 2 = 1/12 sqrt(2) b 2 sqrt(2 2 -b 2 ) Volumen des 12-Delteders : V = 3V 1 + 3V 1 + V 2 V = 6V 1 + V 2 V = 1/2 b sqrt(3 2 -b 2 ) + 1/12 sqrt(2) b 2 sqrt(2 2 -b 2 )
15 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des 14-Delteders V = 1/2 sqrt(3)/ /3 2 sqrt(2)/2 V = sqrt(3)/4 3 + sqrt(2)/2 3 V = (sqrt(3) + 2sqrt(2))/4) 3
16 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des 16-Delteders
17 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr sqrt(2) (sqrt(2)-1)/2 (sqrt(2)-1)/2 sqrt(2)
18 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr V = V Okteder + V 1 + 2V 2 Berechnung von V 1 (des Keils ) : sqrt ( 2 ((sqrt(2)-1)/2) 2 2 ) = sqrt(1+2sqrt(2))/2 sqrt(2) (sqrt(2)-1)/2 (sqrt(2)-1)/2 sqrt(1+2sqrt(2))/2 h 2 = (sqrt(1+2sqrt(2))/2 ) 2 (/2) 2 h 2 = ((1+2sqrt(2))/4 1/4 ) 2 h 2 = (sqrt(2))/2 h = sqrt((sqrt(2))/sqrt(2) h = sqrt(2(sqrt(2))/2) sqrt(1+2sqrt(2))/2 h sqrt(1+2sqrt(2))/2 A = 1/2 h A = 1/2 sqrt(2(sqrt(2))/2 /2 A
19 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr A = sqrt(2(sqrt(2))/4 2 V 1 = A + 2 1/3 A (sqrt(2)-1)/2 V 1 = (1 + 2/3 (sqrt(2)-1)/2) A V 1 = (1 + 2/3 (sqrt(2)-1)/2) A V 1 = (2+sqrt(2))/3 sqrt(2(sqrt(2))/4 2 V 1 = (2+sqrt(2))/3 sqrt(2(sqrt(2))/4 3 V 1 =1/12 sqrt ((2+sqrt(2)) 2 2(sqrt(2)) 3 V 1 =1/12 sqrt ((6+4sqrt(2)) 2(sqrt(2)) 3 V 1 =1/12 sqrt (16+12sqrt(2)) 3 V 1 =1/12 2 sqrt (4+3sqrt(2)) 3 V 1 =1/6 sqrt (4+3sqrt(2)) 3
20 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Berechnung von V 2 : y sqrt(2) C(sqrt(2) / sqrt(1+2sqrt(2))/2 / 0 ) S( 0 / y / h ) sqrt(1+2sqrt(2))/2 /2 sqrt(3)/2 (sqrt(2)-1)/2 x
21 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr y 2 + h 2 2 = h y 2 + h 2 = 3/4 2 ( 1 ) h 2 = 3/4 2 - y 2 ISCI 2 = 2 (sqrt(2)/2 0) 2 + (sqrt(1+2sqrt(2))/2 -y) 2 + (0-h) 2 = 2 ( 2 ) 2 /2 + (1+2sqrt(2))/4 2 - sqrt(1+2sqrt(2))/2 y + y 2 + h 2 = 2 ( 1 ) in ( 2 ): 2 /2 + (1+ 2sqrt(2))/4 2-2sqrt(1+2sqrt(2))/2 y + y 2 + 3/4 2 - y 2 = 2 2 /4 + (1+2sqrt(2))/4 2 - sqrt(1+2sqrt(2)) y = 0 (2+2sqrt(2))/4 2 - sqrt(1+2sqrt(2)) y = 0 (2+2sqrt(2))/4 2 = sqrt(1+2sqrt(2)) y y = (2+2sqrt(2))/(4 sqrt(1+2sqrt(2))) y = (1+sqrt(2))/(2 sqrt(1+2sqrt(2))) y in ( 1 ), dnn folgt: h 2 = 3/4 2 ((1+sqrt(2))/(2 sqrt(1+2sqrt(2))) ) 2 h 2 = (3/4 - ((3+2sqrt(2))/(4(1+2sqrt(2))) ) 2
