Rotationsvolumen Ausstellungshalle

Transkript

1 Rottionsvolumen Ausstellungshlle In einem Entwurf für eine Ausstellungshlle soll ds Profil der Querschnittsfläche (siehe Zeichnung) im Intervll [, 1] durch die Funktion f() = 7 beschrieben werden. Im Bereich [0, ] soll die Begrenzung gerdlinig sein, sodss n der Stelle = kein Knick uftritt. Die Hlle wird rottionssmmetrisch zur -Achse geplnt. ) Zeigen Sie, dss die Höhe der Ausstellungshlle m beträgt. b) Ermitteln Sie eine Funktion, die ds Profil uf dem Intervll [ 1, ] beschreibt. Berechnen Sie c) die Länge der gestrichelten Mntellinie, d) ds Hllen-Volumen, e) die Größe der Hllenwndfläche. Bogenlänge: s = 1+(f ()) d Für zur -Achse drehsmmetrische Körper gilt: Volumen: V = π (f()) d Oberfläche: A = π f() 1+(f ()) d

2 Ausstellungshlle Ergebnisse In einem Entwurf für eine Ausstellungshlle soll ds Profil der Querschnittsfläche (siehe Zeichnung) imintervll [, 1]durch diefunktionf() = 7 beschrieben werden. Im Bereich [0, ] soll die Begrenzung gerdlinig sein, sodss n der Stelle = kein Knick uftritt. Die Hlle wird rottionssmmetrisch zur -Achse geplnt. ) Zeigen Sie, dss die Höhe der Ausstellungshlle m beträgt. = 1 + b) Ermitteln Sie eine Funktion, die ds Profil uf dem Intervll [ 1, ] beschreibt. f () = 7+ Berechnen Sie c) die Länge der gestrichelten Mntellinie, 7, ,180 = 18,7 (m) bechte: f (1) eistiert nicht. d) ds Hllen-Volumen, 87, ,704 = 331,137 (m 3 ) e) die Größe der Hllenwndfläche. 601, ,41 = 9,933 (m ) Bogenlänge: s = 1+(f ()) d Für zur -Achse drehsmmetrische Körper gilt: (bechte uch die Formeln für den Kegel) Volumen: V = π (f()) d Oberfläche: A = π f() 1+(f ()) d 1 f 1 () =

3 Rottionskörper Aufgben 1. In der nebenstehenden Abbildung ist der Querschnitt einer bzgl. der -Achse rottionssmmetrischen Vse drgestellt. Der im 1. Qudrnten liegende rechte Rnd wird durch die Funktion f() = +b beschrieben. ) Ermitteln Sie und b so, dss mn den drgestellten Grphen erhält. b) Begründen Sie, dss mit Hilfe dieser Wurzelfunktion der Übergng zum zlindrischen Teil der Vse ohne Knick, wie es in der Abbildung drgestellt ist, beschrieben wird. 4 c) Berechnen Sie ds Volumen der Vse für = und b = Durch Rottion der Gerden g() = k+1 (k > 0) um die -Achse uf dem Intervll [0; 3] entsteht ein Körper, der je nch Whl von k us einem oder zwei zusmmenhängenden Teilen besteht. ) Welche Rottionskörper können in Abhängigkeit von k entstehen? b) Welcher der Rottionskörper ht ds kleinste Volumen? 3. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k () = (k ) gegeben. ) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f k und wählen Sie ds k so, dss n der Stelle = 1 ein Punkt mit wgerechter Tngente vorliegt. Durch Rottion der Kurve f 3 um die -Achse entsteht ein tropfenförmiger Körper. Ab hier sei k = 3. b) Berechnen Sie die größte ebene Schnittfläche senkrecht zur Drehchse. c) Berechnen Sie die Fläche eines ebenen Schnitts längs der Drehchse (die Drehchse liegt in der Schnittfläche). d) Eine zur Drehchse senkrechte Schnittfläche durch = hlbiert ds Volumen des Körpers. Geben Sie eine Gleichung (ohne Integrlzeichen) für n. 3

4 Rottionskörper Aufgben Ergebnisse 1. In der nebenstehenden Abbildung ist der Querschnitt einer bzgl. der -Achse rottionssmmetrischen Vse drgestellt. Der im 1. Qudrnten liegende rechte Rnd wird durch die Funktion f() = +b beschrieben. ) Ermitteln Sie und b so, dss mn den drgestellten Grphen erhält. siehe c) b) Begründen Sie, dss mit Hilfe dieser Wurzelfunktion der Übergng zum zlindrischen Teil der Vse ohne Knick, wie es in der Abbildung drgestellt ist, beschrieben wird. lim f () = + 4 c) Berechnen Sie ds Volumen der Vse für = und b =. 131,3 VE Durch Rottion der Gerden g() = k+1 (k > 0) um die -Achse uf dem Intervll [0; 3] entsteht ein Körper, der je nch Whl von k us einem oder zwei zusmmenhängenden Teilen besteht. ) Welche Rottionskörper können in Abhängigkeit von k entstehen? k < 1 3 b) Welcher der Rottionskörper ht ds kleinste Volumen? V() = π k = 1 3 Kegelstumpf Kegel k > 1 3 Doppelkegel 3 ( k+1) d k min = Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k () = (k ) gegeben. ) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f k und wählen Sie ds k so, dss n der Stelle = 1 ein Punkt mit wgerechter Tngente vorliegt. k = 3 Durch Rottion der Kurve f 3 um die -Achse entsteht ein tropfenförmiger Körper. Ab hier sei k = 3. b) Berechnen Sie die größte ebene Schnittfläche senkrecht zur Drehchse. 4π FE c) Berechnen Sie die Fläche eines ebenen Schnitts längs der Drehchse (die Drehchse liegt 4 in der Schnittfläche). 3 FE d) Eine zur Drehchse senkrechte Schnittfläche durch = hlbiert ds Volumen des Körpers. Geben Sie eine Gleichung (ohne Integrlzeichen) für n π = π( ) 4

5 Ausstellungshlle. Aufgbe In einem Entwurf für eine Ausstellungshlle soll ds Profil der Querschnittsfläche im Intervll [, 1] durch die Funktion f() = 7 beschrieben werden, im Bereich [0, ] durch g() = +b, so dss n der Stelle = kein Knick uftritt. Die Hlle wird rottionssmmetrisch zur -Achse geplnt ) Bestimmen Sie umd b. b) Berechnen Sie ds Volumen.

6 Ausstellungshlle. Aufgbe In einem Entwurf für eine Ausstellungshlle soll ds Profil der Querschnittsfläche im Intervll [, 1] durch die Funktion f() = 7 beschrieben werden, im Bereich [0, ] durch g() = +b, so dss n der Stelle = kein Knick uftritt. Die Hlle wird rottionssmmetrisch zur -Achse geplnt ) Bestimmen Sie umd b. b) Berechnen Sie ds Volumen. Ergebnisse: ) f() = b) V = π V = π 0 0 (1 ) d + π ( , (300 40)d = 30,13VE 1 )d + π 7 d = 30,13VE oder Schlenmethode 6