Lösungen Matur

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1 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 1 von 7 Mturitätsprüfung 007 Lösungen Mtur (5 P.) Lut Wikipedi betrug die Weltbevölkerung m fünf Millirden Menschen, m wren es 6 Millirden. ) ( P.) Stelle eine Eponentilfunktion und eine linere Funktion uf, die beide dieses Wchstum beschreiben. (1 P.) Eponentilfunktion: B(t)=B(0) t mit B(0)= und t in Jhren = = (0.5 P.) B(t) t (0.5 P.) (1 P.) Linere Funktion B(t)=B(0)+t mit B(0)= und t in Jhren = = (0.5 P.) B(t) t (0.5 P.) b) (1 P.) Welche der beiden Funktionen trifft den Wert 6.5 Millirden m besser? B(19.5) Menschen B(19.5) Menschen Die linere Funktion c) ( P.) Wnn ist mit diesen beiden Funktionen jeweils mit einer Weltbevölkerung von 10 Millrden zu rechnen? Gib Mont und Jhr des gefundenen Dtums n = t t = Jhre (0.5 P.) im Juli 036 (0.5 P.) = t t = Jhre (0.5 P.) im Dezember 051 (0.5 P.)

2 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite von 7 Mturitätsprüfung 007. (9 P.) In Überrschungseiern ht es in jedem 6.Ei ein Spielzeuguto, in 75% der Eier eine Comicfigur und in den restlichen Eiern ein Plstiktier. uto C-Figur P-Tier 3/4 1/1 (0.5 P.) ) (3.5 P.) Croline kuft drei Eier Wie gross ist die Whrscheinlichkeit, dss sie i) (1 P.) genu 3 Comicfiguren i P(3 Comicfiguren)= (1 P.) mindestens ein Plstiktier P( mind. 1 Plstiktier)=1 P(kein Plstiktier)=1 (11/1) (1 P.) genu ein Spielzeuguto, ein Plstiktier und eine Comicfigur Es gibt 3 1 Möglichkeiten, die 3 Figuren uf 3 Plätze zu verteilen. (0.5 P.) P(1 uto, 1, 1 )= (0.5 P.) unter den Eiern ht? b) (1.5 P.) Wie viele Überrschungseier muss Mrcel kufen, dmit er mit einer Whrscheinlichkeit von 95% mindestens ein Spielzeuguto ht? P(ein Spielzeuguto) =, P(kein Spielzeuguto) = 5/6. P(mind. ein Spielzeuguto) 0.95 P(kein Spielzeuguto) 0.05 (0.5 P.) Grenzfll: 0.05=(5/6) n n (0.5 P.) M muss 17 Eier kufen. (0.5 P.) c) ( P.) Der Spielgruppenleiter Christin kuft 0 Überrschungseier. Wie gross ist die Whrscheinlichkeit, dss er i) genu 3 Plstiktiere X : nzhl Plstiktiere P(X = 3)= ( 0 3) (1/1)3 (11/1) 17 = 0.15 (1 P.) mindestens 4 und höchstens 1 Comicfiguren X : nzhl Comicfiguren in 0 Eiern P(4 X 1)= 1 ) i=4 0.75i i 0.1 (1 P.) ( 0 i Vrinte ohne TR: X: nzhl utos oder Plstiktiere in 0 Eiern P(4 X 1) = P(X 1) P(X 3) = P(X 8) P(X 17) = 1 P(X 7) (1 P(X 17))= P(X 7)+P(X 17)= unter den gekuften Eiern ht?

3 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 3 von 7 Mturitätsprüfung 007 d) ( P.) Mnuel kuft zwei Überrschungseier. Wie müssen die Whrscheinlichkeiten für die Comicfiguren und die Plstiktiere verändert werden, so dss sie mit 5% Whrscheinlichkeit genu 1 Plstiktier erhält? =P(eine Comicfigur) 5/6 =P(ein Plstiktier) (0.5 P.) Der Bum sieht folgendermssen us: (0.5 P.) 5/6-5/6-5/6-5/6- (5/6 ) +(5/6 )+(5/6 )+(5/6 )= ,5/ (1 P.) Für die Comicfigur wird die Whrscheinlichkeit uf c verändert, beim Plstiktier uf c (9 P.) Zwei unbhängige Teilufgben. ) (4.5 P.) Eine Fläche wird durch die -chse und die Prbel y= + begrenzt. Wie muss der Prmeter m der Gerdengleichung y=m(m (0,)) gewählt werden, dmit die Gerde die Fläche hlbiert? (0.5 P.) f()=0 + =0 1 = 0, = (0.5 P.) = 0 + =4/3 (1 P.) m= ( m+) ( ( m+) + ( 1 = 0), = m+ + ( m+) ) (.5 P.) + + d=/3 m 0.41 m+ b) (4.5 P.) Gegeben ist Funktion f mit der Vorschrift f()= (+) mit >0. Ds Flächenstück zwischen dem Grfen von f und der -chse wird um die -chse rotiert. Wie gross muss sein, dmit der dbei entstehende Körper minimles Volumen ht? (1 P.) Nullstellen: (+) = 0 1 = +, = + + (1.5 P.) Volumenintegrl: V ()=π + ( (+) ) d= 16π(+)5 15 ( P.) V ()=0 3π(+)4 ( 1) 15 = 0 ( 1 = ), = 1/