22 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr h 2 = (3(1+2sqrt(2)) - ((3+2sqrt(2))/(4(1+2sqrt(2))) ) 2 h 2 = (3+6sqrt(2) - 3-2sqrt(2))/(4(1+2sqrt(2))) 2 h 2 = 4sqrt(2))/(4(1+2sqrt(2))) 2 h 2 = sqrt(2))/(1+2sqrt(2)) 2 h 2 = sqrt(2)(1-2sqrt(2))/(-7) 2 h 2 = (sqrt(2)-4)/(-7) 2 h 2 = (4 -sqrt(2))/7 2 h 2 = (28-7sqrt(2))/49 2 h = 1/7 sqrt( 28-7sqrt(2)) sqrt(2) Fläche des Trpezes: A = ( + sqrt(2))/2 sqrt(1+2sqrt(2))/2 A = 1/4 (1 + sqrt(2)) sqrt(1+2sqrt(2)) 2 A = 1/4 sqrt((1 + sqrt(2)) 2 (1+2sqrt(2))) 2 A = sqrt(1+2sqrt(2))/2 A = 1/4 sqrt((3 + 2sqrt(2)) (1+2sqrt(2))) 2 A = 1/4 sqrt(3 + 8sqrt(2) + 8) 2 A = 1/4 sqrt(11 + 8sqrt(2) ) 2 (sqrt(2)-1)/2
23 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr V 2 = 1/3 A h V 2 = 1/3 1/4 sqrt(11 + 8sqrt(2) ) 2 1/7 sqrt( 28 7sqrt(2)) V 2 = 1/84 sqrt(11 + 8sqrt(2) ) sqrt( 28-7sqrt(2)) 3 V 2 = 1/84 sqrt((11 + 8sqrt(2) ) ( 28-7sqrt(2))) 3 V 2 = 1/84 sqrt((308-77sqrt(2) sqrt(2) - 112) 3 V 2 = 1/84 sqrt(( sqrt(2)) 3 V 2 = 1/84 7 sqrt((4 + 3 sqrt(2)) 3 V 2 = 1/12 sqrt((4 + 3 sqrt(2)) 3 V = V Okteder + V 1 + 2V 2 V = (sqrt(2)/3 + 1/6 sqrt (4+3sqrt(2)) +1/6 sqrt((4 + 3sqrt(2))) 3 V = (sqrt(2)/3 + 1/3 sqrt (4+3sqrt(2))) 3
24 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr Volumen des Ikoseders φ φ/2 R /2 R : Umkugelrdius φ : Goldene Schnittzhl, φ 2 = φ + 1, φ = (sqrt(5) +1)/2 Es werden folgende Annhmen gemcht: Die Mittelpunkte von Umkreis- und Innkreiskugel sind identisch. Die Innkugel berührt jedes Dreieck des Ikoseders im Schwerpunkt. Ds obige Viereck ist ein Rechteck, etc. R 2 = (φ/2) 2 + (/2) 2
25 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr R 2 = (φ 2 + 1)/4 2 R 2 = (φ+ 2)/4 2 R 2 = ((sqrt(5) +1)/2+ 2)/4 2 R 2 = (sqrt(5) +5)/8 2 R 2 = (2sqrt(5) +10)/16 2 R = sqrt(2sqrt(5) +10)/4 2 sqrt(3) / 3 ρ R R h = sqrt(3) / 2 2/3 sqrt(3) / 2 = sqrt(3) / 3 ρ : Inkugelrdius ρ 2 = R 2 - (sqrt(3)/3 ) 2
26 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, Gilingen, Kpellenstr ρ 2 = (2sqrt(5) +10)/ (sqrt(3)/3 ) 2 ρ 2 = ((2sqrt(5) +10)/16-1/3 ) 2 ρ 2 = ((6sqrt(5) +3)/48-16/48 ) 2 ρ 2 = (6sqrt(5) +14)/48 2 ρ 2 = (3sqrt(5) +7)/24 2 ρ 2 = (18sqrt(5) +42)/144 2 ρ = sqrt(18sqrt(5) +42)/12 ρ = sqrt(3)sqrt(6sqrt(5) +14)/12 ρ = sqrt(3)(sqrt(5) +3)/12 V = 20 1/3 A ρ V = 20 1/3 sqrt(3)/4 2 sqrt(3)(sqrt(5) +3)/12 V = 5(sqrt(5) +3)/12 3
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