1 / Berechnen Sie den Tag, an dem die meisten Personen erkrankt sind. Berechnen Sie weiter, wie viele Personen an diesem Tag erkrankt sind.

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Waldemar Schulze
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1 vorschlg A /4 Ds Robert-Koch-Institut in Berlin ht den Verluf der Drmerkrnkung EHEC (siehe Bild) untersucht. Die Zhl der Erkrnkten A knn näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung drgestellt werden: A() t = t + t ; t D A 5 Die Erfssung der Erkrnkten beginnt zum Zeitpunkt t =. t (Zeit in Tgen, Werte sind ggf. uf zwei Nchkommstellen nzugeben). Berechnen Sie, wie viele Personen m zehnten Tg ( t = ) erkrnkt sind. /. Berechnen Sie den Tg, n welchem die Epidemie vorbei ist. /5. Berechnen Sie den Tg, n dem die meisten Personen erkrnkt sind. Berechnen Sie weiter, wie viele Personen n diesem Tg erkrnkt sind. /.4 Berechnen Sie, n welchem Tg sich die Zhl der Erkrnkten m stärksten änderte. /4.5 Berechnen Sie den exkten Zeitpunkt, n welchem noch kurz vor Ende der Epidemie Personen erkrnkt wren. Verwenden Sie hierzu ein geeignetes Näherungsverfhren (z.b. Newtonverfhren, Strtwert t = 4 ). /7.6 Zeichnen Sie den grphischen Verluf der Epidemie in ds nchstehende Koordintensystem. /4.7 Berechnen Sie, wnn die Erkrnkungsrte,5 Erkrnkungen/Tg beträgt. /8 Fortsetzung nächste Seite Enterohämorrhgische Escherichi coli (EHEC) Seite von 5

2 vorschlg A grphische Drstellung zu.6 Seite von 5

3 vorschlg A /5 Der Grph einer Funktion f dritten Grdes besitzt bei W ( ) einen Wendepunkt und wird n der Stelle x = von der Gerden mit der Funktionsgleichung gx ( ) = x+ berührt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wenn Sie ds Gleichungssystem nicht ufstellen können, lösen Sie erstzweise ds folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie dmit die gesuchte Funktionsgleichung f ( x) = x + bx + cx + d der Funktion f. = 4 + b + c +,5d = 4 + 8b + c = + b + c = + b Herbst, (Mthemtik) Seite von 5

4 vorschlg A /5 Eine Schokoldenfbrik möchte eine Prlinenschchtel in Form eines gleichseitigen Dreiecks entwerfen (s. Skizze). Ds Volumen dieser Schchtel ergibt sich us den zu verpckenden 5cm³ Prlinen und dem Hohlrum zwischen den Prlinen, der mit 8cm³ ngegeben wird. Ein Designer erhält nun den Auftrg, die Schchtel so zu dimensionieren, dss der Mterilverbruch für die Schchtel möglichst gering gehlten wird. Klebeflze und Lschen sollen dbei vernchlässigt werden. h Rechnen Sie ohne Einheiten:. Zeigen Sie, dss der Inhlt der Oberfläche der Schchtel durch folgende (Ziel-) Funktion beschrieben werden knn: /7 584 A() = + ( Längeneinheit =ˆ cm bzw. Volumeneinheit =ˆ cm.). Ermitteln Sie diejenigen Werte für und h, für die der Mterilverbruch bei der Schchtelherstellung miniml wird. /6. Berechnen Sie den Oberflächeninhlt für diese optimierte Schchtel. / Seite 4 von 5

5 vorschlg A 4 / Die Funktionen f, g und h sind durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben: 9 f ( x) = x x + x, x D f, 4 9 g( x) = x x + x, x Dg, 4 5 h( x) = x + x, x Dh 5 5 (siehe die nebenstehende Abbildung). 4. Berechnen Sie den Inhlt A der Fläche, die vollständig vom Grph der Funktion f und der x -Achse begrenzt wird. Bestimmen Sie dzu die Nullstellen der Funktion f uf rechnerischem Weg. /7 4. Berechnen Sie ds bestimmte Integrl ( ( ) ( )) gx f x dx und begründen Sie, dss der Wert dieses Integrls dem Inhlt A der Fläche entspricht, die vollständig von den Grphen der Funktionen f und g begrenzt wird. Bestimmen Sie dzu uf rechnerischem Weg die Schnittpunkte der beiden Funktionen. / 4. Ermitteln Sie die Schnittstellen der Funktionen g und h uf rechnerischem Weg, und bestimmen Sie den Inhlt A der Fläche, die vollständig von den Grphen der Funktionen g und h begrenzt wird. /8 4.4 Zeigen Sie, dss die in 4. berechnete Fläche zwischen den Grphen der Funktionen f und g durch die senkrechte Gerde mit der Gleichung x = 5 hlbiert wird. /5 Seite 5 von 5

Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. A () =! () + () = 6 5 Am zehnten Tg sind 6 Personen erkrnkt.. Berechnung der Nullstellen von A. At ()! " t