4 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 4 von 7 Mturitätsprüfung (10 P.)Drei unbhängige Teilufgben: ) (.5 P.) Eine Polynomfunktion 3.Grdes ( f()= ) ht im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch die Punkte ( 1 3) und B( 0). Bestimme die Funktionsgleichung f(). ( 1 3) : f( 1)= = 3(Gl.1) (0.5 P.) B( 0) : f()= = 0(Gl.) (0.5 P.) W(0 0) : f (0)=0 = 0(Gl.3) (0.5 P.) U(0 0) : f(0)=0 0 = 0(Gl.4) (0.5 P.) TR: 3 = 1, = 0, 1 = 4 und 0 = 0 f()= 3 4 (0.5 P.) b) (3.5 P.) Gegeben ist die Funktionsvorschrift f()= +1 e i) (1.5 P.) Bestimme die Gleichung der Kurventngenten im Punkt P( 1?) f ()= e f ( 1)=e.7 y=.7+n (0.5 P.) f( 1)=0 (0.5 P.) 0=.7( 1)+n n=.7 y=.7+.7 (0.5 P.) ( P.) Wie müssen die reellen Prmeter und b bei der Funktion F() = +b gewählt werden, dmit die Bedingung F ()= f() erfüllt ist? F ()= ( + b) (0.5 P.) e Koeffizientenvergleich: =1 = 1 (1 P.) b=1 1 b=1 b= (0.5 P.) Vrinte: Wir stellen zwei Gleichungen uf: F (1)= f(1) b/e=/e(gl.1) F ()= f() ( b)e = 3/e (Gl.) = 1 und b=. e

5 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 5 von 7 Mturitätsprüfung 007 c) (4 P.) Gegeben sind die Funktionen f()=4 3 e 0.5 und g()=e 0.5. (.5 P.) Die Grphen schneiden sich in zwei Punkten. Bestimme den Schnittwinkel im Schnittpunkt mit der grösseren -Koordinte. (0.5 P.) Schnittpunkt: f()=g() 4 3 e 0.5 = e = 0,.0 (0.5 P.) f () f (.0) 0.5 und (0.5 P.) g () g (.0) 1.5 (0.5 P.) tn 1 (0.5) 6.57,tn 1 (1.5) (0.5 P.) α = = 9.74 (1.5 P.) Für welchen -Wert im Intervll [0,] ist die y-koordintendifferenz der Funktionen f() und g() m grössten? (1 P.) Z()= f() g()=4 3 e 0.5 e 0.5 (0.5 P.) Z ()= (10 P.) Zwei unbhängige Teilufgben. ) (5 P.) In ein Qudrt mit der Seitenlänge wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben, in dieses wiederum ein Qudrt, usw. i) (3 P.) Berechne die Seitenlänge des schrffierten Qudrts in bhängigkeit von. bezeichne die Seitenlänge des Qudrtes. Höhe des gleichseitigen Dreiecks: h= (/) = (1 P.) Die Dreiecke BC und DE sind ähnlich. Die Strecke D ist hlb so lng wie die Strecke DE, weil wir ein 90 /60 /30 -Dreieck hben. Wir erhlten: ( P.) Vrinte: / / / = / =( 3 3) ( P.) f()= = 3 (1 P.) Es gilt: f ( ) = 3( ) = 3 = = + 3 (+ 3)= = + 3

6 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 6 von 7 Mturitätsprüfung 007 ( P.) Wir betrchten die Folge der Flächeninhlte der Qudrte (GF), wobei 1 für ds grösste Qudrt verwendet wird, für ds zweitgrösste, usw. Dzu sei = 10cm. Berechne (näherungsweise) die Summe n, wenn n? 1 = (0.5 P.) Berechnung von : = cm (Berechnung von 3 : = cm ) 3 (0.5 P.) q= : 1 = (Bestätigung: 3 : = ) (1 P.) lim n s n = 1 1 q = = Ektes Ergebnis: 1 = q= : 1 = (+ 3) , = + 3 = = 3 = (+ 3) 3 = (+ 3) + 3 q= (+ 3) =

7 Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 7 von 7 Mturitätsprüfung 007 b) (5 P.) Ein Krtenhus wird nch nebenstehendem Schem gebut. Diese Figur zeigt ein 4-stöckiges Hus. Bechte, dss zuunterst keine Krten liegen. i) ( P.) Wie viele Krten brucht es für ein 8-stöckiges Hus? ( P.) Wie viele Krten brucht es für ein n-stöckiges Hus? Wir nehmen zuerst n, dss zuunterst Krten liegen. Die nzhl Krten pro Stockwerk: n n 3 ufsummieren: n 3=( n) n ist eine F mit 1 = 1 und n = n. Die Summenformel liefert: s n = n( 1+ n ) = n(1+n) = n + n Wir erhlten dmit: 3 n + n Es werden noch die Krten, die zuunterst liegen, bgezogen (bei 1 Stock ist es 1 Krte, bei Stöcken sind es Krten,..., bei n Stöcken sind es n Krten). Wir erhlten s n = 3 n + n n= 3n + n i (1 P.) Wie viele vollständige Stockwerke könnte mn mit 000 Krten buen? 000= 3n + n n = vollständige Stockwerke