6 Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. A () =! () + () = 6 5 Am zehnten Tg sind 6 Personen erkrnkt.. Berechnung der Nullstellen von A. At ()! " t # t! 5 5 N/ 5 t (" t# )! t! ( Beginn der Epidemie) " t #! 5 tn!! 5 Die Epidemie ist nch 5 Tgen vorbei.. Hochpunkt des Grphen von A : A!(t) =! t + t 5 5 A!(t) =! 5 t + 5 t = t(! 5 t + 5 ) = t E = (Beginn der Epidemie)! t + = 5 5 t E = 5 =6 =6,6 5 A!! (t) =! 6 t A!! (t E ) =! 6 "6,6 + < (Mximum) 5 5 A(t E ) = A( 6,6)! 9,6 Am 6. Tg sind die meisten Personen erkrnkt. An diesem Tg sind 9 Personen erkrnkt..4 Wendestellen von A :!! A (t) =! 6 5 t + 5 = t = 5 = 8, Am 8. Tg änderte sich die Anzhl der Erkrnkten m stärksten. Seite von 7

7 Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben.5 A(t) =! 5 t + t =! 5 t + t! = Nullstellenfindung z. B. mit dem Newtonverfhren t =4 A(t ) =,4 t = 4,49 A(t ) = -97 t = 4,4 A(t ) = -, t " 4,4 Tge.6 Grph der Funktion A : 4.7 Erkrnkungsrte! A (t) =! 5 t + 5 t =! 5 t + 5 t! = t! 5 5 t = ( ) t / = 5 ±! t! t!,6! 5 6 = 5 ±5,7 Die Erkrnkungsrte m. Tg und m. Tg beträgt jeweils,5 Erkrnkungen/Tg. Summe 8 9 mögliche BE 4 Seite von 7

8 Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben Anstz: f( x) = x + bx + cx+ d f! ( x) = x + bx+ c f!! ( x) = 6x+ b Bedingungsgefüge:. f () = 4 ( g () = + = 4 ). f!() = (Steigung der Gerden). f () = (Wendepunkt bei W ( ) ) 4. f!!() = (Wendepunkt bei W ( ) ) Gleichungssystem: I: 4 = 8 + 4b + c + d II: = + 4b + c III: = + b + c + d IV: = 6 + b Lösen des Gleichungssystems (ebenso Erstz-LGS) 5 Drus ergibt sich (uch Erstz-LGS): =!, b=, c=, d =! Für die Funktionsgleichung gilt: f( x) =! x + x + x! Summe 7 8 mögliche BE 5 Seite von 7

9 Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. Erstellung der Zielfunktion:. A (, h) =! A +! A O Dreieck Rechteck =!! +!! h Huptbedingung 4 V = + = cm V = A! h (Gesmtvolumen) Dreieck 4 =! 4! h Nebenbedingung Es folgt: 78 h =! Eingesetzt in die Huptbedingung: 78 A() =!! +!! 4! 584 =! + Zielfunktion! Berechnung der Abmessungen: Bedingung für Minimum: A(! ) = und A(!! ) > = # A! ( ) " 584 " min ! " = +!! 584! = :!! 584 = = 78 = cm Überprüfung der Art des Extremums: 68 A!! ( ) = + " 68 A!! () = + # 5,96 > $ Minimum " min Seite 4 von 7

10 Teilufgben Erwrtungshorizont vorschlg A Erwrtete Teilleistung Höhe der Schchtel: h = 78! h = 78! = 6,9cm. Oberfläche der optimierten Schchtel: 584 A() =! +! 584 A( ) =! + " 74,cm! Der Inhlt der Oberfläche beträgt 74,cm! bei einer Kntenlänge von cm und einer Höhe von rund 6,9cm. Summe 6 9 mögliche BE 5 Seite 5 von 7

11 Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben 4. Bestimmung der Nullstellen von f : Nullsetzen f ( x) = 4 x " x + 9 x = $ x " x ( x " x + 6) =! x =, x = x = 6 x # Berechnung des bestimmten Integrls: 6 6! 9 " / f ( x) dx = / $ x # x + x % dx = & 4 ' ( 4 9 ) * x # x + x =, # = 6 Flächeninhlt:A =, 7 FE 4. Berechnung des bestimmten Integrls: 6 + 6x = $! 5 " g x f x dx x x dx ( ( ) ( )) / / # = $ # + % = & ' 5 # x + x = ( ) *, #. +. = 5 Bestimmung der Schnittpunkte: Gleichsetzen f ( x) = g( x) 4. 4 x " 6x 9 " x + x = x " 4 + 8x = " 9x + 48x $ x ( x " ) =! x =, x = x # ( ) =, f () = 4! 9 x + x $ 5 " x $ f Schnittpunkte: P = ( ), P ( 4) = Die Integrtionsgrenzen entsprechen den x -Koordinten der Schnittpunkte. Der Integrnd ist die Differenz der Funktionen, die die obere/untere Begrenzung bilden. Flächeninhlt: A = 5FE Bestimmung der Schnittstellen: Gleichsetzen g ( x) = h( x) 4 x! 9 x + 5 x =! 5 x + 5 x " x!8x =!8x " x!x = " ( ) = $ x = x =, x = x # x! Seite 6 von 7

12 Teilufgben Erwrtungshorizont vorschlg A Erwrtete Teilleistung Berechnung des bestimmten Integrls:! " /( hx ( )# gx ( )) dx= / $ # x + x % dx= & 4 4 ' 4 4 ( ) 5 + # x + x =# * + * = - 6, Flächeninhlt: A = FE Berechnung des bestimmten Integrls: obere Grenze 5 5 5! 5 " gx f x dx x x dx ( ( ) ( )) / / # = $ # + % = & ' 5 ( 5 ) # x + x =# * 5 + * 5 = -,. Flächeninhlt: A 5 = FE Die Fläche wird lso durch die Gerde x = 5 hlbiert Summe mögliche BE Seite 7 von 7

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